Perkalian Matriks dengan Matriks

48 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa 2 A 3 + 2A 2 – 3A = 49 102 51 151 § · ¨ ¸ © ¹ + 2 11 16 8 27 § · ¨ ¸ © ¹ – 3 3 2 1 5 § · ¨ ¸ © ¹ = 49 102 51 151 § · ¨ ¸ © ¹ + 22 32 16 54 § · ¨ ¸ © ¹ – 9 6 3 15 § · ¨ ¸ © ¹ = 62 128 64 190 § · ¨ ¸ © ¹ Contoh 2.23 Jika A = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ , B = 2 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ , dan C = 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ . Tentukanlah: a ABC dan ABC b AB + C dan AB + AC c B + CA dan BA + CA Jawab: a ABC = 1 0 2 0 2 1 1 ª º § ·§ · « » ¨ ¸¨ ¸ © ¹© ¹ ¬ ¼ 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 2 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 6 4 4 10 § · ¨ ¸ © ¹ ABC = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 2 3 2 1 1 1 3 ª º § ·§ · « » ¨ ¸¨ ¸ © ¹© ¹ ¬ ¼ = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 6 4 2 5 § · ¨ ¸ © ¹ = 6 4 4 10 § · ¨ ¸ © ¹ Jadi, ABC = ABC Matriks 49 b AB + C = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 2 3 2 1 1 1 3 ª º § · § · « » ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ ¬ ¼ = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 5 2 2 4 § · ¨ ¸ © ¹ = 5 2 4 8 § · ¨ ¸ © ¹ AB + AC = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 2 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ + 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 2 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ + 3 2 2 6 § · ¨ ¸ © ¹ = 5 2 4 8 § · ¨ ¸ © ¹ Jadi, AB + C = AB + AC 3 B + CA = 2 3 2 1 1 1 3 ª º § · § · « » ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ ¬ ¼ 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ = 5 2 2 4 § · ¨ ¸ © ¹ 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ = 5 4 2 8 § · ¨ ¸ © ¹ BA + CA = 2 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ + 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ = 2 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ + 3 4 1 6 § · ¨ ¸ © ¹ = 5 4 2 8 § · ¨ ¸ © ¹ Jadi, B + CA = BA + CA 50 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa Untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat dijumlahkan dikalikan dipenuhi: 1. ABC = ABC o Sifat Asosiatif 2. AB + C = AB + AC o Sifat Distributif Kiri 3. B + CA = BA + CA o Sifat Distributif Kanan 4. kAB = kAB = AkB o Perkalian Skalar 5. AI = IA = A o Sifat Identitas 6. AO = OA = O o Sifat Matriks Nol 7. AB z BA o Tidak Berlaku Sifat Kumutatif Kerjakan dengan kelompok Anda Buktikan bahwa: 1. kAB = kAB = AkB 2. AI = IA = A 3. AO = OA = O 4. AB z BA Diskusikan dengan kelompok Anda Kerjakan di buku tugas Anda 1. Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini: a. 4 2 1 3 0 3 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ b. 2 4 1 x y z § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ c. 7 5 6 x y z § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Tugas Kelompok Latihan 5 Matriks 51 2. Diketahui matriks A = 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ . Tentukan matriks A 3 3. Tentukan nilai ab + 2cd jika 3 4 10 1 5 1 11 13 a b c d § ·§ · § · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © ¹© ¹ © ¹ 4. Diketahui matriks: A = 1 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ , B = 2 3 4 1 § · ¨ ¸ © ¹ , dan C = 2 5 3 3 1 4 § · ¨ ¸ © ¹ . Tentukan: a. AB d. A t . C b. AC e. B t. C c. BC f. C t . A 5. Diketahui matriks: A = 1 4 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ , B = 1 3 4 5 § · ¨ ¸ © ¹ , dan C = 2 3 1 4 § · ¨ ¸ © ¹ Tentukan: a. AB + C b. AB + AC c. B + CA d. BA + CA

C. Determinan dan Invers Matriks

Pada pembahasan berikut ini, kita akan mempelajari cara menentukan determinan dan invers matriks, khususnya matriks berordo 2 u 2, dan penggunaannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

1. Determinan Matriks

Jika diketahui matriks A = 4 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ , maka hasil kali antara 4 dan 3 dikurangi hasil kali 1 dan 2, yaitu 12 – 2 = 10 dinamakan determinan. Determinan sebuah matriks adalah sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen–elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu. 52 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa Penulisan determinan adalah dengan garis lurus. A = 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 ... ... ... ... ... ... .... ... n n m m m mn a a a a a a a a a a a a § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ , maka determinan matriks A: det A = A = 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 ... ... ... ... ... ... ... ... n n m m m mn a a a a a a a a a a a a a. Memahami determinan matriks ordo 2 u 2 Khusus untuk matriks ordo 2 u 2, nilai determinannya merupakan hasil kali elemen–elemen pada diagonal utama dikurangi hasil kali elemen–elemen pada diagonal samping. Jika A = a b c d § · ¨ ¸ © ¹ , maka determinan matriks A didefinisikan: det A = A = a b c d = ad – bc Contoh 2.25 1 Diketahui matriks A = 5 3 2 4 § · ¨ ¸ © ¹ . Hitunglah determinan matriks A Jawab: det A = A = 5 3 2 4 = 5–4 – 2–3 = –20 + 6 = –14 b. Memahami determinan matriks ordo 3 u 3 pengayaan Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 u 3, yaitu dengan meletakkan lagi elemen–elemen kolom pertama dan kedua di sebelah kanan kolom ketiga. Jika A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ , maka determinan matriks A: Matriks 53 det A = A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a = 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a – – – + + + = a 11 . a 22 . a 33 + a 12 . a 23 . a 31 + a 13 . a 21 . a 32 – a 13 . a 22 . a 31 – a 11 . a 23 . a 32 – a 12 . a 21 . a 33 Contoh 2.26 Diketahui matriks A = 3 4 2 2 1 0 5 2 7 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . Hitunglah determinan matriks A Jawab: det A = A = 3 4 2 3 4 2 1 0 2 1 5 2 7 5 2 – – – + + + = 317 + 405 + 2–22 – 215 – 302 – 4–27 = 21 + 0 – 8 – 10 – 0 + 56 = 59 Kerjakan di buku tugas Anda 1. Tentukan determinan dari matriks berikut: a. A = 6 2 3 5 § · ¨ ¸ © ¹ b. B = 1 7 3 0 § · ¨ ¸ © ¹ c. C = 4 3 3 2 § · ¨ ¸ © ¹ Catatan G Matriks yang determinannya nol 0 disebut matriks singular dan tidak mempunyai invers. G Matriks yang determinannya tidak nol 0 disebut matriks taksingular atau nonsingular dan selalu mempunyai invers. Latihan 6