P
2
. ,
1 ,
1 ,
1 1
n j
u x
l x
VaR v
P kendala
x c
v E
maksimasi
j j
j n
j j
n j
j j
x
8. Pengembangan model
Jika model di atas diterapkan pada multi asset, Supian 2007 [31, 35, 36], maka nilai portofolio diakhir periode
q i
v
i
, 1
,
,
q i
VaR v
P
i i
, 1
,
, expected shortfall adalah
i i
i
VaR v
v E
, mean absolute deviation
i i
i i
v E
v v
E v
E
, dan semi- varians
2 i
i i
i
v E
v v
E v
E
,
jika ,
1 ,
n j
x
j
merepresentasikan proporsi pada
total uang yang disimpan pada sekuritas j, ,
1 ,
dan
2 1
n j
u l
j j
berturut-turutut
menotasikan proporsi minimum dan maksimum pada total jumlah uang yang simpan pada sekuritas j adalah variabel acak yang merepresentasikan rate of i return pada sekuritas j.
Untuk n
j ,
1
dan q
i ,
1
, berikan q
i n
j r
ji
, 1
, ,
1 ,
adalah variabel acak yang merepresentasikan rate of i return pada sekuritas j adalah
.
n j
j ji
i
x r
v
1
Asumsikan bahwa investor mengalokasikan sebagian kekayaannya n risiko sekuritas. Jika profil risiko pada investor ditentukan dalam bentuk
q i
VaR
i
, 1
,
, maka solusi mean- VaR
portofolio efisien dapat diselesaikan dengan permasalahan optimisasi berikut, Supian, 2007 [31, 35]
19
8.1 ]
, [
1 q
R x
v E
v E
maksimasi
n
q i
VaR v
kendala
i i
i
, 1
, Pr
8.2
, 8.3
n j
j
x
1
1
n j
M x
M
j j
j
, 1
,
2 1
. 8.4
Model ini menunjukkan bahwa investor mencoba memaksimumkan nilai portofolio untuk waktu yang akan datang, yang membutuhkan probabilitas bahwa nilai portofolio yang
akan datang mendekati VaR
i
dengan tidak lebih dari
q i
i
, 1
,
.
9. Kasus model proposional transaction cost
Jika diasumsikan bahwa rate of transaction cost pada sekuritas ,
1 n
j j
dan
dialokasikan pada q
i i
, 1
,
aset adalah . Transaction cost
pada sekuritas
ji
c j
dan di alokasikan pada i aset adalah
. Transaction cost pada portofolio
j j
x c
1
,...,
n
x x
x
adalah
q i
x
c
n j
j ji
, 1
,
1
. Dengan mempetimbangkan tansaction cost dan kendala shortfall probability
, maka model mean VaR portofolio seleksi dengan transaction cost adalah 9.5
] ,
[
1 1
1 1
n j
j jq
q n
j j
j R
x
x c
v E
x c
v E
maksimasi
n
q i
VaR v
kendala
i i
i
, 1
, Pr
9.6
, 9.7
n j
j
x
1
1
n j
M x
M
j j
j
, 1
,
2 1
. 9.8
20
10. Model posibilistik mean VaR portofolio seleksi
10.1 Teori posibilistik
Dasar dari konsep dan teknik dari teori possibility dikemukakan oleh Zadeh, 1970. Misalkan
a ~
dan
b ~
dua bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan masing-masing berturut-turut
b a
dan
~ ~
dan
b ~
, maka possibilitas dari
a ~
dan
b ~
didefinisikan sebagai berikut: Dubois dan Prade 1990,
}. ,
sup{min ~
~ ,
} ,
, sup{min
~ ~
}, ,
, sup{min
~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
R R,
R, x
x x
b a
Pos y
x y
x y
x b
a Pos
y x
y x
y x
b a
Pos
b a
b a
b a
10.1 Jika
b ~
adalah suatu bilangan crisp invariabel b, didapat
}
~ }
, sup{
} ~
{ }
, sup{
} ~
{
~ ~
~
b b
a Pos
b x
x x
b a
Pos b
x x
x b
a Pos
a a
a
R
R 10.2
Untuk suatu operasi dengan bilangan biner dari himpunan fuzzy. Jika
dinotasikan bilangan fuzzy bilangan
, maka fungsi keanggotaan R
R R
: f
b a
~ ,
~ ~
, ~
~ b
a f
c
c~
dapat diurunkan dari fungsi keanggoaan
a ~
dan
b ~
dengan
} ,
, ,
, sup{min
~ ~
~
y x
f z
y x
y x
z
b a
c
R
10.3
Untuk suatu . Jadi, posibilistik bahwa bilangan fuzzy
mempunyai nilai adalah lebih besar dari kombinasi kemungkinan dari bilangan riil x,y sedemikian
z = fx,y , dimana nilai
R
z
~ ,
~ ~
b a
f c
R
z a
~
dan
b ~
berturut-turut x dan y.
10.2 Bilangan trapezoidal fuzzy
Rate of return pada sekuritas diberikan dengan bilangan trapezoidal fuzzy
, ,
, ~
4 3
2 1
r r
r r
r
dimana
4 3
2 1
r r
r r
. Maka fungsi keangotaan bilangan fuzzy r~
diformulasikan:
21
