Pengembangan model Model Optimisasi Portofolio Menggunakan Himpunan Fuzzy.

10. Model posibilistik mean VaR portofolio seleksi

10.1 Teori posibilistik

Dasar dari konsep dan teknik dari teori possibility dikemukakan oleh Zadeh, 1970. Misalkan a ~ dan b ~ dua bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan masing-masing berturut-turut b a dan ~ ~   dan b ~  , maka possibilitas dari a ~ dan b ~ didefinisikan sebagai berikut: Dubois dan Prade 1990,                 }. , sup{min ~ ~ , } , , sup{min ~ ~ }, , , sup{min ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ R R, R, x x x b a Pos y x y x y x b a Pos y x y x y x b a Pos b a b a b a       10.1 Jika b ~ adalah suatu bilangan crisp invariabel b, didapat                } ~ } , sup{ } ~ { } , sup{ } ~ { ~ ~ ~ b b a Pos b x x x b a Pos b x x x b a Pos a a a    R R 10.2 Untuk suatu operasi dengan bilangan biner dari himpunan fuzzy. Jika dinotasikan bilangan fuzzy bilangan , maka fungsi keanggotaan R R R   : f b a ~ , ~ ~ , ~ ~ b a f c  c~  dapat diurunkan dari fungsi keanggoaan a ~  dan b ~  dengan } , , , , sup{min ~ ~ ~ y x f z y x y x z b a c    R    10.3 Untuk suatu . Jadi, posibilistik bahwa bilangan fuzzy mempunyai nilai adalah lebih besar dari kombinasi kemungkinan dari bilangan riil x,y sedemikian z = fx,y , dimana nilai R  z ~ , ~ ~ b a f c  R  z a ~ dan b ~ berturut-turut x dan y.

10.2 Bilangan trapezoidal fuzzy

Rate of return pada sekuritas diberikan dengan bilangan trapezoidal fuzzy , , , ~ 4 3 2 1 r r r r r  dimana 4 3 2 1 r r r r    . Maka fungsi keangotaan bilangan fuzzy r~ diformulasikan: 21                    . , , , , 1 , , , 4 3 4 3 4 3 2 2 1 1 2 1 ~ lainnya r x r r r r x r x r r x r r r r x x r  10.4 Ambil rate of return pada sekuritas dengan bilangan trapezolidal fuzzy , , , ~ 4 3 2 1 r r r r r  dimana 4 3 2 1 r r r r    . Maka fungsi keanggotaan dari fuzzy r~ dapat ditulis:                    . , , , , 1 , , , 4 3 4 3 4 3 2 2 1 1 2 1 ~ lainnya r x r r r r x r x r r x r r r r x x r  10.5 Jika diambil dua trapezoidal bilangan fuzzy , , , ~ 4 3 2 1 r r r r r  dan , , , ~ 4 3 2 1 b b b b b  , seperti terlihat pada Gambar 10.1. Jika , maka diperoleh: 3 2 b r      y x y x b r Pos b r    } , min{ sup ~ ~ ~ ~       , 1 1 , 1 min , min 3 ~ 2 ~    b r b r   mengakibatkan bahwa 1 ~ ~   b r Pos . Jika dan , mengakibatkan . Jika dan 3 2 b r  4 1 b r  1 ~ ~   b r Pos 3 2 b r  4 1 b r  maka suprimum adalah x  yang merupakan irisan dari dua fungsi keanggotaan ~ x r  dan ~ x b  , dimana   1 r x 2 1 r r    . Jika , maka untuk suatu 4 1 b r  y x  , satu dari persamaan , ~ ~   y x b r   , benar. 22