Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
29
C. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Dalam suatu bentuk operasi bilangan, ada kalanya bilangan tersebut memiliki penyebut dalam bentuk akar, seperti:
1 5
3 3 1
2 3 2 5
3 ,
, +
−
. Bentuk-bentuk bilangan tersebut dapat disederhanakan dengan cara me-
rasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Kegiatan merasionalkan pada intinya mengubah bentuk akar pada penyebut menjadi bentuk bilangan
rasional, yang pada akhirnya bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana.
Suatu bentuk pecahan yang memuat bilangan bentuk akar dikatakan sederhana jika dipenuhi:
1. setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan 2. tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.
Pada bagian ini, Anda akan mempelajari mengenai cara merasionalkan berbagai bentuk pecahan agar lebih sederhana.
1. Pecahan Bentuk a
b
Bentuk akar
a b
dengan b ≠ 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara
mengalikan pecahan dengan b
sehingga:
a b
a b
b b
a b
b =
× =
4. Jika x = 25 dan y = 64, tentukan nilai dari
x y
y x
−
⋅ −
3 2
2 3
1 3
1 2
5. Tentukan bentuk sederhana dari: a.
16 4 4
3 5
b.
1 5
5 25
1 625
0 04
4 4
4
× ×
× ,
Contoh Soal 2.8
Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.
a.
3 6
b.
5 3
c.
2 3
3
d.
2 3
1 3
+
Jawab: a.
3 6
3 6
6 6
3 6
6 1
2 6
= ´
= =
b.
5 2 3
5 2 3
3 3
1 2 3
15 1
6 15
= ´
= ×
=
c. Agar penyebut
3
3
dapat dirasionalkan, maka 3
3
dikalikan dengan 3
2 3
sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut: 2
3 2
3 3
3 2 9
3 2
3 9
3 3
2 3
2 3
3 3
= ´
= =
d.
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
1 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
+ =
+ =
+ =
= ´
= =
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
30
2. Pecahan Bentuk a
b – c
Untuk menyederhanakan bentuk pecahan a
b c
+ atau
a b
c −
adalah dengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari
b c
+ adalah
b c
− . Sebaliknya, bentuk sekawan dari
b c
− adalah
b c
+ sehingga
a b
c a
b c
b c
b c
a b c
b c
+ =
+ ´
- -
= -
-
2
a b
c a
b c
b c
b c
a b c
b c
- =
- ´
+ +
= +
-
2
Contoh Soal 2.9
Sederhanakan penyebut dari bentuk pecahan berikut.
a.
4 3
5 −
b.
2 7 1
+
c.
3 2 2
3 +
Jawab: a.
4 3
5 4
3 5
3 5
3 5
4 3 5
9 5
4 3 5
4 3
5 -
= -
´ +
+
= +
- =
+ = +
b.
2 7
1 2
7 1
7 1
7 1
2 7
1 7 1
2 7
1 6
7 1 3
+ =
+ ´
- -
= -
- =
- =
–
c.
3 2 2
3 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 6 3 3
8 9
2 6 3 3
1 3 3
2 6 +
= +
´ -
- =
- -
= -
- =
–
Solusi
Bentuk sederhana dari 4
3 5
+ adalah ....
a.
3 5
b.
4 5
+
c.
3 5
+
d.
4 5
−
e.
3 5
−
Jawab:
4 3
5 4
3 5
3 5
3 5
4 3
5 9 5
12 4 5 4
+ =
+ × −
− =
× − −
= −
= 3 5
−−
Jawaban: e
Sumber: UN SMK 2006
Di unduh dari : Bukupaket.com
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
31
3. Pecahan Bentuk a
b – c
Dan untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan a
b c
+ atau
a b
c −
, yaitu dengan cara mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari
b c
+ adalah
b c
− . Sebaliknya,
bentuk sekawan dari b
c −
adalah b
c +
sehingga
a b
c a
b c
b c
b c
a b
c b
c +
= +
´ -
- =
- -
a b
c a
b c
b c
b c
a b
c b
c -
= -
´ +
+ =
+ -
Solusi
Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari
6 15
10 −
adalah ....
a.
− −
2 5
15 3
5 10
b.
2 5
15 3
5 10
−
c.
3 5
10 2
5 15
−
d.
− +
2 5
15 3
5 10
e.
3 5
10 2
5 15
+
Jawab:
6 15
10 6
15 10
15 10
15 10
6 15
10 15 10
90 60
5 3 10 2 15
5 −
= +
× +
+ =
× +
− =
+ =
+ =
3 5
1 10 +
2 5
15 Jawaban: e
Sumber: Ebtanas 1998
Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.
a.
7 2 5
6 +
b.
2 3 6
3 −
c.
1 2
14 5
− −
Jawab: a.
7 2 5
6 7
2 5 6
2 5 6
2 5 6
7 2 5 6
20 6
7 2 5 6
14 2 5
6 2
+ =
+ ´
- -
= -
- =
- =
–
b.
2 3 6
3 2 3
6 3
6 3
6 3
2 18 2 3
6 3
6 2 6
3 2 2
2 -
= -
´ +
+ =
+ × -
= +
= +
c. 1
2 14
5 1
2 14
5 14
5 14
5 14
5 28
10 14
5 14
5 2 7
10 9
- -
= -
- ´
+ +
= +
- -
- =
+ –
–
Contoh Soal 2.10
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
32
4. Menyederhanakan Bentuk Akar a + b – 2 a b
Kategori