Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
34
1. Sifat-Sifat Logaritma
a. Sifat 1
Untuk a 0, a ≠ 1, berlaku:
a
log a = 1,
a
log 1 = 0, log 10 = 1 Bukti:
• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan
itu sendiri. Jadi, a
1
= a ⇔
a
log a = 1 •
Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, a
= 1 ⇔
a
log 1 = 0 •
Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1
b. Sifat 2
Untuk a 0, a ≠ 1, x 0 dan y 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x +
a
log y =
a
log xy Bukti:
a
log x = n ⇔ a
n
= x
a
log y = m ⇔ a
m
= y
a
log xy = p ⇔ a
p
= xy Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
xy = a
n
a
m
⇔ xy = a
n+m
a
p
= a
n+m
⇔ p = n+m
Contoh Soal 2.12
1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat. a.
3
log 9 = 2
b.
5
1 125
3 log
= −
c.
2
log 32 = 2p
Jawab: a.
3
log 9 = 2
⇔9 = 3
2
b.
5
1 125
3 1
125 log
= − ⇔ = 5
3 –
c.
2
log 32 = 2p
⇔ 32 = 2
2 p
2. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma. a.
7
2 −
= 1
49
b.
2 4
3 2
a
=
c.
3 3
3 3
2 p
p
=
Jawab: a.
7 1
49
2 −
= ⇔
7
log 1
49 = 2
– b.
2 4
3 2
a
= ⇔
2
log4 = 3
2 a
c.
3 3
3 3
2 p
p
= ⇔
3 3
log 3 =
3 2
p
p
Solusi
Nilai dari
2
log 3 +
2
log 8 –
2
log 6 adalah ....
a. 3 d.
1
b. 2 e.
1 2
c.
3 2
Jawab:
2
log 3 +
2
log 8 –
2
log6 =
2 2
2 2
2
3 8 6
4 2
2 2
log log
log log
× = =
= = 2
Jawaban: b
Sumber: UN SMK 2003
Info Math
John Napier 1550–1617
Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh
matematikawan Scotlandia, yaitu John Napier pada 1614
dalam bukunya yang berjudul Mirifici Logarithmorum
Canonis Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi yang
besar untuk kemajuan ilmu pengetahuan, salah satunya
pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan rumit
menjadi mudah.
Sumber: en.wikipedia.org Sumber: cantiques.karaokes.free.fr
Di unduh dari : Bukupaket.com
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
35
Maka: n =
a
log x, m =
a
log y dan p =
a
log xy, sehingga
a
log x +
a
log y =
a
log xy
c. Sifat 3
Untuk a 0, a ≠ 1, x 0 dan y 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
a a
a
x y
x y
log log
log −
= Bukti:
a
log x = n ⇔ a
n
= x
a
log y = m ⇔ a
m
= y
a p
x y
p a
x y
log = ⇔
= Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:
x y
a a
x y
a a
a p
n m
n m
n m p
n m
= ⇔ =
⇔ =
⇔ = −
− −
Jadi,
a a
a
x y
x y
log log
log −
=
.
d. Sifat 4
Untuk a 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
a
log x
n
= n
a
log x Bukti:
a n
a n faktor
a a
x x x x
x x
x log
log ...
log log
. =
× × × ×
= +
+
... log
log +
=
a n faktor
a
x n
x
Jadi,
a
log x
n
= n
a
log x.
e. Sifat 5
Untuk a, m 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
a n
a
m
x n
m x
log log
=
Bukti:
a
log x = p ⇔ a
p
= x
a n
m q n
m
x q
a x
log = ⇔
=
⋅
Dari bentuk pangkat di atas diperoleh: x
n
= a
m · q
⇔ a
p n
= a
mq
⇔ a
np
= a
mq
⇔ np = mq
⇔
q n
m p
=
Jadi,
a n
a
m
x n
m x
log log
=
.
Solusi
Nilai dari
2
log 48 +
5
log 50 –
2
log 3 –
5
log 2 adalah ....
a. –2 d.
2
b. –6 e.
6
c.
16 25
Jawab:
2 5
2 5
2 2
5 5
2
48 50
3 2
48 3
50 2
48 log
log log
log log
log log
log log
+ −
− ⇔
− +
− ⇔
3 3
50 2
16 25
5 2
5
+ ⇔
+ ⇔
log log
log
4 + 2 = 6 Jawaban: e
Sumber: UN SMK 2005
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
36 1. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
a.
2
log 6 +
2
log 18 –
2
log 27
b.
3 3
3
9 3
2 27
log log
log +
−
c.
8
log 32 +
8
log 16 –
8
log 128
Jawab: a.
2 2
2 2
2 2
2 2
6 18
27 6 18
27 4
2 2
2 2
log log
log log
log log
log +
- =
× =
= = ×
=
b.
3 3
3 3
2 3
1 2
3 3
3 3
9 3
2 27
3 3
2 3
2 3
1 2
log log
log log
log log
log lo
+ - ×
= +
- × =
+ × g
g log
3 2 3
3 2
1 2
6 1
2 4
7 2
3
- × = + -
= - = -
c.
8 8
8 8
8 2
2 2
32 16
128 32 16
128 4
2 2
3 2
3
log log
log log
log log
log +
+ =
× =
= = ×
= 2
2 3
2. Tentukan nilai x dari bentuk logaritma
Kategori