Sur l’espace num´erique R L’espace H

178 M. Bekkar r = f x x , s = f x y , t = f yy notation de Monge sont les d´eriv´ees de f x ,y de premier et deuxi`eme ordre par rapport `a x et y. Les formes fondamentales de S sont I = Edx 2 + 2Fdxdy + Gdy 2 , I I = Ldx 2 + 2Mdxdy + Ndy 2 . Sur l’espace tangent T m S au point m de S il existe une base qui diagonalise simul- tan´ement les matrices associ´ees aux formes quadratiques pr´ec´edentes I et I I . Les va- leurs propres k 1 et k 2 sont appel´ees courbures principales. Le produit K G = k 1 k 2 = L N − M 2 E G − F 2 = r t − s 2 1 + p 2 + q 2 2 et la demi somme H = 1 2 k 1 + k 2 = E N + G L − 2F M 2E G − F 2 = r 1 + q 2 − 2 pqs + t 1 + p 2 21 + p 2 + q 2 3 2 sont respectivement la courbure de Gauss et la coubure moyenne. Une surface dans R 3 est dite d´eveloppable si sa courbure de Gauss K G est nulle c.-`a-.d. r t − s 2 = 0. Elle est dite minimale si sa courbure moyenne H est nulle c.-`a-.d. r 1 +q 2 −2 pqs +t 1+ p 2 = 0.

1.2. Sur l’espace num´erique R

3 est d´efinie la structure de groupe de Lie nilpotent H 3 , dit de Heisenberg, par la multiplication π H : R 3 × R 3 → R 3 qui `a m, m ′ associe m ′′ d´efini par m = x,y,z, m ′ = x ′ , y ′ , z ′ , m ′′ = x ′′ , y ′′ , z ′′ = x + x ′ , y + y ′ , z + z ′ + 1 2 x ′ y − 1 2 x y ′ o `u x , x ′ , y, y ′ , z, z ′ ∈ R. Les formes de Pfaff dx, dy, ω sont invariantes par les translations `a gauche sur H 3 . Les champs de vecteurs duaux `a ces trois 1-formes sont X = ∂ x − 1 2 y∂ z , Y = ∂ y + 1 2 x ∂ z , Z = ∂ z . Une surface S dans H 3 d´ecrite comme graphe d’une fonction a pour ´equation z = f x,y. Un vecteur unitaire normal `a S au point mx, y, z = f x,y s’exprime par: N m = 1 p 1 + P 2 + Q 2 P X + QY − Z o`u P = p + y 2 , Q = q − x 2 . La diff´erentielle dL m −1 de la translation `a gauche L m −1 transporte le vecteur N m en l’´el´ement neutre du groupe H 3 , c’est `a dire en 0. Soit donc: dL m −1 N m = 1 p 1 + P 2 + Q 2 P X + QY − Z . Sur un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles dans H 3 179 L’application qui `a x ,y ∈ R 2 associe dL m −1 N m ∈ S 2 ⊂ T H 3 , o `u S 2 d´esigne la sph`ere unit´e de l’espace Euclidien T H 3 , est d´eg´en´er´ee si et seulement si: P ∂ P ∂ x ∂ P ∂ y Q ∂ Q ∂ x ∂ Q ∂ y −1 0 = P r s + 1 2 Q s − 1 2 t −1 = rt − s 2 + 1 4 = 0 o `u |-| repr´esente le d´eterminant. Ceci explique la provenance de l’´equation s H 1 .

1.3. L’espace H

3 est aussi l’espace num´erique R 3 muni de la m´etrique Riemannienne ds 2 = dx 2 + dy 2 + ω 2 . Celle-ci d´efinit la structure Riemannienne invariante `a gauche sur H 3 . Cette m´etrique est invariante par les translations `a gauche et aussi les rotations autour de l’axe Oz. H 3 est un espace homog`ene qui jouit de la plus grande mobilit´e apr`es R 3 Euclidien, la sph`ere S 3 et l’espace hyperbolique H 3 . Son groupe d’isom´etries est de dimension quatre. Plus pr´ecisement, la composante connexe de l’identit´e est le groupe des transformations affines de R 3 suivantes:   x y z   − − − − − −− −→   cos θ − sin θ sin θ cos θ A B 1     x y z   +   a b c   o `u θ,a,b,c sont des r´eels, A = 1 2 a sin θ − b cos θ et B = 1 2 a cos θ + b sin θ. Dans la suite les ´el´ements de ce groupe seront not´ees θ ; a,b,c. Ce groupe contient des rota- tions θ ; 0,0,0 de R 3 autour de l’axe Oz et aussi les translations `a gauche 0; a,b,c. Les ´el´ements de la premi`ere forme fondamentale dans H 3 sont E = 1 + P 2 , F = P Q, G = 1 + Q 2 . Le vecteur normal N m , norm´e en tout point d’une surface dans H 3 , a pour composantes: N m = 1 p 1 + P 2 + Q 2 P, Q, − 1. La d´eg´en´erescense de la diff´erentielle dL m −1 de la translation `a gauche L m −1 peut aussi se traduire par N m , ∂ x N m , ∂ y N m = 0 o `u le crochet d´esigne le produit mixte entre le vecteur normal N m et ses d´eriv´ees ∂ x N m , ∂ y N m par rapport `a x et y. C’est l’´equation s H 1 . Elle est du type Monge-Amp`ere; elle apparait en th´eorie m´ecanique de la chaleur et est ´etudi´ee par les Classiques dans plusieurs ouvrages qui traitent la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles et leurs applications aux surfaces voir [5] ou [4]. R EMARQUE 1. On peut observer que pour une surface de R 3 , la condition d’avoir la diff´erentielle de l’application de Gauss d´eg´en´er´ee ´equivaut `a la courbure de Gauss nulle. Cette condition est interpr´et´ee par l’´equation s E 1 et de telles surfaces sont dites d´eveloppables. La condition analogue pour une surface de H 3 donne l’´equation s H 1 sans pour autant permettre l’annulation de la courbure de Gauss qui est donn´ee par K H = r t − s 2 − 3 4 − r − tP Q − sQ 2 − P 2 − 1 2 Q 2 + P 2 1 + Q 2 + P 2 2 . 180 M. Bekkar 1.4. Dans [1] on trouve l’´equation des surfaces minimales s