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M. Bekkar

∗

SUR UN SYST `

EME D’ ´

EQUATIONS AUX D ´

ERIV ´

EES

PARTIELLES DANS L’ESPACE DE HEISENBERG.

R´esum´e. It is well known that in 3-dimensional Euclidean spaceR3_,the only developable and minimal surface is the plane. In other words, affine functions z ₌ f(x,y)₌ax₊by₊c, (a,b,c) ǫR3in x,y are the only

solutions of the system of 2 partial differential equations: (s_E)

r t₋s2₌0

r(1₊q2)₋2 pqs₊t(1₊p2)₌0

where equation (s_E)1 is the equation of developable surfaces and (s_E)2 is the equation of minimal surfaces in Euclidean spaceR3_{.We use the} Monge notation p,q,r,s,t for the first and second order derivatives of

f(x,y).

The spaceR3_{, with Riemannian metric ds}2

H=d x2+d y2+ω2, (where ωis the Pfaffian 1-form defined byω₌(d z₊1₂yd x₋1₂x d y)) is named Heisenberg spaceH₃and has a structure of nilpotent Lie group that acts onH₃by left translations keeping ds2

Hinvariant. By analogy with the

Eu-clidean space we study in space H₃ the system of 2 partial differential equations:

(s_H)

r t₋s2₊1_{4 =}0

r(1₊(q₋x₂)2)₋2(p₊y₂)(q₋x₂)s₊t(1₊(p₊₂y)2)₌0 where equation (s_H)1expresses the property of the indicatrix of normals to the surface under left translation to be degenerate. This equation has been studied as particular example of Monge-Amp`ere equation since it inter-prets a phenomenon in physics. Equation (s_H)2is the equation of minimal surfaces inH₃.

1. Introduction

1.1. Dans R3 _{euclidien, on consid`ere une surface(S)d´efinie comme graphe d’une} fonction z ₌ f(x,y). Tout point de(S)est m ₌(x,y,f(x,y)),et p₌ fx,q = fy,

∗_{Ce travail a ´et´e fait pendant mon s´ejour `a l’Universit´e de Haute Alsace (f´evrier- juillet 2000). Je}

remercie mes professeurs et amis pour leur cordial accueil. Merci `a A¨ıcha et les enfants qui ont ´et´e tr`es compr´ehensifs.

r ₌ fx x,s= fx y,t = fyy(notation de Monge) sont les d´eriv´ees de f(x,y)de premier et deuxi`eme ordre par rapport `a x et y. Les formes fondamentales de(S)sont

I ₌Ed x2₊2Fd x d y₊Gd y2, I I ₌Ld x2₊2Md x d y₊N d y2.

Sur l’espace tangent TmS au point m de(S)il existe une base qui diagonalise simul-tan´ement les matrices associ´ees aux formes quadratiques pr´ec´edentes I et I I . Les va-leurs propres k1et k2sont appel´ees courbures principales. Le produit

KG =k1k2=

L N ₋M2

E G₋F2 =

(r t₋s2) (1₊p2_+q2₎2 et la demi somme

H ₌1

2(k1+k2)=

E N ₊G L₋2F M

2(E G₋F2₎ =

r(1₊q2)₋2 pqs₊t(1₊p2) 2(1₊p2

+q2₎3₂

sont respectivement la courbure de Gauss et la coubure moyenne. Une surface dansR3 est dite d´eveloppable si sa courbure de Gauss KGest nulle (c.-`a-.d. r t<sub>−</sub>s2<sub>=</sub>0). Elle est dite minimale si sa courbure moyenne H est nulle (c.-`a-.d. r(1₊q2)₋2 pqs₊t(1₊

p2)₌0).

1.2. Sur l’espace num´eriqueR3_{est d´efinie la structure de groupe de Lie nilpotentH3,} dit de Heisenberg, par la multiplication π_H :R3

×R3

→R3_{qui `a(m,m}′_{)associe m}′′

d´efini par

m₌(x,y,z),m′₌ x′,y′,z′,

m′′₌ x′′,y′′,z′′

=(x₊x′,y₊y′,z₊z′₊1

2x

′_y−1

2x y

′₎

o `u x, x′, y, y′, z,z′ <sub>∈</sub> R. Les formes de Pfaff d x,d y, ω sont invariantes par les translations `a gauche surH₃.Les champs de vecteurs duaux `a ces trois 1-formes sont

X ₌∂x−

1

2y∂z, Y =∂y+ 1

2x∂z, Z =∂z.

Une surface (S)dansH₃ d´ecrite comme graphe d’une fonction a pour ´equation

z₌ f(x,y).Un vecteur unitaire normal `a(S)au point m(x,y,z₌ f(x,y))s’exprime par:

Nm =

1 p

1₊P2_+Q2(P X +QY−Z) o `u P= p+

y

2, Q=q−

x

2. La diff´erentielle d(Lm)−1de la translation `a gauche(Lm)−1transporte le vecteur Nm en l’´el´ement neutre du groupeH<sub>3</sub>, c’est `a dire en 0.Soit donc:

d(Lm)−1(Nm)=

1 p

L’application qui `a(x,y)_∈R2_{associe d(L}

m)−1(Nm)∈S₀2⊂(TH3)0,o `u S<sub>0</sub>2d´esigne la sph`ere unit´e de l’espace Euclidien(TH_{3)0,est d´eg´en´er´ee si et seulement si:}

P ∂_∂P_x ∂_∂P_y Q ∂_∂Q_x ∂_∂Q_y

−1 0 0 =

P r s₊1₂

Q s₋1₂ t

−1 0 0

=r t₋s2₊1

4 =0 o `u_|-_| repr´esente le d´eterminant. Ceci explique la provenance de l’´equation (s_H)1.

1.3. L’espaceH₃est aussi l’espace num´eriqueR3muni de la m´etrique Riemannienne

ds2₌d x2₊d y2₊ω2.Celle-ci d´efinit la structure Riemannienne invariante `a gauche surH<sub>3. Cette m´etrique est invariante par les translations `a gauche et aussi les rotations</sub> autour de l’axe(Oz).H<sub>3est un espace homog`ene qui jouit de la plus grande mobilit´e</sub> apr`esR3_{Euclidien, la sph`ereS}3_{et l’espace hyperboliqueH}3_{. Son groupe d’isom´etries} est de dimension quatre. Plus pr´ecisement, la composante connexe de l’identit´e est le groupe des transformations affines deR3_suivantes:

  x y z  − − − − − −− −→  

cosθ ₋sinθ 0 sinθ cosθ 0

A B 1

    x y z  +   a b c  

o `uθ ,a,b,c sont des r´eels, A<sub>=</sub>1<sub>2</sub>(a sinθ<sub>−</sub>b cosθ )et B <sub>=</sub>1<sub>2</sub>(a cosθ<sub>+</sub>b sinθ ). Dans la suite les ´el´ements de ce groupe seront not´ees(θ<sub>;</sub>a,b,c).Ce groupe contient des rota-tions(θ<sub>;</sub>0,0,0)deR3autour de l’axe(Oz)et aussi les translations `a gauche(0_;a,b,c).

Les ´el´ements de la premi`ere forme fondamentale dansH₃sont E ₌1₊P2_,F

=

P Q,G₌1₊Q2.Le vecteur normal Nm,norm´e en tout point d’une surface dansH3, a pour composantes:

Nm =

1 p

1₊P2_+Q2(P, Q, −1).

La d´eg´en´erescense de la diff´erentielle d(Lm)−1de la translation `a gauche(Lm)−1peut aussi se traduire par

Nm, ∂xNm, ∂yNm=0

o `u le crochet d´esigne le produit mixte entre le vecteur normal Nmet ses d´eriv´ees∂xNm, ∂yNm par rapport `a x et y. C’est l’´equation (sH)1. Elle est du type Monge-Amp`ere; elle apparait en th´eorie m´ecanique de la chaleur et est ´etudi´ee par les Classiques dans plusieurs ouvrages qui traitent la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles et leurs applications aux surfaces (voir [5] ou [4]).

REMARQUE1. On peut observer que pour une surface deR3_{,la condition d’avoir} la diff´erentielle de l’application de Gauss d´eg´en´er´ee ´equivaut `a la courbure de Gauss nulle. Cette condition est interpr´et´ee par l’´equation (s_E)1et de telles surfaces sont dites d´eveloppables. La condition analogue pour une surface deH₃donne l’´equation (s_H)1 sans pour autant permettre l’annulation de la courbure de Gauss qui est donn´ee par

K_H=r t−s

2

−34−(r−t)P Q−s(Q 2

−P2)₋1₂(Q2₊P2)

1.4. Dans [1] on trouve l’´equation des surfaces minimales (s_H)2 dans H_{3 et aussi} quelques solutions particuli`eres. Dans [3] on donne une description g´en´erale de toutes les surfaces minimales r´egl´ees dansH<sub>3,soit par des droites g´eod´esiques ou par des</sub> droites qui ne sont pas g´eod´esiques. Certaines surfaces minimales deH<sub>3,(c.-`a-.d.,</sub> cer-taines solutions de (s_H)2), sont aussi solutions de (sH)1. Dans cet article on r´esoud le syst`eme (s_H). Nous allons, avant cela, rappeler et d´emontrer une propri´et´e g´eom´etrique du plan dansR3interpr´et´ee par (s_E).

2. R´esolution des syst`emes (s_E) et (s_H)

PROPOSITION1. Le plan est la seule surface d´eveloppable et minimale dansR3

euclidien.

Preuve. Analytiquement cela revient a r´esoudre le syst`eme d’´equations aux

d´eriv´ees partielles suivant: (s_E)

r t₋s2₌0

r(1₊q2)₋2 pqs₊t(1₊p2)₌0.

Dans [5] (pp.70-71, Vol. 3) on trouve la r´esolution de l’´equation (s_E)1qui est du type Monge-Amp`ere et qui admet les trois int´egrales premi`eres:

 



q₌F(p)

z₋px₋q y ₌8(p)

x₊y F′(p)₊8′(p)₌0.

Le prime d´esigne la d´erivation par rapport `a p et la troisi`eme ´equation est obtenue en diff´erentiant la deuxi`eme. En d´erivant par rapport `a x et `a y la premi`ere ´equation du syst`eme pr´ec´edent on obtient qx = s = r F′ et qy = t = s F′.En les portant dans l’´equation (s_E)2des surfaces minimales, on doit avoir, pour F′6=0,

s(1₊q2)₋2 pqs F′₊s(1₊p2)F′2₌0.

Si s ₆₌ 0, on obtient l’´equation du second degr´e en F′ dont le discriminant vaut

−(1₊ p2₊q2). Comme il n’y a pas de solution r´eelle on doit avoir s ₌ 0, ou

t₌0_;la solution est z₌ f(x,y)₌ax₊by₊c. On obtient aussi le mˆeme r´esultat si F′_=0.

En ce qui concerne le syst`eme (s<sub>H</sub>) dansH<sub>3</sub>nous avons le THEOR´ EME` 1. Les solutions du syst`eme(s_H) (s_H)

r t₋s2₊1_{4 =}0

sont les solutions de l’´equation diff´erentielle

(E₁) (1₊ϕ′2₋αϕ′ϕ′′)₌(αϕ′₋(1₊α2)ϕ′′)ψ′′,o `u ψ′′₋ϕ′′₆₌0.

o `uϕetψsont deux fonctions arbitraires qui d´ependent, s´eparement et respectivement,

des param`etresαetβ, et dont la surface z <sub>=</sub> f(x,y)est param`etr´ee comme suit:

x ₌ψ′₋ϕ′, y₌α₋β,z₌(α+β)

2 x+ϕ−ψ

Preuve. Selon la r´esolution classique des ´equations aux d´eriv´ees partielles (voir

[5], pp.71-73, Vol.3), (s_H)1 est du type Monge-Amp`ere. En effet, (pour une surface

z₌ f(x,y))pour sa r´esolution on pose:

(s1)

 



x₌ψ′₋ϕ′

y₌α₋β

z₌ ψ′−₂ϕ′(α₊β)₊ϕ₋ψ₌(α+₂β)x₊ϕ₋ψ

o `uαetβsont deux param`etres quelconques dontϕetψsont deux fonctions arbitraires qui en d´ependent respectivement et le prime indique la d´erivation. Les diff´erentielles s’´ecrivent:

(s2)

 



d x₌ψ′′_dβ−ϕ′′_dα

d y₌dα₋dβ

d z₌ x₂(dα₊dβ)₊(α+₂β)(ψ′′dβ₋ϕ′′dα)₊ϕ′dα₋ψ′dβ soit donc:

dα₌ 1

ψ′′_−ϕ′′(d x+ψ′′d y), dβ=

1

ψ′′_−ϕ′′(d x+ϕ′′d y)

ce qui nous permet d’avoir la diff´erentielle

d z₌ 1

2(α+β)d x+ 1 2(ψ

′_+ϕ′_{)d y.}

En comparant avec d z₌pd x₊qd y on a

p₌1

2(α+β), q = 1 2(ψ

′_+ϕ′_).

De nouveau les diff´erentielles des fonctions pr´ec´edentes sont:

d p₌ 1

2(dα+dβ)=r d x+sd y, dq=

1 2(dψ

′_+dϕ′_{)=sd x+td y}

ce qui donne, via les expressions de dαet dβ pr´ec´edentes:

r₌ 1

ψ′′₋ϕ′′, s=

ψ′′₊ϕ′′

2(ψ′′₋ϕ′′), t= ψ′′ϕ′′ ψ′′₋ϕ′′.

En reportant ces d´eriv´ees dans l’´equation des surfaces minimales (s_H)2 on obtient l’´equation diff´erentielle

(E₁) (1₊ϕ′2₋αϕ′ϕ′′)₌(αϕ′₋(1₊α2)ϕ′′)ψ′′,o `u ψ′′₋ϕ′′₆₌0 ou aussi

ψ′′ ₌ 1+ϕ

′2

−αϕ′ϕ′′

αϕ′_−(1+α2_)ϕ′′, o `u ψ′′−ϕ′′6=0.

C’est une ´equation diff´erentielle (`a variables s´eparables) enϕetψ.Selon la r´esolution classique des ´equations diff´erentielles on aψ′′<sub>=k (k cste), c’est `a dire:</sub>

ψ(β)₌ k 2β

2

+c1β+c2, c1,c2∈R.

La solution de l’´equation diff´erentielle d´ependra de cette constante fondamentale k. On a deux cas:

i) k ₌0. Apr`es un calcul classique, la solution de l’´equation diff´erentielle (E_{1) est:}

(

ψ(β)₌c1β+c2

ϕ(α)₌₂1_λhλα√λ2_α2_{−1−Log(λα+}√_λ2_α2₋₁₎i_+c 3,

avecλ et c3 comme constantes d’int´egration (notons par(_∗)l’expressionϕ′(α) ₌

±√λ2_α2_−1).

En utilisant les relations du syst`eme(s1)on en d´eduit: α₌ 1

λ p

(x₋c1)2+1, β = 1 λ

p

(x₋c1)2+1−y qui donne l’expression z de(s1)

z₌ (x−c1)

2 ₁

λ p

(x₋c1)2+1−y

−

−₂1_λh(x₋c1) p

(x₋c1)2+1−Log((x−c1)+ p

(x₋c1)2+1) i

+c3. L’isom´etrie(0_{; −}c1,0,−c3)deH3permet de ramener cette surface au graphe de la fonction

z₌ f(x,y)₌η 2 h

xpx2_+1−Log(x+p_x2₊₁₎i_{−x y/2, η∈}R_.

On retrouve donc l’une des surfaces annonc´ee dans [1].

ii) k ₆₌ 0. On aura doncψ(β) ₌ 1₂kβ2₊c1β +c2 et on observe que l’´equation diff´erentielle enϕs’exprime comme:

qui admet comme solution particuli`ere ϕ′ <sub>= −</sub>α/k,soitϕ(α) <sub>= −</sub>α2/2k<sub>+</sub>c3. A partir des ´equations du syst`eme(s1)on obtient les expressions

α₌ k

k2₊₁(x−c1+ky), β =

1

k2₊₁(k(x−c1)−y) et en reportant dans z de (s1)on aura:

z₌ 1

2(k2

+1) h

k(x2₋y2)₊(k2₋1)x y₋2c1(kx−y)+c12k i

+c3−c2. L’isom´etrie(arctan k_;0,1₂c1

√

1₊k2_,0)deH

3permet de ramener cette surface au gra-phe de la fonction z₌ f(x,y)_{= −}x y/2. Ainsi la solution particuli`ere de(E_1)donne

cette surface, appel´ee parabolo¨ıde hyperbolique, surface d´ej`a annonc´ee dans [1] aussi. Pour la solution g´en´erale de(E_{1)on a:}

ϕ′′₌ 1+ϕ

′2

−kαϕ′ αϕ′_−k(1+α2₎

qui se ram`ene `a une ´equation du premier ordre par le changement ϕ′ _{= γ et qui}

devient:

γ′₌ 1+γ 2

−kαγ αγ₋k(1₊α2₎. Le changement de variables

σ _{= √} 1

k2₊₁α+

k

√

k2₊₁γ, Ŵ=

−k

√

k2₊₁α+

1

√

k2₊₁γ ,

permet de ramener cette ´equation diff´erentielle `a l’´equation diff´erentielle `a variables s´eparables

ŴdŴ Ŵ2₊₁ =

dσ

σ

Ce changement de variables correspond `a une rotation d’angle

arccos(1/√1₊k2_{) autour de l’origine et exprime les nouvelles coordonn´ees(σ,Ŵ)} par rapport aux coordonn´ees(α,γ ). L’´equation diff´erentielle pr´ec´edente est exprim´ee dans le nouveau rep`ere(γ1,γ2)o `uγ1= −α/k=ϕ′(solution particuli`ere qui est une droite) et γ2 =kαqui lui est perpendiculaire.Cette ´equation diff´erentielle s’int`egre facilement du fait qu’elle est comparable `a (_∗)de i) et la solution est:

Ŵ(σ )_{= ±} q

µσ2_{−1, µ∈}R_.

REMARQUE2. L’int´egration du syst`eme(s<sub>H</sub>)dansH<sub>3qui se ram`ene `a celle d’une</sub> ´equation diff´erentielle permet donc, dans des cas particuliers, de retrouver des surfaces explicites z <sub>=</sub> f(x,y). Dans le cas g´en´eral on int`egre l’´equation diff´erentielle sans avoir explicitement la (ou les) surface(s) correspondante(s).

R´ef´erences

[1] BEKKAR M., Exemples de surfaces minimales dans l’espace de Heisenberg, Rend. del Sem. Univ. Cagliari (Italie), 61 2 (1991), 123–130.

[2] BEKKARM., M´etriques riemanniennes qui admettent les plans comme surfaces

minimales, Th`ese de doctorat, Universit´e de Haute Alsace, sept. 1993, Mulhouse,

France.

[3] BEKKARM.ANDSARIT., Surfaces minimales r´egl´ees dans l’espace de

Heisen-berg, Rend. del Sem. Mat. Politec. Torino (Italie), 50 3 (1992), 243–254.

[4] DARBOUXG., Lec¸ons sur la th´eorie g´en´erale des surfaces. 1, 2, Gauthier-Villars et Fils, Paris 1894.

[5] GOURSATE., Cours d’analyse. 1, 2, 3, Gauthier-Villars, Paris 1956.

[6] HANGANTH., Sur les distributions totalement g´eod´esiques du groupe nilpotent

riemanien H2 p+1, Rend. del Sem. Univ. Cagliari (Italie), LV 1 (1985), 17–24.

[7] SANINIA., Gauss map of a surface of the Heisenberg group, Boll. dell’ Unione Mat. Italiana, 7 11-B (1997), suppl. fasc. 2, 79–93.

AMS Subject Classification: 49Q05, 53A10.

Mohamed Bekkar

Departement de Math´ematiques Facult´e des Sciences

Universit´e d’Oran Es-S´enia Oran, ALG ´ERIE

e-mail:bekkarm@univ-oran.dz ou

Laboratoire de math´ematiques, F. S. T. Universit´e de Haute Alsace

4, rue des Fr`eres Lumi`ere

68093 Mulhouse c´edex, FRANCE

L’application qui `a(x,y)_∈R2_{associe d(L}

m)−1(Nm)∈S₀2⊂(TH3)0,o `u S<sub>0</sub>2d´esigne la sph`ere unit´e de l’espace Euclidien(TH_{3)0,est d´eg´en´er´ee si et seulement si:}

P ∂_∂P_x ∂_∂P_y Q ∂_∂Q_x ∂_∂Q_y −1 0 0

=

P r s₊1₂

Q s₋1₂ t

−1 0 0

=r t₋s2₊1 4 =0 o `u_|-_| repr´esente le d´eterminant. Ceci explique la provenance de l’´equation (s_H)1.

1.3. L’espaceH₃est aussi l’espace num´eriqueR3muni de la m´etrique Riemannienne ds2₌d x2₊d y2₊ω2.Celle-ci d´efinit la structure Riemannienne invariante `a gauche surH<sub>3. Cette m´etrique est invariante par les translations `a gauche et aussi les rotations</sub>

autour de l’axe(Oz).H_{3est un espace homog`ene qui jouit de la plus grande mobilit´e}

apr`esR3<sub>Euclidien, la sph`ereS</sub>3_{et l’espace hyperboliqueH}3_{. Son groupe d’isom´etries} est de dimension quatre. Plus pr´ecisement, la composante connexe de l’identit´e est le groupe des transformations affines deR3_suivantes:

  x y z  − − − − − −− −→  

cosθ ₋sinθ 0 sinθ cosθ 0

A B 1

    x y z  +   a b c  

o `uθ ,a,b,c sont des r´eels, A<sub>=</sub>1<sub>2</sub>(a sinθ<sub>−</sub>b cosθ )et B <sub>=</sub>1<sub>2</sub>(a cosθ<sub>+</sub>b sinθ ). Dans la suite les ´el´ements de ce groupe seront not´ees(θ<sub>;</sub>a,b,c).Ce groupe contient des rota-tions(θ<sub>;</sub>0,0,0)deR3autour de l’axe(Oz)et aussi les translations `a gauche(0_;a,b,c).

Les ´el´ements de la premi`ere forme fondamentale dansH₃sont E ₌1₊P2_,F = P Q,G₌1₊Q2.Le vecteur normal Nm,norm´e en tout point d’une surface dansH3, a pour composantes:

Nm =

1 p

1₊P2_+Q2(P, Q, −1).

La d´eg´en´erescense de la diff´erentielle d(Lm)−1de la translation `a gauche(Lm)−1peut aussi se traduire par

Nm, ∂xNm, ∂yNm=0

o `u le crochet d´esigne le produit mixte entre le vecteur normal Nmet ses d´eriv´ees∂xNm,

∂yNm par rapport `a x et y. C’est l’´equation (sH)1. Elle est du type Monge-Amp`ere; elle apparait en th´eorie m´ecanique de la chaleur et est ´etudi´ee par les Classiques dans plusieurs ouvrages qui traitent la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles et leurs applications aux surfaces (voir [5] ou [4]).

REMARQUE1. On peut observer que pour une surface deR3_{,la condition d’avoir} la diff´erentielle de l’application de Gauss d´eg´en´er´ee ´equivaut `a la courbure de Gauss nulle. Cette condition est interpr´et´ee par l’´equation (s_E)1et de telles surfaces sont dites d´eveloppables. La condition analogue pour une surface deH₃donne l’´equation (s_H)1 sans pour autant permettre l’annulation de la courbure de Gauss qui est donn´ee par

K_H=r t−s 2

−34−(r−t)P Q−s(Q 2

−P2)₋1₂(Q2₊P2)

1.4. Dans [1] on trouve l’´equation des surfaces minimales (s_H)2 dans H_{3 et aussi}

quelques solutions particuli`eres. Dans [3] on donne une description g´en´erale de toutes les surfaces minimales r´egl´ees dansH_{3,soit par des droites g´eod´esiques ou par des}

droites qui ne sont pas g´eod´esiques. Certaines surfaces minimales deH_{3,(c.-`a-.d.,}

cer-taines solutions de (s_H)2), sont aussi solutions de (sH)1. Dans cet article on r´esoud le syst`eme (s_H). Nous allons, avant cela, rappeler et d´emontrer une propri´et´e g´eom´etrique du plan dansR3interpr´et´ee par (s_E).

2. R´esolution des syst`emes (s_E) et (s_H)

PROPOSITION1. Le plan est la seule surface d´eveloppable et minimale dansR3 euclidien.

Preuve. Analytiquement cela revient a r´esoudre le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles suivant:

(s_E)

r t₋s2₌0

r(1₊q2)₋2 pqs₊t(1₊p2)₌0.

Dans [5] (pp.70-71, Vol. 3) on trouve la r´esolution de l’´equation (s_E)1qui est du type Monge-Amp`ere et qui admet les trois int´egrales premi`eres:

 



q₌F(p)

z₋px₋q y ₌8(p) x₊y F′(p)₊8′(p)₌0.

Le prime d´esigne la d´erivation par rapport `a p et la troisi`eme ´equation est obtenue en diff´erentiant la deuxi`eme. En d´erivant par rapport `a x et `a y la premi`ere ´equation du syst`eme pr´ec´edent on obtient qx = s = r F′ et qy = t = s F′.En les portant dans l’´equation (s_E)2des surfaces minimales, on doit avoir, pour F′6=0,

s(1₊q2)₋2 pqs F′₊s(1₊p2)F′2₌0.

Si s ₆₌ 0, on obtient l’´equation du second degr´e en F′ dont le discriminant vaut −(1₊ p2₊q2). Comme il n’y a pas de solution r´eelle on doit avoir s ₌ 0, ou t₌0_;la solution est z₌ f(x,y)₌ax₊by₊c. On obtient aussi le mˆeme r´esultat si F′_=0.

En ce qui concerne le syst`eme (s_H) dansH₃nous avons le

THEOR´ EME` 1. Les solutions du syst`eme(s_H)

(s_H)

r t₋s2₊1_{4 =}0

sont les solutions de l’´equation diff´erentielle

(E₁) (1₊ϕ′2₋αϕ′ϕ′′)₌(αϕ′₋(1₊α2)ϕ′′)ψ′′,o `u ψ′′₋ϕ′′₆₌0.

o `uϕetψsont deux fonctions arbitraires qui d´ependent, s´eparement et respectivement, des param`etresαetβ, et dont la surface z ₌ f(x,y)est param`etr´ee comme suit:

x ₌ψ′₋ϕ′, y₌α₋β,z₌(α+β)

2 x+ϕ−ψ

Preuve. Selon la r´esolution classique des ´equations aux d´eriv´ees partielles (voir [5], pp.71-73, Vol.3), (s_H)1 est du type Monge-Amp`ere. En effet, (pour une surface z₌ f(x,y))pour sa r´esolution on pose:

(s1)

 



x₌ψ′₋ϕ′ y₌α₋β

z₌ ψ′−₂ϕ′(α₊β)₊ϕ₋ψ₌(α+₂β)x₊ϕ₋ψ

o `uαetβsont deux param`etres quelconques dontϕetψsont deux fonctions arbitraires qui en d´ependent respectivement et le prime indique la d´erivation. Les diff´erentielles s’´ecrivent:

(s2)

 



d x₌ψ′′_dβ−ϕ′′_dα d y₌dα₋dβ

d z₌ x₂(dα₊dβ)₊(α+₂β)(ψ′′dβ₋ϕ′′dα)₊ϕ′dα₋ψ′dβ

soit donc:

dα₌ 1

ψ′′_−ϕ′′(d x+ψ′′d y), dβ=

1

ψ′′_−ϕ′′(d x+ϕ′′d y)

ce qui nous permet d’avoir la diff´erentielle d z₌ 1

2(α+β)d x+ 1 2(ψ

′_+ϕ′_{)d y.}

En comparant avec d z₌pd x₊qd y on a p₌1

2(α+β), q = 1 2(ψ

′_+ϕ′_).

De nouveau les diff´erentielles des fonctions pr´ec´edentes sont: d p₌ 1

2(dα+dβ)=r d x+sd y, dq= 1 2(dψ

′_+dϕ′_{)=sd x+td y}

ce qui donne, via les expressions de dαet dβ pr´ec´edentes:

r₌ 1

ψ′′₋ϕ′′, s=

ψ′′₊ϕ′′

2(ψ′′₋ϕ′′), t= ψ′′ϕ′′ ψ′′₋ϕ′′.

En reportant ces d´eriv´ees dans l’´equation des surfaces minimales (s_H)2 on obtient l’´equation diff´erentielle

(E₁) (1₊ϕ′2₋αϕ′ϕ′′)₌(αϕ′₋(1₊α2)ϕ′′)ψ′′,o `u ψ′′₋ϕ′′₆₌0 ou aussi

ψ′′ ₌ 1+ϕ ′2

−αϕ′ϕ′′

αϕ′_−(1+α2_)ϕ′′, o `u ψ′′−ϕ′′6=0.

C’est une ´equation diff´erentielle (`a variables s´eparables) enϕetψ.Selon la r´esolution classique des ´equations diff´erentielles on aψ′′<sub>=k (k cste), c’est `a dire:</sub>

ψ(β)₌ k

2β 2

+c1β+c2, c1,c2∈R.

La solution de l’´equation diff´erentielle d´ependra de cette constante fondamentale k. On a deux cas:

i) k ₌0. Apr`es un calcul classique, la solution de l’´equation diff´erentielle (E_{1) est:} (

ψ(β)₌c1β+c2

ϕ(α)₌₂1_λhλα√λ2_α2_{−1−Log(λα+}√_λ2_α2₋₁₎i_+c 3,

avecλ et c3 comme constantes d’int´egration (notons par(_∗)l’expressionϕ′(α) ₌

±√λ2_α2_−1).

En utilisant les relations du syst`eme(s1)on en d´eduit:

α₌ 1 λ

p

(x₋c1)2+1, β = 1

λ

p

(x₋c1)2+1−y qui donne l’expression z de(s1)

z₌ (x−c1) 2

₁

λ

p

(x₋c1)2+1−y

−

−₂1_λh(x₋c1) p

(x₋c1)2+1−Log((x−c1)+ p

(x₋c1)2+1) i

+c3. L’isom´etrie(0_{; −}c1,0,−c3)deH3permet de ramener cette surface au graphe de la fonction

z₌ f(x,y)₌η

2 h

xpx2_+1−Log(x+p_x2₊₁₎i_{−x y/2, η∈}R_.

On retrouve donc l’une des surfaces annonc´ee dans [1].

ii) k ₆₌ 0. On aura doncψ(β) ₌ 1₂kβ2₊c1β +c2 et on observe que l’´equation diff´erentielle enϕs’exprime comme:

qui admet comme solution particuli`ere ϕ′ <sub>= −</sub>α/k,soitϕ(α) <sub>= −</sub>α2/2k<sub>+</sub>c3. A partir des ´equations du syst`eme(s1)on obtient les expressions

α₌ k

k2₊₁(x−c1+ky), β = 1

k2₊₁(k(x−c1)−y) et en reportant dans z de (s1)on aura:

z₌ 1

2(k2 +1)

h

k(x2₋y2)₊(k2₋1)x y₋2c1(kx−y)+c12k i

+c3−c2. L’isom´etrie(arctan k_;0,1₂c1

√

1₊k2_,0)deH

3permet de ramener cette surface au gra-phe de la fonction z₌ f(x,y)_{= −}x y/2. Ainsi la solution particuli`ere de(E<sub>1)donne</sub> cette surface, appel´ee parabolo¨ıde hyperbolique, surface d´ej`a annonc´ee dans [1] aussi. Pour la solution g´en´erale de(E_{1)on a:}

ϕ′′₌ 1+ϕ ′2

−kαϕ′ αϕ′_−k(1+α2₎

qui se ram`ene `a une ´equation du premier ordre par le changement ϕ′ _{= γ et qui}

devient:

γ′₌ 1+γ

2

−kαγ αγ₋k(1₊α2₎. Le changement de variables

σ _{= √} 1 k2₊₁α+

k √

k2₊₁γ, Ŵ= −k √

k2₊₁α+ 1 √

k2₊₁γ ,

permet de ramener cette ´equation diff´erentielle `a l’´equation diff´erentielle `a variables s´eparables

ŴdŴ Ŵ2₊₁ =

dσ σ

Ce changement de variables correspond `a une rotation d’angle

arccos(1/√1₊k2_{) autour de l’origine et exprime les nouvelles coordonn´ees(σ,Ŵ)} par rapport aux coordonn´ees(α,γ ). L’´equation diff´erentielle pr´ec´edente est exprim´ee dans le nouveau rep`ere(γ1,γ2)o `uγ1= −α/k=ϕ′(solution particuli`ere qui est une droite) et γ2 =kαqui lui est perpendiculaire.Cette ´equation diff´erentielle s’int`egre facilement du fait qu’elle est comparable `a (_∗)de i) et la solution est:

Ŵ(σ )_{= ±}

q

µσ2_{−1, µ∈}R_.

REMARQUE2. L’int´egration du syst`eme(s<sub>H</sub>)dansH<sub>3qui se ram`ene `a celle d’une</sub>

´equation diff´erentielle permet donc, dans des cas particuliers, de retrouver des surfaces explicites z ₌ f(x,y). Dans le cas g´en´eral on int`egre l’´equation diff´erentielle sans avoir explicitement la (ou les) surface(s) correspondante(s).

R´ef´erences

[1] BEKKAR M., Exemples de surfaces minimales dans l’espace de Heisenberg, Rend. del Sem. Univ. Cagliari (Italie), 61 2 (1991), 123–130.

[2] BEKKARM., M´etriques riemanniennes qui admettent les plans comme surfaces minimales, Th`ese de doctorat, Universit´e de Haute Alsace, sept. 1993, Mulhouse, France.

[3] BEKKARM.ANDSARIT., Surfaces minimales r´egl´ees dans l’espace de Heisen-berg, Rend. del Sem. Mat. Politec. Torino (Italie), 50 3 (1992), 243–254. [4] DARBOUXG., Lec¸ons sur la th´eorie g´en´erale des surfaces. 1, 2, Gauthier-Villars

et Fils, Paris 1894.

[5] GOURSATE., Cours d’analyse. 1, 2, 3, Gauthier-Villars, Paris 1956.

[6] HANGANTH., Sur les distributions totalement g´eod´esiques du groupe nilpotent riemanien H2 p+1, Rend. del Sem. Univ. Cagliari (Italie), LV 1 (1985), 17–24. [7] SANINIA., Gauss map of a surface of the Heisenberg group, Boll. dell’ Unione

Mat. Italiana, 7 11-B (1997), suppl. fasc. 2, 79–93.

AMS Subject Classification: 49Q05, 53A10.

Mohamed Bekkar

Departement de Math´ematiques Facult´e des Sciences

Universit´e d’Oran Es-S´enia Oran, ALG ´ERIE

e-mail:bekkarm@univ-oran.dz ou

Laboratoire de math´ematiques, F. S. T. Universit´e de Haute Alsace

4, rue des Fr`eres Lumi`ere

68093 Mulhouse c´edex, FRANCE