Ruang Sampel
b. Ruang Sampel
(c)
Jika sekeping uang logam ditos, akan muncul muka angka (A (( ) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A dan G dinamakan G titik sampel , sedangkan {A, G} dinamakan ruang sampel . Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(d)
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian ruang sampel? Cobalah nyatakan pengertian ruang
Gambar 2.9
sampel dengan kata-kata Anda sendiri.
Seperangkat kartu remi.
(a) Kartu hati yang berwarna
Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas
merah. (b) Kartu wajik yang berwarna
definisi berikut.
hitam. (c) Kartu diamond yang berwarna
Definisi 2.4
merah. (d) Kartu kriting yang berwarna
Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan
hitam.
semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S.
Contoh 2.8
Tentukan ruang sampel percobaan berikut.
a. Tiga keping uang logam ditos bersamaan.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan.
58 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jawab:
A AAA
a. Perhatikan diagram pohon pada Gambar 2.10 di samping
A G dengan saksama. Dari diagram ter sebut, jika tiga keping uang AAG A AGA logam ditos bersamaan, ruang sampelnya adalah {AAA, AAG,
G G AGG
AGA , AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos, ruang sampelnya
A GAA
(amati Tabel 2.3) adalah { AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6,
AG GAG 1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4,
G G A GGA
GA 5, GA6, GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6}.
G G GGG
Tabel 2.3 Gambar 2.10
1 Dadu Diagram pohon pelemparan 3 2 Uang Logam am
1 2 3 4 5 6 keping uang logam.
AA AA 1 AA 2 AA 3 AA 4 AA 5 AA 6 AG AG 1 AG 2 AG 3 AG 4 AG 5 AG 6 GA GA 1 GA 2 GA 3 GA 4 GA 5 GA 6
GG GG 1 GG 2 GG 3 GG 4 GG 5 GG 6
Mari, Cari Tahu
Tantangan
Bersama dengan teman sebangku, cari di internet atau di buku
untuk Anda
terbitan luar negeri artikel yang ber hubung an dengan materi 1. Tiga keping uang logam peluang. Kemudian, kumpulkan hasilnya pada guru Anda.
dilemparkan secara bersamaan. Tentukan
a. ruang sampel, b. kejadian muncul dua
c. Peluang
angka.
Misalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetris
2. Sebuah tas berisi 5 kelereng merah,
ditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambar
5 kelereng putih, dan
23 9 kelereng hijau. Apabila sebanyak 23 kali sehingga
, 0 46 dinamakan frekuensi
50 diambil 3 kelereng relatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logam sekaligus secara acak,
tentukan peluang yang
tersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yang
terambil:
besar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akan
a. semua hijau;
1 b. semua putih; mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu . Bilangan tersebut
2 c. 2 merah dan 1 hijau. dinamakan peluang dari kejadian muncul angka.
Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknya simetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitu permukaan gambar dan permukaan angka. Peluang muncul permukaan gambar atau permukaan angka sama. Secara matematika, peluang munculnya permukaan gambar adalah satu dari dua kemungkinan atau 1 sehingga peluang
Gambar 2.11
2 1 Hasil yang mungkin dari munculnya permukaan angka juga .
pelemparan sebuah uang logam
2 Rp500,00.
Peluang
Ingatlah
Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah,
Mata uang yang bentuknya
1 bola putih, dan 4 bola hijau. Dari kotak tersebut, akan
simetris artinya tidak lebih
diambil sebuah bola. Peluang terambil 1 bola dari kotak yang
berat ke arah gambar atau ke
arah angka.
berisi 8 bola tersebut adalah . Peluang terambilnya 1 bola
merah adalah . Adapun peluang terambilnya 1 bola putih
4 adalah , dan peluang terambil 1 bola hijau adalah .
8 Diketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruang sampel S dari sebuah percobaan. Kejadian A adalah salah satu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang A
adalah P(A) =
N Apabila banyak kejadian A yang terjadi dari percobaan tersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian A adalah P(A)
Contoh 2.9
Dalam pengetosan sebuah dadu yang seimbang, tentukan
Informasi
a. peluang muncul angka prima;
untuk Anda
b. peluang muncul kelipatan 2;
Informations Jawab:
Pada pengetosan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah Pada 2000 tahun Sebelum
for You
{1, 2, 3, 4, 5, 6} n (S) = 6.
Masehi, orang kaya dan
a. Peluang muncul angka prima.
penyihir menggunakan dadu Ruang sampel mata dadu angka prima adalah P = {2, 3, 5} sebagai permainan. Dadu
maka n (P) = 3, Dengan demikian, peluang muncul angka yang digunakan berbentuk
prima adalah
bangun bersisi empat. Bentuk dadu sekarang dikenal
P (prima) =
beberapa waktu kemudian.
Dadu yang kali pertama
b. Peluang muncul kelipatan 2.
digunakan dalam permainan tersebut terbuat dari tulang
Ruang sampel mata dadu angka kelipatan 2 adalah rusa, sapi, atau kerbau.
K = {2, 4, 6} maka n (K) = 3. Dengan demikian, peluang muncul kelipatan 2 adalah
At least as far back as 2000 BC, the A n K
rich and the mystical have had dice
P (K) =
to play with. Very early dice were
often in the shape of a tetrahedron. The modern cube shape came later. The first dice like objects to be used
d. Kisaran Nilai Peluang
for games were made from the astralagus of deer, cow or oxen.
Di Kelas IX Anda telah mengetahui bahwa nilai peluang
suatu percobaan adalah antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P(x) ≤ 1 dengan x x adalah kejadian pada percobaan tersebut.
Sumber: www.DrMath.com
60 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• Apabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi. • Apabila P(x) = 1, kejadian x pasti terjadi.
Jadi, jika Anda mengetahui bahwa suatu kejadian kemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekati nilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yang kemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekati
Tokoh nilai 1.
Matematika
Contoh 2.10
Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.
1. Ikan dapat hidup di darat.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun.
4. Muncul kartu as pada pengambilan seperangkat kartu remi. Jawab:
1. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan
Pierre de Fermat
suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
Pierre de Fermat adalah
4. Muncul kartu as pada kartu remi bukan merupakan suatu seorang hakim. Kemahiran kemustahilan dan bukan pula suatu kepastian sehingga matematikanya luar biasa
1 memungkinkannya memberi peluangnya di antara 0 dan 1, yaitu .
sumbangan besar pada
13 matematika tingkat tinggi, antara lain teori bilangan dan
kalkulus diferensial. Ketika ia
2. Frekuensi Harapan mengklaim bahwa ia telah
membuktikan beberapa
Anda telah mempelajari bahwa peluang muncul teorema matematika, ia selalu
berkata benar. "Teorema Akhir
permukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah Fermat" yang menyebabkan
1 ia terkenal, akhirnya terbukti
. Apabila pengetosan dilakukan 100 kali, harapan akan 300 tahun kemudian, yaitu
2 muncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari pada tahun 1994 oleh Andrew
Willes.
100. Banyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari
Sumber: Finite Mathematics and its
100 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan.
Application, 1994
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan penger- tian frekuensi harapan suatu kejadian? Cobalah nyata kan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan kata- kata Anda sendiri.
Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.
Peluang
Definisi 2.11
Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut.
f H = n × P(A)
Dalam hal ini, n : banyak percobaan
P (A) : peluang terjadinya kejadian A
Tantangan
Contoh 2.11
untuk Anda Anda
1. Peluang seorang anak
1. Sebuah dadu ditos sebanyak 100 kali, tentukan terjangkit penyakit
a. harapan muncul mata dadu 5,
demam berdarah adalah
b. harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3, 0,087. Tentukan peluang
c. harapan muncul mata dadu prima ganjil, seorang anak tidak
d. harapan muncul mata dadu prima genap, dan terkena demam berdarah.
e. harapan muncul mata dadu ganjil. diambil sebuah kartu
2. Dalam suatu percobaan
2. Di sebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang secara acak dari satu set
terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena kartu remi, kemudian
penyakit liver adalah 0,17. Jika sebanyak 25.000 orang dewasa mengembalikannya (satu
di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena set kartu remi terdiri atas
penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena 52 kartu). Tentukanlah
penyakit liver?
frekuensi harapan yang terambil adalah kartu jack
3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil jika percobaan dilakukan
penyilangan diperoleh hasil 1.000 bunga dengan warna yang 117 kali.
berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1 3. Dalam percobaan
merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan melempar dua keping
putih yang dihasilkan?
logam secara bersamaan, tentukan frekuensi
Jawab:
harapan muncul
ff f 1 100 1. 50 a. H (mata dadu 5) = 100 sedikitnya satu muka jika
6 6 3 percobaan dilakukan 200 kali.
b. ff f
H (habis dibagi 3) = 100
f ff 2 c. 100 H ( prima ganjil) = 100
ff f 1 100 d. 50 H ( prima genap) = 100
e. ff f H 3 (ganjil) = 100 50
2. ff f H (orang terkena serangan jantung) = 25.000 × 0,07 = 1.750
ff f H (orang terkena penyakit liver) = 25.000 × 0,17 = 4.250
3. Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1, maka banyaknya bunga yang
diperoleh adalah
62 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
• bunga putih =
. 1 000 1 000 200 bunga
• bunga merah muda =
. 1 000 1 000 600 bunga
• bunga merah =
. 1 000 1 000 200 bunga
Aktivitas Matematika
Sediakan sebuah dadu. Kemudian, bersama kelompok belajar Anda lemparkanlah ke atas (sambil diputar) dadu itu sebanyak 100 kali. Catatlah berapa kali muncul
a. mata dadu bilangan 5,
b. mata dadu bilangan yang habis dibagi 3,
c. mata dadu bilangan prima ganjil,
d. mata dadu bilangan prima genap, dan
e. mata dadu bilangan ganjil. Coba Anda bandingkan dengan penyelesaian Contoh 2.11(1). Apa yang dapat Anda simpulkan? Presentasikan kesimpulan Anda di depan kelas.
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukan ruang sampel percobaan berikut.
c. terambil kartu berangka habis dibagi
a. Pengetosan 3 keping uang logam
tiga;
sekaligus.
d. terambil kartu berangka kelipatan
b. Pengetosan dua keping uang logam
lima;
dan sebuah dadu.
e. terambil kartu berangka kelipatan dua
c. Penelitian jenis kelamin tiga bayi.
dan tiga;
d. Penelitian warna kulit (putih, sawo
f. terambil kartu berangka memiliki 4 matang, dan hitam) dari tiga orang.
faktor.
e. Penelitian golongan darah dari empat
3. Di suatu daerah, peluang bayi terkena polio orang pasien (untuk memudahkan,
adalah 0,03 dan peluang terkena campak
golongan darah AB ditulis A 2 ).
adalah 0,05. Jika 1.500 bayi di daerah itu
2. Lima puluh dua kartu diberi angka 1, 2, diperiksa, be rapakah: ,3, 4, 5, ..., 52. Kemudian, diambil sebuah
a. bayi yang terkena polio; kartu secara acak. Tentukan peluang: