X
1
X
2
X
3
Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
Gambar 2. 16 Graf Bipartisi Tanpa Komplit Matching dari V
1
ke V
2
Berarti diperlukan suatu kondisi lain untuk keberadaan komplit matching.
2.4 Penyajian Masalah Penugasan dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel
Masalah penugasan dapat dimodelkan ke dalam graf bipartisi lengkap berlabel, di mana partisi V
1
dan V
2
masing-masing mengandung n simpul, mewakili n pekerja dan n tugas. Bobotlabel dalam graf bipartisi lengkap mewakili elemen-elemen
matriks penugasan, tujuan masalah penugasan dapat dinyatakan sebagai Matching bobot maksimum dalam graf bipartisi lengkap berlabel. Matching itu sendiri
menandakan kendala dalam masalah penugasan, yaitu penugasan satu ke satu. Matched edge dan unmatched edge berturut-turut mewakili nilai variabel keputusan
ya dan tidak. Contoh :
Suatu toko memiliki empat pekerja dengan kemampuan berbeda, yang akan ditugaskan pada empat tugas berbeda. Kemampuan setiap pekerja dalam mengerjakan
suatu tugas tertentu, disajikan dalam matriks penugasan dan sebagai masalah mencari Matching bobot maksimum dalam graf bipartisi lengkap berlabel pada gambar 2.17.
Universitas Sumatera Utara
A B
C D
2 3
4
Gambar 2.17 Graf Lengkap Berlabel dari Masalah Penugasan
Tabel 2.2 bobot
A B
C D
1 5
4 7
9 2
3 4
8 3
3 7
6 10
8 4
8 9
2 6
1
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PEMBAHASAN
3.1 Penyelesaian Masalah Penugasan Secara Klasik
Secara klasik, masalah penugasan diselesaikan dengan cara mencoba semua kemungkinan penugasan yang ada. Setelah menghitung besarnya total keuntungan
yang dihasilkan oleh setiap kemungkinan penugasan, dapat dipilh penugasan yang memiliki total kemungkinan maksimum.
Semua kemungkinan penugasan n pekerja pada n tugas dapat dicari dengan bantuan matriks permutasi berderajat n, yaitu “suatu matriks P nxn yang kolom-
kolomnya dan baris-barisnya merupakan suatu penyusunan kembali atau permutasi dari kolom-kolom dan baris-baris matriks identitas berordo n”. Berikut
akan diberikan contoh dari matriks permutasi berderajat n.
Contoh 3.1 : Matriks permutasi berderajat 3
I=
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.1 Matriks Permutasi
No Penyusunan Baris-Baris Matriks Identitas
Matriks Permutasi Berderajat 3
1 Baris-1, baris 2, baris 3
P= 2
Baris-1, baris 3, baris 2 P=
3 Baris-2, baris 1, baris 3
P= 4
Baris-2, baris 3, baris 1 P=
5 Baris-3, baris 1, baris 2
P= 6
Baris-3, baris 2, baris 1 P=
Permutasi n bilangan n. demikian pula terdapat n matriks permutasi berderajat n. Dari n matriks permutasi diperoleh n kemungkinan penugasan. Dari
setiap matriks permutasi tersebut akan dibentuk setiap kemungkinan penugasan yaitu dengan melihat baris dan kolom dari semua elemen matriks permutasi
bernilai 1. Jika elemen baris ke-i dan kolom ke-j bernilai 1, maka pekerja ke-i ditugaskan pada tugas ke-j dengan keuntungan sebesar elemen matriks penugasan
baris ke-i kolom ke-j i=j= 1,2, … , n. Contoh 3.2 :
Matriks penugasan C=
Dengan bantuan matriks permutasi berderajat 3, akan dicari 6 kemungkinan penugasan tabel 3.2.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.2 Matriks Permutasi berderajat 3 untuk mencari enam kemungkinan penugasan
No Matriks Permutasi
Penugasan Total Keuntungan
1 P=
Pekerja ke-1 pada tugas ke- 1
Pekerja ke-2 pada tugas ke- 2
Pekerja ke-3 pada tugas ke- 3
c
11
+c
22
+c
33
2 P=
Pekerja ke-1 pada tugas ke- 1
Pekerja ke-2 pada tugas ke- 3
Pekerja ke-3 pada tugas ke- 2
c
11
+c
23
+c
32
3 P=
Pekerja ke-1 pada tugas ke- 2
Pekerja ke-2 pada tugas ke- 1
Pekerja ke-3 pada tugas ke- 3
c
11
+c
22
+c
32
4 P=
Pekerja ke-1 pada tugas ke- 2
Pekerja ke-2 pada tugas ke- 3
Pekerja ke-3 pada tugas ke- 1
c
12
+c
21
+c
33
Universitas Sumatera Utara
5 P=
Pekerja ke-1 pada tugas ke- 3
Pekerja ke-2 pada tugas ke- 1
Pekerja ke-3 pada tugas ke- 2
c
13
+c
21
+c
32
6 P=
Pekerja ke-1 pada tugas ke- 3
Pekerja ke-2 pada tugas ke- 2
Pekerja ke-3 pada tugas ke- 1
c
13
+c
22
+c
31
Berikut ini diberikan contoh penyelesaian masalah penugasan dengan cara klasik :
Contoh 3.3 Diketahui suatu matriks penugasan C :
t-1 t-2 t-3 t-4 Pekerja A
Pekerja B Pekerja C
Pekerja D
Penyelesaian : Dengan bantuan matriks permutasi berderajat 4 diperoleh 24 kemungkinan
penugasan. Tabel 3.3 akan memperlihatkan semua kemungkinan penugasan tersebut berikut total keuntungan dari setiap kemungkinan penugasan. Pada tabel 3.3 dapat
dilihat bahwa kemungkinan penugasan ke-18 merupakan penugasan yang maksimum, yaitu pekerja A pada tugas-3, pekerja B pada tugas-4, pekerja C pada tugas-2 dan
pekerja D pada tugas-1 dengan total keuntungan 33.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.3 Kemungkinan Penugasan
No Penugasan
Total Keuntungan 1
A-1, B-2, C-3, D-4 c
11
+ c
22
+ c
33
+ C
44
= 5+4+10+6 = 25 2
A-1, B-2, C-4, D-3 c
11
+ c
22
+ c
34
+ C
43
= 5+4+2+8 = 19 3
A-1, B-2, C-4, D-4 c
11
+ c
23
+ c
32
+ C
44
= 5+6+8+6 = 25 4
A-1, B-3, C-4, D-2 c
11
+ c
23
+ c
34
+ C
42
= 5+6+2+3 = 16 5
A-1, B-4, C-2, D-3 c
11
+ c
24
+ c
32
+ C
43
= 5+9+8+8 = 30 6
A-1, B-4, C-3, D-2 c
11
+ c
24
+ c
33
+ C
42
= 5+9+10+3 = 27 7
A-2, B-1, C-3, D-4 c
12
+ c
21
+ c
33
+ C
44
= 3+4+10+6 = 23 8
A-2, B-1, C-4, D-3 c
12
+ c
21
+ c
34
+ C
43
= 3+4+2+8 = 17 9
A-2, B-3, C-1, D-4 c
12
+ c
23
+ c
31
+ C
44
= 3+6+7+6 = 22 10
A-2, B-3, C-4, D-1 c
12
+ c
23
+ c
34
+ C
41
= 3+6+2+9 = 20 11
A-2, B-4, C-1, D-3 c
12
+ c
24
+ c
31
+ C
43
= 3+9+7+8 = 27 12
A-2, B-4, C-3, D-1 c
12
+ c
24
+ c
33
+ C
41
= 3+9+10+9 = 31 13
A-3, B-1, C-2, D-4 c
13
+ c
21
+ c
32
+ C
44
= 7+4+8+6 = 25 14
A-3, B-1, C-4, D-2 c
13
+ c
21
+ c
34
+ C
42
= 7+4+2+3 = 16 15
A-3, B-2, C-1, D-4 c
13
+ c
22
+ c
31
+ C
44
= 7+4+7+6 = 24 16
A-3, B-2, C-4, D-1 c
13
+ c
22
+ c
34
+ C
41
= 7+4+2+9 = 22 17
A-3, B-4, C-1, D-2 c
13
+ c
24
+ c
31
+ C
42
= 7+9+3+3 = 26 18
A-3, B-4, C-2, D-1 c
13
+ c
24
+ c
32
+ C
41
= 7+9+8+9 = 33 19
A-4, B-1, C-2, D-3 c
14
+ c
21
+ c
32
+ C
43
= 8+4+8+8 = 28 20
A-4, B-1, C-3, D-2 c
14
+ c
21
+ c
33
+ C
42
= 8+4+10+3 = 25 21
A-4, B-2, C-1, D-3 c
14
+ c
22
+ c
31
+ C
43
= 8+4+7+8 = 27 22
A-4, B-2, C-3, D-1 c
14
+ c
22
+ c
33
+ C
41
= 8+4+10+9 = 31 23
A-4, B-3, C-1, D-2 c
14
+ c
23
+ c
31
+ C
42
= 8+6+7+3 = 24 24
A-4, B-3, C-2, D-1 c
11
+ c
22
+ c
33
+ C
44
= 8+6+8+9 = 31
Universitas Sumatera Utara
Dari tabel 3.3 dapat dilihat bahwa untuk mencari semua kemungkinan penugasan dari matriks penugasan berordo 4, dibutuhkan pengulangan sebanyak
4=24 kali.
3.2 Algoritma Untuk Mencari Matching Bobot Maksimum
