untuk semua n ≥ 1 dan
. Grimmet dan Stirzaker 1992
Proses Pencacahan
Suatu proses stokastik disebut
proses pencacahan
jika menyatakan banyak kejadian yang telah
terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan harus memenuhi
syarat-syarat berikut ini : 1.
untuk semua . 2.
Nilai adalah integer positif bilangan
bulat positif. 3.
Jika maka
. 4.
Untuk maka
sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada selang s,t].
Inkremen Bebas
Suatu proses
pencacahan disebut
memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua
selang interval waktu yang tidak tumpang tindih tidak overlap adalah bebas.
Jadi pada proses pencacahan yang memiliki inkremen bebas maka banyaknya
kejadian yang telah terjadi pada waktu t, yaitu
, adalah bebas terhadap banyaknya kejadian pada selang waktu
, yaitu untuk sembarang bilangan nyata
s 0.
Inkremen Stasioner
Suatu proses
pencacahan disebut
memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada
sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut. Dengan kata
lain, suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika banyaknya
kejadian pada selang waktu
, yaitu
, mempunyai sebaran yang sama dengan banyaknya kejadian pada
selang waktu , yaitu
, untuk semua bilangan nyata tak negatif
dan semua s 0.
Proses Poisson
Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju rate
, jika dipenuhi tiga syarat berikut: 1.
, 2.
Proses tersebut memiliki inkremen bebas, 3.
Banyaknya kejadian pada sembarang
interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan rataan
. Jadi, untuk semua t, s 0,
dengan
2.2 Gerak Brown
Gerak Brown merupakan contoh dari proses
stokastik. Pada
ruang peluang
, dimana adalah
ruang kontinu fungsi real pada yang
dimulai dari 0. Gerak Brown standar adalah proses
stokastik sehingga,
1 B
= 0, 2
Lintasan sampel t → B
t
kontinu, dengan peluang 1,
3 Untuk setiap urutan terbatas waktu
, inkremen bebas,
4 Untuk t 0 ,
menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam
.
Privault 2008
2.3 Martingale
Suatu proses stokastik adalah martingale jika untuk setiap
kasus diskret berlaku sebagai berikut:
a. , dan
b. Berdasarkan poin b, jika kedua ruas
dicari nilai harapannya diperoleh
sehingga
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik yang bersifat
martingale maka proses tersebut akan memiliki rataan yang konstan.
Taylor 1998
2.4 Proses Lévy
Model Lévy telah lama digunakan di bidang matematika keuangan. Model Lévy
merupakan salah satu proses stokastik diskret yang cukup banyak aplikasinya dan dapat
digunakan untuk membangun model yang lebih realistis.
Proses stokastik dengan
nilai di dalam disebut proses Lévy jika
memenuhi kondisi berikut ini : 1.
, 2.
Untuk semua dan
, peubah acak bebas inkremen bebas,
3. Sebaran dari
tidak tergantung pada s inkremen stationer,
4. Proses
{ ,
t≥0} adalah stokastik kontinu,
yaitu ,
5. Ada
dengan sehingga untuk semua
kontinu kanan di t ≥ 0 dan berlaku limit
kiri untuk semua
.
Tisserand 2006
2.5 Model Black-Scholes
Upaya untuk merumuskan bagaimana menghitung harga saham yang sebenarnya
nilai intrinsik telah dilakukan dalam setiap analisis dengan tujuan mendapatkan tingkat
pengembalian return yang memuaskan. Dalam model Black-Scholes, diasumsikan
harga saham bergerak secara acak dan mengikuti proses Wiener. Selain itu, model
ini memiliki beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu tidak ada pemberian deviden
dan tingkat suku bunga konstan. Untuk memodelkan harga saham, perlu dilakukan
pemisalan-pemisalan dari faktor-faktor yang terkait dengan rumus matematika. Hal ini
bertujuan untuk mengetahui sifat-sifatnya dan keterkaitan dengan unsur-unsurnya serta
dalam hal menarik kesimpulan tentang model yang diamati lebih lanjut.
Secara matematis model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut:
dengan adalah harga saham,
adalah nilai harapan
, volatilitas dari harga
saham, dan adalah gerak Brown standar.
Black dan Scholes 1973
2.6 Mean Absolute Percentage Error MAPE
