sehingga
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik yang bersifat
martingale maka proses tersebut akan memiliki rataan yang konstan.
Taylor 1998
2.4 Proses Lévy
Model Lévy telah lama digunakan di bidang matematika keuangan. Model Lévy
merupakan salah satu proses stokastik diskret yang cukup banyak aplikasinya dan dapat
digunakan untuk membangun model yang lebih realistis.
Proses stokastik dengan
nilai di dalam disebut proses Lévy jika
memenuhi kondisi berikut ini : 1.
, 2.
Untuk semua dan
, peubah acak bebas inkremen bebas,
3. Sebaran dari
tidak tergantung pada s inkremen stationer,
4. Proses
{ ,
t≥0} adalah stokastik kontinu,
yaitu ,
5. Ada
dengan sehingga untuk semua
kontinu kanan di t ≥ 0 dan berlaku limit
kiri untuk semua
.
Tisserand 2006
2.5 Model Black-Scholes
Upaya untuk merumuskan bagaimana menghitung harga saham yang sebenarnya
nilai intrinsik telah dilakukan dalam setiap analisis dengan tujuan mendapatkan tingkat
pengembalian return yang memuaskan. Dalam model Black-Scholes, diasumsikan
harga saham bergerak secara acak dan mengikuti proses Wiener. Selain itu, model
ini memiliki beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu tidak ada pemberian deviden
dan tingkat suku bunga konstan. Untuk memodelkan harga saham, perlu dilakukan
pemisalan-pemisalan dari faktor-faktor yang terkait dengan rumus matematika. Hal ini
bertujuan untuk mengetahui sifat-sifatnya dan keterkaitan dengan unsur-unsurnya serta
dalam hal menarik kesimpulan tentang model yang diamati lebih lanjut.
Secara matematis model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut:
dengan adalah harga saham,
adalah nilai harapan
, volatilitas dari harga
saham, dan adalah gerak Brown standar.
Black dan Scholes 1973
2.6 Mean Absolute Percentage Error MAPE
Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung
Mean Absolute Percentage Error MAPE, dengan rumus sebagai berikut
∑ |
| dengan x
t
adalah pengamatan pada waktu ke-t dan
adalah ramalan pada waktu ke-t. Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data
hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual.
Bowerman dan O’connell 1987
III PEMBAHASAN
Pada aplikasi model harga saham dengan menggunakan model Lévy dan
model Black-Scholes
ini, penulis
menerapkannya pada
penutupan harga
saham Bank of America Corporation. Ada dua permasalahan yang akan dibahas dalam
aplikasi model ini, yaitu: pertama, menduga penutupan harga saham yang akan datang
menggunakan model Lévy dan model Black- Scholes,
dan kedua,
membandingkan ketepatan
model dalam
memprediksi penutupan harga saham yang akan datang.
3.1 Data Simulasi
Data yang akan digunakan untuk simulasi yaitu data penutupan harga saham
harian Bank of America Corporation kecuali hari libur dan non trading day pada
periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember
2000. Data
diambil dari
www.finance.yahoo.com Lampiran 1.
Gambar 1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000.
Sebelum dilakukan pengelolaan data, terlebih dahulu ditentukan apakah data
penutupan harga saham Lampiran 1 sudah berdistribusi normal ataukah belum.
Kenormalan data penutupan harga saham dapat ditunjukkan melalui Gambar 2.
Gambar 2 Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000.
Dari Gambar 2, terlihat bahwa data berdistribusi normal. Hal ini ditunjukkan
oleh sebaran data pada plot normal Q-Q berkumpul atau berada di sekitar garis
regresi dugaan. Diperjelas dengan hasil uji kenormalan data dengan uji Kolmogorov-
Smirnov Lampiran 2.
3.2 Model Lévy
Selanjutnya akan dilakukan pemodelan menggunakan model Lévy. Model Lévy
dapat dirumuskan sebagai berikut : 1
dengan : penutupan harga saham
σ : simpangan baku
B
t
: gerak Brown M
t
: martingale α
: nilai harapan t
: waktu Eberlien 2001
Untuk menduga koefisien model ,
beberapa variabel dari model Lévy harus dibangkitkan, seperti nilai
yang harus dibangkitkan menggunakan sebaran normal
dengan rataan nol dan simpangan
baku satu dan nilai
yang dibangkitkan dengan menggunakan sebaran
Poisson dengan = 49.
Setelah dan
didapat, kemudian akan ditentukan simpangan baku
σ dan nilai harapan α dari
. Dengan bantuan perangkat lunak dapat diketahui bahwa
analisis regresi berganda dari persamaan 1 menghasilkan simpangan baku
dan nilai harapan , sehingga
diperoleh model dugaan yaitu, 2
Hasil analisis disajikan pada Lampiran 3. Peramalan
Selanjutnya dilakukan
peramalan penutupan harga saham untuk hari ke depan
dengan menggunakan model Lévy pada persamaan 2.
Gambar 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation
Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.
3.3 Model Black-Scholes