Dari Gambar 2, terlihat bahwa data berdistribusi normal. Hal ini ditunjukkan
oleh sebaran data pada plot normal Q-Q berkumpul atau berada di sekitar garis
regresi dugaan. Diperjelas dengan hasil uji kenormalan data dengan uji Kolmogorov-
Smirnov Lampiran 2.
3.2 Model Lévy
Selanjutnya akan dilakukan pemodelan menggunakan model Lévy. Model Lévy
dapat dirumuskan sebagai berikut : 1
dengan : penutupan harga saham
σ : simpangan baku
B
t
: gerak Brown M
t
: martingale α
: nilai harapan t
: waktu Eberlien 2001
Untuk menduga koefisien model ,
beberapa variabel dari model Lévy harus dibangkitkan, seperti nilai
yang harus dibangkitkan menggunakan sebaran normal
dengan rataan nol dan simpangan
baku satu dan nilai
yang dibangkitkan dengan menggunakan sebaran
Poisson dengan = 49.
Setelah dan
didapat, kemudian akan ditentukan simpangan baku
σ dan nilai harapan α dari
. Dengan bantuan perangkat lunak dapat diketahui bahwa
analisis regresi berganda dari persamaan 1 menghasilkan simpangan baku
dan nilai harapan , sehingga
diperoleh model dugaan yaitu, 2
Hasil analisis disajikan pada Lampiran 3. Peramalan
Selanjutnya dilakukan
peramalan penutupan harga saham untuk hari ke depan
dengan menggunakan model Lévy pada persamaan 2.
Gambar 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation
Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.
3.3 Model Black-Scholes
Model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut:
3 dengan
adalah harga saham, adalah
nilai harapan ,
volatilitas dari harga saham, dan
adalah gerak Brown. Persamaan 3 akan diturunkan dengan
menggunakan formula Itȏ sebagai berikut:
4 Dengan mengubah persamaan 3 ke
dalam bentuk logaritmanya, maka akan diperoleh
5 Berdasarkan persamaan 4 diketahui
berdistribusi log normal, sehingga perlu diubah ke dalam bentuk logaritma seperti
persamaan 5 agar menjadi berdistribusi normal.
Teorema Girsanov Elliot 2000
Misal dengan
adalah suatu gerak Brown di suatu ruang peluang
dan misalkan adalah filtrasi
yang dibangkitkan oleh gerak Brown. Misalkan pula
dengan adalah suatu proses yang teradaptasi oleh filtrasi
Untuk didefinisikan ̂ dengan
̂ ∫
6 dan didefinisikan
̂ melalui ̂
∫ dengan
didefinisikan oleh ∫
∫ pada
̂, proses ̂ dengan
adalah suatu gerak brown. Penetapan
Teorema Girsanov
ini digunakan untuk memodelkan diskonto aset
berisiko, yaitu ̃
7 Persamaan 7 jika didiferensialkan,
akan diperoleh ̃
̃ ̃
̃ 8
Dengan menggunakan
Teorema Girsanov dan memisalkan
, maka akan diperoleh besaran probabilitas
di dalam ruang
, yaitu ∫
∫
Berdasarkan persamaan 6, maka akan diperoleh
̂ ∫
∫ 9
disebut sebagai persamaan Brown di dalam ruang
. Kemudian
persamaan tersebut
diturunkan, sehingga diperoleh ̂
10 ̂
̂ 11
Subtitusi persamaan 11 ke persamaan 8, sehingga diperoleh
̃ ̃
̃ ̂
̃ ̂
12 Untuk menentukan
̃ , subtitusi
persamaan 3 ke persamaan 7 dan dilanjutkan dengan subtitusi persamaan 9
sehingga diperoleh
̃ ̂
̂ 13
Kemudian subtitusi persamaan 11 ke persamaan 4, maka akan diperoleh
̂ ̂
dengan ̂
adalah gerak Brown. Dengan demikian dapat disimpulkan
bahwa suatu aset berisiko dapat dimodelkan ke dalam persamaan yang bebas dari
variabel , yaitu
̂ 14
Sehingga persamaan 3 menjadi
̂ 15
dengan ̂
adalah gerak Brown. Berdasarkan informasi di atas, akan
ditentukan model untuk menduga penutupan harga saham Bank of America Corporation.
Langkah pertama
ditentukan variabel-
variabel yang dibutuhkan dalam pemodelan, yaitu
̂ yang dibangkitkan menggunakan
sebaran normal dengan rataan nol dan simpangan baku
sama dengan 0,1. Selanjutnya yang akan dicari adalah
penduga volatilitas dari harga saham
Lampiran 1 menggunakan rumus
∑ ̅
16 Data pada Lampiran 1 merupakan data
penutupan harga saham Bank of America Corporation pada periode 3 Januari sampai
dengan 29 Desember 2000, yaitu sebanyak 252 data. Dengan menggunakan persamaan
16, diperoleh
√
Sehingga diperoleh model dugaan sebagai berikut
[ ̂
] 17 dengan r adalah suku bunga tanpa risiko, t
adalah waktu, dan ̂
gerak Brown dalam bentuk lain.
Peramalan
Selanjutnya dilakukan
peramalan dengan menggunakan persamaan 17,
dengan memisalkan suku bunga bebas risiko r sebesar 4,25, diperoleh hasil peramalan
harga saham sebagai berikut: Lampiran 5
Gambar 4 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America
Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.
3.4 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes
