Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes

PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY

DAN MODEL BLACK-SCHOLES

EDY SISWANTO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

ABSTRAK

EDY SISWANTO. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA.

Saham dapat menghasilkan keuntungan yang tinggi. Tetapi, saham juga memiliki risiko yang tinggi pula, karena harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu. Oleh karena itu, diperlukan model yang tepat untuk menduga harga saham yang akan datang. Di dalam karya ilmiah ini, model Lévy dibandingkan dengan model Black-Scholes untuk menduga harga saham Bank of America Corporation. Akibatnya, dapat disimpulkan bahwa model Black-Scholes lebih tepat dari pada model Lévy.

ABSTRACT

EDY SISWANTO. Modeling Stock Prices Use the Model of Lévy and Model Black-Scholes. Guided by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA.

Stock may produce high profits. However, it has a high risk as well, because the stock prices fluctuate over time. Therefore, a model is required to estimate the future stock prices accurately. In this paper, Lévy model is compared to Black-Scholes model in estimating the stock price at Bank of America Corporation. As a result, it is concluded that the Black-Scholes model is more accurate than Lévy model.

PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY

DAN MODEL BLACK-SCHOLES

EDY SISWANTO

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

Judul Skripsi

: Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model

Black-Scholes

Nama

: Edy Siswanto

NIM

: G54080029

Disetujui

Pembimbing I

Ir. Retno Budiarti, MS

NIP. 19610729 198903 2 001

Pembimbing II

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA

NIP. 19651218 199002 1 001

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari peran berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluarga tercinta: Ibu (terima kasih atas dukungan, doa, semangat, kesabaran); Ayah (terima kasih atas doanya, atas kesabarannya selama ini untuk mendukung dan menunggu kelulusan saya); serta kepada adik, nenek, paman, bibi, dan yang lainnya (terima kasih atas semangatnya dan dukungannya).

2. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing 1 (terima kasih atas kesabarannya, ilmunya, bimbingannya, dan semuanya).

3. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing 2 (terima kasih atas bimbingan dan dukungan semangatnya, semua koreksi-koreksinya sehingga dapat menyempurnakan karya ilmiah ini).

4. Segenap dosen Departemen Matematika yang tidak bisa saya sebutkan satu-satu. Terima kasih atas ilmunya.

5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Bu Susi, dan lain-lain (terima kasih atas bantuannya).

6. Sahabat-sahabat terbaikku. Sahabat sekelas ku. Maaf jika sudah membuat kalian tidak enak hati. Tetap semangat dan selalu jalin silaturahim yang baik.

7. Sahabat yang dulu pernah sekamar: Adit, Kak Kindi, Mas Okta, Kak Aris, Akhi Ganteng, dauble Aziz, dan sahabat-sahabat seperjuangan di Asrama Al-Hurriyyah. Terima kasih atas dukungannya, lingkungan orang-orang yang beriman, insya Allah.

8. Terkhusus untuk sahabat satu angkatan di asrama Abdul Basir dan Zay. Kalian luar biasa inspiratif.

9. Untuk sahabatku yang telah lebih mendahului menghadap kapada-Nya, Dika Alif Utama. Engkau sahabat terbaik, semoga Allah memberikan tempat yang terbaik disisi-Nya.

10. Untuk sahabat-sahabat di SDM Al-Hurriyyah 2012: Eko, Ego, Tika, Titi, Ines, Leli, Silvi, dan Puput. Tim 9 yang luar biasa tangguh membina adik-adik angkatan 46, 47, dan 48 yang jumlahnya sekitar 160 orang.

11. Adik-adik pengurus Puskomnas FSLDK Indonesia, tetap semangat. Target Indonesia madani yakin akan terwujud karena kita mampu untuk mewujudkannya.

12. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik materiil maupun moril.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, April 2013

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Lampung pada tanggal 13 Agustus 1990 dari bapak Sukoto dan ibu Parjiyem.

Penulis memulai mengenyam pendidikan formal di SD Negeri 04 Penagan Ratu Lampung Utara lulus pada tahun 2002. Kemudian melanjutkan sekolah di SMP Negeri 6 Kota Metro lulus pada tahun 2005. Kemudian melanjutkan lagi di SMA Negeri 3 Kota Metro lulus pada tahun 2008. Setelah lulus SMA penulis melanjutkan kuliah di Institut Pertanian Bogor (IPB) Departemen Matematika masuk pada tahun 2008 melalui jalur USMI.

Selama di kampus, penulis pernah menjadi asisten untuk mata kuliah kalkulus II. Penulis juga aktif di berbagai organisasi dan kepanitiaan. Organisasi yang pernah diikuti oleh penulis di antaranya: Dewan Mushola Asrama TPB sebagai Ketua Mushola C2, Himpro Gumatika sebagai Staf PSDM, LDK Al-Hurriyyah sebagai Ketua Departeman Hubungan Luar dan Ketua SDM, dan Forum Silaturahim Lembaga Dakwah Kampus Indonesia (FSLDK Indonesia) sebagai Ketua Komisi Isu dan Koordinator FSLDK Indonesia. Kepanitiaan yang pernah diikuti diantaranya kepanitiaan MPKMB 2009 sebagai pendamping, Open House 2009 IPB sebagai Ketua PDD.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penulisan... 1

1.3 Sistematika Penulisan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 2

2.1 Berbagai Definisi ... 2

2.2 Gerak Brown ... 4

2.3 Martingale ... 4

2.4 Proses Lévy ... 5

2.5 Model Black-Scholes ... 5

2.6 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)... 5

III PEMBAHASAN ... 6

3.1 Data Simulasi ... 6

3.2 Model Lévy ... 7

3.3 Model Black-Scholes ... 7

3.4 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes ... 10

IV SIMPULAN DAN SARAN ... 11

4.1 Simpulan ... 11

4.2 Saran ... 11

DAFTAR PUSTAKA ... 12

DAFTAR GAMBAR

1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. ... 6 2 Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank ofAmerica Corporation Periode 3

Januari sampai dengan 29 Desember 2000. ... 6 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2

Januari sampai dengan 14 Maret 2001. ... 7 4 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America Corporation

Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. ... 9 5 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham

Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. . 10

DAFTAR LAMPIRAN

1 Tabel Penutupan Harga Saham dan ReturnBank of America Corporation ... 14 2 Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham BankofAmerican Corporation dengan

Kolmogorov-Smirnov ... 14 3 Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak ... 18 4 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bankof America Corporation menggunakan

Model Lévy ... 19 5 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan

Model Black-Scholes ... 21 6 Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saham merupakan surat bukti kepemilikan atas aset-aset perusahaan yang menerbitkan saham (Tandelilin 2001). Saham memberikan bukti kepemilikan atas perusahaan sehingga para pemegang saham berhak menentukan arah kebijakan perusahaan lewat Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS). Sebaliknya, pemegang saham pun turut menanggung risiko sebesar proporsional dengan banyaknya saham yang dimiliki apabila perusahaan tersebut bangkrut. Derajat kepemilikan seseorang di dalam suatu perusahaan tercermin dari sedikit banyaknya lembar saham yang dimiliki. Semakin banyak lembar yang dimiliki maka akan semakin besar derajat kepemilikan atas perusahaan tersebut.

Perkembangan Bursa Efek Indonesia (BEI) menunjukkan bahwa saham semakin banyak peminatnya. Awalnya wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. Beberapa tahun yang lalu sistem tanpa warkat sudah diberlakukan di Bursa Efek Jakarta (saat ini berubah menjadi Bursa Efek Indonesia) dimana bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat. Jadi penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah karena tidak melalui surat, formulir, dan prosedur yang berbelit-belit. Saham ini diharapkan bisa menjadi alternatif penghimpunan dana selain sistem perbankan. Dengan menjual saham kepada publik, perusahaan dapat menghimpun dana dari masyarakat, adapun tujuan penggunaan dananya dapat untuk ekspansi, memperbaiki struktur permodalan, pengalihan pemegang saham (divestasi) dan lain-lainnya.

Perubahan harga saham dari waktu ke waktu sangat berpengaruh bagi para pemegang saham. Realisasinya harga saham berfluktuasi dari waktu ke waktu. Oleh karena itu, diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham untuk meminimumkan risiko di masa yang akan datang. Oleh karena itu, perlu dicari model

yang tepat dalam meramalkan harga saham tersebut, agar para pemegang saham dapat mengoptimalkan keuntungan dan meminimumkan risiko yang ada.

Untuk meminimumkan risiko yang dihadapi para pemegang saham, beberapa ahli telah banyak melakukan penelitian untuk mendapatkan model yang dapat meramalkan harga saham yang sesuai dengan harga saham aktual. Di antara penelitian yang telah dilakukan adalah penelitian oleh Fisher Black dan Myron Scholes tahun 1973 yang menghasilkan model Black-Scholes dan penelitian yang dilakukan oleh Paul Pierre Lévy tahun 1913 yang menghasilkan model Lévy. Model Black-Scholes dan model Lévy digunakan untuk meramalkan penutupan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang. Dari hasil peramalan kedua model akan dibandingkan untuk mengetahui model yang lebih tepat dalam meramalkan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang, sehingga risiko yang akan ditanggung oleh pemegang saham dapat diminimumkan.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah

1. Memodelkan penutupan harga saham menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes.

2. Mengetahui ketepatan model Lévy dan model Black-Scholes dalam meramalkan penutupan harga saham.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada Bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pemodelan Harga saham menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes sekaligus melihat ketepatan model Lévy dan model Black-Scholes dalam meramalkan penutupan harga saham yang akan datang dibahas pada Bab tiga. Pada Bab empat dipaparkan simpulan dan saran dari karya ilmiah ini.

II LANDASAN TEORI

2.1 Berbagai Definisi

Pada bagian ini akan dijelaskan berbagai definisi yang digunakan dalam makalah ini.

Percobaan Acak

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.

(Ross 2003)

Ruang Contoh

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan .

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Medan–

Medan– adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut :

1. ,

2. Jika maka , 3. Jika maka .

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Peubah Acak

Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa , untuk setiap , dengan adalah sebuah medan–σ dari suatu ruang contoh .

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya . Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti .

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Fungsi Sebaran

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi → [0,1] yang dinyatakan sebagai .

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Fungsi Kepekatan Peluang

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebaran dapat diekspresikan sebagai

∫

untuk suatu fungsi : → [0, ] yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut juga fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X.

(Grimmett dan stirzaker 1992)

Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu

Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah

∫ asal integralnya ada.

(Grimmett dan stirzaker 1992)

Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu

Misalnya X adalah peubah acak kontinu dengan adalah nilai harapan dari X, dengan fungsi kepekatan peluang ƒX. Simpangan baku (standard

deviation) dan ragam (variance) dari X dinotasikan dengan dan Var sama dengan

Var X = [(X –μ)2]

=∫ dan

√

(Ghahramani 2005)

Fungsi Massa Peluang

Fungsi massa peluang dari peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin adalah fungsi dari ke yang memenuhi sifat-sifat berikut:

2. dan karenanya ,

3. ∑

(Ghahramani 2005)

Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan , adalah

∑ Beberapa sifat dari nilai harapan

1.Jika k suatu konstanta, maka . 2.Jika k suatu konstanta dan adalah

peubah acak, maka . Secara umum, jika adalah konstanta dan adalah peubah acak, maka

. (Grimmett dan Stirzaker 1992)

Ragam dan Standar Deviasi Peubah Acak Diskret

Ragam dari peubah acak diskret X didefinisikan sebagai berikut

∑

Sedangkan untuk standar deviasi dari peubah acak diskret X didefinisikan sebagai berikut

√

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Sebaran Normal

Misalkan diberikan peubah acak X. Peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2

jika X memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut:

_{√ ;}

Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0, dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Peubah acak Z yang menyebar normal baku memiliki fungsi kepekatan peluang

_√ ; (Grimmett dan Stirzaker 1992)

Sebaran Poisson

Peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson disebut peubah acak Poisson, dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson.

Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu adalah

, untuk x = 0, 1, 2, ....

sedangkan dalam hal ini adalah rata-rata hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan, dan 2,71828.

Ruang State

Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state.

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Proses Stokastik

Proses stokastik didefinisikan sebagai barisan peubah acak dengan T adalah himpunan parameter waktu. Jika T adalah himpunan tercacah seperti T = {1,2,...}, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik diskret. Jika T adalah suatu interval seperti

atau maka proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik kontinu.

Rantai Markov

Proses stokastik dikatakan rantai Markov jika memenuhi persamaan berikut

untuk semua n ≥ 1 dan .

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Proses Pencacahan

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyak kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut ini :

1. untuk semua . 2. Nilai adalah integer positif (bilangan

bulat positif).

3. Jika maka . 4. Untuk maka sama

dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t].

Inkremen Bebas

Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang (interval) waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Jadi pada proses pencacahan yang memiliki inkremen bebas maka banyaknya kejadian yang telah terjadi pada waktu t, yaitu , adalah bebas terhadap banyaknya kejadian pada selang waktu , yaitu

untuk sembarang bilangan nyata s > 0.

Inkremen Stasioner

Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut. Dengan kata lain, suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika banyaknya kejadian pada selang waktu , yaitu , mempunyai sebaran yang sama dengan banyaknya kejadian pada selang waktu , yaitu ,

untuk semua bilangan nyata tak negatif dan semua s > 0.

Proses Poisson

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju (rate) , jika dipenuhi tiga syarat berikut: 1. ,

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas, 3. Banyaknya kejadian pada sembarang

interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan rataan . Jadi, untuk semua t, s > 0,

dengan

2.2 Gerak Brown

Gerak Brown merupakan contoh dari proses stokastik. Pada ruang peluang

, dimana adalah ruang kontinu fungsi real pada yang dimulai dari 0.

Gerak Brown standar adalah proses stokastik sehingga,

1 B0= 0,

2 Lintasan sampel t → Bt kontinu, dengan peluang 1,

3 Untuk setiap urutan terbatas waktu , inkremen

bebas,

4 Untuk t > 0 , menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam .

(Privault 2008)

2.3 Martingale

Suatu proses stokastik adalah martingale jika untuk setiap (kasus diskret) berlaku sebagai berikut:

a. , dan b.

Berdasarkan poin (b), jika kedua ruas dicari nilai harapannya diperoleh

( )

sehingga

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik yang bersifat martingale maka proses tersebut akan memiliki rataan yang konstan.

(Taylor 1998)

2.4 Proses Lévy

Model Lévy telah lama digunakan di bidang matematika keuangan. Model Lévy merupakan salah satu proses stokastik diskret yang cukup banyak aplikasinya dan dapat digunakan untuk membangun model yang lebih realistis.

Proses stokastik dengan nilai di dalam disebut proses Lévy jika memenuhi kondisi berikut ini :

1. ,

2. Untuk semua dan , peubah acak

bebas (inkremen bebas),

3. Sebaran dari tidak tergantung pada s (inkremen stationer),

4. Proses { , t≥0} adalah stokastik kontinu, yaitu ,

5. Ada dengan sehingga untuk semua kontinu kanan di t ≥ 0 dan berlaku limit kiri untuk semua .

(Tisserand 2006)

2.5 Model Black-Scholes

Upaya untuk merumuskan bagaimana menghitung harga saham yang sebenarnya (nilai intrinsik) telah dilakukan dalam setiap analisis dengan tujuan mendapatkan tingkat pengembalian (return) yang memuaskan.

Dalam model Black-Scholes, diasumsikan harga saham bergerak secara acak dan mengikuti proses Wiener. Selain itu, model ini memiliki beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu tidak ada pemberian deviden dan tingkat suku bunga konstan. Untuk memodelkan harga saham, perlu dilakukan pemisalan-pemisalan dari faktor-faktor yang terkait dengan rumus matematika. Hal ini bertujuan untuk mengetahui sifat-sifatnya dan keterkaitan dengan unsur-unsurnya serta dalam hal menarik kesimpulan tentang model yang diamati lebih lanjut.

Secara matematis model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut:

dengan adalah harga saham, adalah nilai harapan , volatilitas dari harga saham, dan adalah gerak Brown standar.

(Black dan Scholes 1973)

2.6 Mean Absolute Percentage Error

(MAPE)

Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error (MAPE), dengan rumus sebagai berikut

∑ |

_|

dengan xt adalah pengamatan pada waktu ke-t dan adalah ramalan pada waktu ke-t. Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual.

III PEMBAHASAN

Pada aplikasi model harga saham

dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes ini, penulis menerapkannya pada penutupan harga saham Bank of America Corporation. Ada dua permasalahan yang akan dibahas dalam aplikasi model ini, yaitu: pertama, menduga penutupan harga saham yang akan datang menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes, dan kedua, membandingkan

ketepatan model dalam memprediksi penutupan harga saham yang akan datang.

3.1 Data Simulasi

Data yang akan digunakan untuk simulasi yaitu data penutupan harga saham harian Bank of America Corporation (kecuali hari libur dan non trading day) pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. Data diambil dari www.finance.yahoo.com (Lampiran 1).

Gambar 1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000.

Sebelum dilakukan pengelolaan data, terlebih dahulu ditentukan apakah data penutupan harga saham (Lampiran 1) sudah berdistribusi normal ataukah belum.

Kenormalan data penutupan harga saham dapat ditunjukkan melalui Gambar 2.

Gambar 2 Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank ofAmerica Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000.

Dari Gambar 2, terlihat bahwa data berdistribusi normal. Hal ini ditunjukkan oleh sebaran data pada plot normal Q-Q berkumpul atau berada di sekitar garis regresi dugaan. Diperjelas dengan hasil uji kenormalan data dengan uji Kolmogorov-Smirnov (Lampiran 2).

3.2 Model Lévy

Selanjutnya akan dilakukan pemodelan menggunakan model Lévy. Model Lévy dapat dirumuskan sebagai berikut :

(1) dengan

: penutupan harga saham σ : simpangan baku Bt : gerak Brown

Mt : martingale α : nilai harapan t : waktu

(Eberlien 2001)

Untuk menduga koefisien model , beberapa variabel dari model Lévy harus dibangkitkan, seperti nilai yang harus dibangkitkan menggunakan sebaran normal dengan rataan nol dan simpangan baku satu dan nilai yang dibangkitkan dengan menggunakan sebaran Poisson dengan = 49.

Setelah dan didapat, kemudian akan ditentukan simpangan baku (σ) dan nilai harapan (α) dari . Dengan bantuan perangkat lunak dapat diketahui bahwa analisis regresi berganda dari persamaan (1) menghasilkan simpangan baku dan nilai harapan , sehingga diperoleh model dugaan yaitu,

(2) Hasil analisis disajikan pada Lampiran 3.

Peramalan

Selanjutnya dilakukan peramalan penutupan harga saham untuk hari ke depan dengan menggunakan model Lévy pada persamaan (2).

Gambar 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.

3.3 Model Black-Scholes

Model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut:

(3)

dengan adalah harga saham, adalah nilai harapan , volatilitas dari harga saham, dan adalah gerak Brown.

Persamaan (3) akan diturunkan dengan menggunakan formula Itȏ sebagai berikut:

(4) Dengan mengubah persamaan (3) ke dalam bentuk logaritmanya, maka akan diperoleh

(5)

Berdasarkan persamaan (4) diketahui berdistribusi log normal, sehingga perlu diubah ke dalam bentuk logaritma seperti persamaan (5) agar menjadi berdistribusi normal.

Teorema Girsanov (Elliot 2000)

Misal dengan adalah suatu gerak Brown di suatu ruang peluang dan misalkan adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh gerak Brown. Misalkan pula dengan adalah suatu proses yang teradaptasi oleh filtrasi Untuk didefinisikan ̂ dengan

̂ ∫ (6) dan didefinisikan ̂ melalui

̂ ∫ dengan didefinisikan oleh

∫ ∫

pada ̂, proses ̂ dengan adalah suatu gerak brown.

Penetapan Teorema Girsanov ini digunakan untuk memodelkan diskonto aset berisiko, yaitu

̃ (7)

Persamaan (7) jika didiferensialkan, akan diperoleh

̃ ̃

̃

̃ (8) Dengan menggunakan Teorema Girsanov dan memisalkan , maka akan diperoleh besaran probabilitas di dalam ruang , yaitu

∫ ∫

Berdasarkan persamaan (6), maka akan diperoleh

̂ ∫ ∫

(9) disebut sebagai persamaan Brown di dalam ruang .

Kemudian persamaan tersebut diturunkan, sehingga diperoleh

̂ (10) ̂

̂ (11) Subtitusi persamaan (11) ke persamaan (8), sehingga diperoleh

̃ ̃ ̃ ̂

̃ ̂ (12) Untuk menentukan ̃, subtitusi persamaan (3) ke persamaan (7) dan dilanjutkan dengan subtitusi persamaan (9) sehingga diperoleh

̃

̂

̂ (13) Kemudian subtitusi persamaan (11) ke persamaan (4), maka akan diperoleh

̂ ̂

dengan ̂ adalah gerak Brown.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa suatu aset berisiko dapat dimodelkan ke dalam persamaan yang bebas dari variabel , yaitu

̂ (14) Sehingga persamaan (3) menjadi

̂ (15) dengan ̂ adalah gerak Brown.

Berdasarkan informasi di atas, akan ditentukan model untuk menduga penutupan harga saham Bank of America Corporation. Langkah pertama ditentukan variabel-variabel yang dibutuhkan dalam pemodelan, yaitu ̂ yang dibangkitkan menggunakan

sebaran normal dengan rataan nol dan simpangan baku sama dengan 0,1.

Selanjutnya yang akan dicari adalah penduga volatilitas dari harga saham (Lampiran 1) menggunakan rumus

∑ ̅

(16)

Data pada Lampiran 1 merupakan data penutupan harga saham Bank of America Corporation pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000, yaitu sebanyak 252 data. Dengan menggunakan persamaan (16), diperoleh

√ Sehingga diperoleh model dugaan sebagai berikut

[

̂] (17) dengan r adalah suku bunga tanpa risiko, t adalah waktu, dan ̂ gerak Brown dalam bentuk lain.

Peramalan

Selanjutnya dilakukan peramalan dengan menggunakan persamaan (17), dengan memisalkan suku bunga bebas risiko (r) sebesar 4,25%, diperoleh hasil peramalan harga saham sebagai berikut: (Lampiran 5)

Gambar 4 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.

3.4 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes

Validasi model diperlukan untuk melihat ketepatan model yang digunakan

untuk pendugaan, yaitu membandingkan antara data aktual dengan data peramalan yang dihasilkan oleh kedua model. (Lampiran 6).

Gambar 5 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.

Dari Gambar 5 dapat diketahui bahwa pola data aktual lebih mirip dengan model Black-Scholes dibandingkan dengan hasil peramalan menggunakan model Lévy yang cenderung fluktuatif. Hal ini terbukti dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Black-Scholes lebih kecil daripada nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Lévy. Nilai MAPE dari model Black-Scholes adalah 9,292%, sedangkan nilai MAPE dari model Lévy adalah 11,3484%. Semakin kecil nilai MAPE, hasil pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi dapat disimpulkan pendugaan menggunakan model Black-Scholes pada penutupan harga saham Bank of America Corporation lebih baik dari pada menggunakan model Lévy. Bagi investor, data hasil peramalan kedua model tersebut dapat digunakan untuk melihat pergerakan harga saham. Misalkan, dapat dilihat data hasil peramalan menggunakan model Black-Scholes pada

hari kelima terlihat bahwa harga saham turun maka investor membeli saham Bank of America Corporation. Pada hari kesepuluh harga saham naik, maka investor menjual sahamnya agar mendapatkan keuntungan dari harga penjualan tersebut.

Dalam meramalkan harga suatu saham terlebih dahulu yang harus dilihat adalah pergerakan harga saham, apakah harga saham bergerak berfluktuasi ataukah stabil. Pergerakan harga saham yang berfluktuasi dengan pergerakan harga saham yang stabil membutuhkan model peramalan yang berbeda. Model Lévy lebih baik digunakan untuk memodelkan harga saham yang berfluktuasi (Gambar 3) sedangkan model Black-Scholes lebih baik digunakan untuk memodelkan harga saham yang stabil (Gambar 4). Oleh karena penutupan harga saham Bank of America Corporation bergerak stabil maka lebih baik dimodelkan menggunakan model Black-Scholes.

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Penutupan harga saham dapat dimodelkan dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes. Penutupan harga saham bersifat stokastik sehingga model Lévy dan model Black-Scholes dapat digunakan untuk memodelkan penutupan harga saham. Dari hasil pendugaan penutupan harga saham Bank of America Corporation menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes masing-masing menghasilkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 11,3484% untuk model Lévy, sedangkan untuk model Black-Scholes menghasilkan nilai Mean

Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 9,292%. Semakin kecil nilai MAPE, pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi pendugaan menggunakan model Black-Scholes lebih tepat dibandingkan pendugaan menggunakan model Lévy.

4.2 Saran

Penulis menyarankan untuk mengkaji lebih lanjut dari model Lévy dengan data penutupan harga saham lain yang memiliki tingkat volatility lebih tinggi, sehingga dapat meramalkan penutupan harga saham yang mendekati nilai aktual.

DAFTAR PUSTAKA

Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Corporate Liabilities. Chicago: The University of Chicago Press.

Bowerman BL, O’Connell RT. 1987. Time Series Forecasting. Inufied Concepts and Computer Implementation. 2nd edition. Boston : Duxbury Press. Eberlien E. 2001. Application of

Generalized Hyperbolic Lévy Motions to Finance.

http://www.stochastik.uni-freiburg.de/homepages/eberlein/paper s/LévyProcesses-010124.pdf [26 September 2012].

Elliott RJ, Kopp PE. 2000. Mathematics of Financial Market. New York: Springer.

Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey : Prentice Hall, Inc.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd edition. Oxford : University Press.

Hull JC. 2006. Options, Futures, and Other Derivatives. 6th edition. New Jarsey : Pearson Education.

http://finance.yahoo.com [25 November 2012].

Privault N. 2008. Note on Stochastic Finance. New York: University Press.

Ross SM. 2003. Introduction to Probability Models. Burlington : Elsever, Inc. Tandelilin E. 2001. Analisis dan Manajemen

Portofolio. Edisi Pertama. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta. Taylor HM, Karlin. 1998. An Introduction

Stochastic Modelling. San Diego: Academic Press.

Tisserand M. 2006. Exponential of Lévy Processes As a Stock Price Arbitrage Opportunities, Completeness and Derivatives Valuation. Berlin: University Press.

Lampiran 1 Tabel Penutupan Harga Saham dan ReturnBank of America Corporation

No Date Close

Price

Return

No Date Close

Price

Return

1 03/01/2000 48,44

42 02/03/2000 45,06 -0,0110 2 04/01/2000 45,56 -0,0613 43 03/03/2000 45,00 -0,0013 3 05/01/2000 46,06 0,0109 44 06/03/2000 44,50 -0,0112 4 06/01/2000 50,00 0,0821 45 07/03/2000 44,00 -0,0113 5 07/01/2000 48,69 -0,0265 46 08/03/2000 43,63 -0,0084 6 10/01/2000 47,00 -0,0353 47 09/03/2000 43,06 -0,0132 7 11/01/2000 46,00 -0,0215 48 10/03/2000 42,88 -0,0042 8 12/01/2000 46,50 0,0108 49 13/03/2000 43,19 0,0072 9 13/01/2000 47,56 0,0225 50 14/03/2000 42,63 -0,0131 10 14/01/2000 50,50 0,0600 51 15/03/2000 45,88 0,0735 11 18/01/2000 48,00 -0,0508 52 16/03/2000 49,25 0,0709 12 19/01/2000 48,00 0,0000 53 17/03/2000 50,00 0,0151 13 20/01/2000 47,08 -0,0194 54 20/03/2000 49,63 -0,0074 14 21/01/2000 45,69 -0,0300 55 21/03/2000 51,00 0,0272 15 24/01/2000 44,56 -0,0250 56 22/03/2000 51,44 0,0086 16 25/01/2000 45,13 0,0127 57 23/03/2000 54,19 0,0521 17 26/01/2000 47,13 0,0434 58 24/03/2000 54,63 0,0081 18 27/01/2000 48,13 0,0210 59 27/03/2000 54,13 -0,0092 19 28/01/2000 45,75 -0,0507 60 28/03/2000 53,56 -0,0106 20 31/01/2000 48,44 0,0571 61 29/03/2000 52,00 -0,0296 21 01/02/2000 49,00 0,0115 62 30/03/2000 50,81 -0,0232 22 02/02/2000 47,75 -0,0258 63 31/03/2000 52,44 0,0316 23 03/02/2000 46,44 -0,0278 64 03/04/2000 55,50 0,0567 24 04/02/2000 45,88 -0,0121 65 04/04/2000 54,19 -0,0239 25 07/02/2000 45,31 -0,0125 66 05/04/2000 54,00 -0,0035 26 08/02/2000 47,13 0,0394 67 06/04/2000 53,44 -0,0104 27 09/02/2000 46,06 -0,0230 68 07/04/2000 52,31 -0,0214 28 10/02/2000 44,88 -0,0260 69 10/04/2000 52,81 0,0095 29 11/02/2000 45,19 0,0069 70 11/04/2000 52,34 -0,0089 30 14/02/2000 44,25 -0,0210 71 12/04/2000 54,56 0,0415 31 15/02/2000 45,63 0,0307 72 13/04/2000 52,81 -0,0326 32 16/02/2000 45,19 -0,0097 73 14/04/2000 49,94 -0,0559 33 17/02/2000 44,63 -0,0125 74 17/04/2000 50,31 0,0074 34 18/02/2000 43,75 -0,0199 75 18/04/2000 51,00 0,0136 35 22/02/2000 44,75 0,0226 76 19/04/2000 49,44 -0,0311 36 23/02/2000 45,75 0,0221 77 20/04/2000 49,56 0,0024 37 24/02/2000 44,81 -0,0208 78 24/04/2000 51,50 0,0384 38 25/02/2000 44,13 -0,0153 79 25/04/2000 53,44 0,0370 39 28/02/2000 45,94 0,0402 80 26/04/2000 51,75 -0,0321 40 29/02/2000 46,00 0,0013 81 27/04/2000 51,25 -0,0097 41 01/03/2000 45,56 -0,0096 82 28/04/2000 49,00 -0,0449

No Date Close Price

Return

No Date Close

Price

Return

83 01/05/2000 50,00 0,0202 126 30/06/2000 43,00 -0,0552 84 02/05/2000 49,63 -0,0074 127 03/07/2000 45,00 0,0455 85 03/05/2000 49,00 -0,0128 128 05/07/2000 45,31 0,0069 86 04/05/2000 48,00 -0,0206 129 06/07/2000 45,81 0,0110 87 05/05/2000 47,56 -0,0092 130 07/07/2000 47,44 0,0350 88 08/05/2000 48,19 0,0132 131 10/07/2000 47,44 0,0000 89 09/05/2000 48,19 0,0000 132 11/07/2000 46,94 -0,0106 90 10/05/2000 46,50 -0,0357 133 12/07/2000 47,00 0,0013 91 11/05/2000 47,38 0,0187 134 13/07/2000 46,19 -0,0174 92 12/05/2000 48,59 0,0252 135 14/07/2000 47,50 0,0280 93 15/05/2000 50,63 0,0411 136 17/07/2000 46,88 -0,0131 94 16/05/2000 49,69 -0,0187 137 18/07/2000 46,25 -0,0135 95 17/05/2000 49,31 -0,0077 138 19/07/2000 46,19 -0,0013 96 18/05/2000 50,31 0,0201 139 20/07/2000 48,38 0,0463 97 19/05/2000 49,75 -0,0112 140 21/07/2000 48,75 0,0076 98 22/05/2000 50,25 0,0100 141 24/07/2000 47,44 -0,0272 99 23/05/2000 52,56 0,0449 142 25/07/2000 48,25 0,0169 100 24/05/2000 55,94 0,0623 143 26/07/2000 47,06 -0,0250 101 25/05/2000 55,31 -0,0113 144 27/07/2000 46,75 -0,0066 102 26/05/2000 54,63 -0,0124 145 28/07/2000 46,50 -0,0054 103 30/05/2000 54,94 0,0057 146 31/07/2000 47,38 0,0187 104 31/05/2000 55,44 0,0091 147 01/08/2000 47,69 0,0065 105 01/06/2000 56,81 0,0244 148 02/08/2000 47,19 -0,0105 106 02/06/2000 61,00 0,0712 149 03/08/2000 49,06 0,0389 107 05/06/2000 59,25 -0,0291 150 04/08/2000 52,50 0,0678 108 06/06/2000 56,75 -0,0431 151 07/08/2000 52,38 -0,0023 109 07/06/2000 57,81 0,0185 152 08/08/2000 51,94 -0,0084 110 08/06/2000 56,75 -0,0185 153 09/08/2000 53,06 0,0213 111 09/06/2000 56,00 -0,0133 154 10/08/2000 53,44 0,0071 112 12/06/2000 56,47 0,0084 155 11/08/2000 54,06 0,0115 113 13/06/2000 55,69 -0,0139 156 14/08/2000 55,00 0,0172 114 14/06/2000 55,31 -0,0068 157 15/08/2000 54,31 -0,0126 115 15/06/2000 51,94 -0,0629 158 16/08/2000 53,50 -0,0150 116 16/06/2000 48,00 -0,0789 159 17/08/2000 53,56 0,0011 117 19/06/2000 48,38 0,0079 160 18/08/2000 53,75 0,0035 118 20/06/2000 48,50 0,0025 161 21/08/2000 53,88 0,0024 119 21/06/2000 47,63 -0,0181 162 22/08/2000 54,44 0,0103 120 22/06/2000 47,00 -0,0133 163 23/08/2000 54,06 -0,0070 121 23/06/2000 47,38 0,0081 164 24/08/2000 52,50 -0,0293 122 26/06/2000 47,94 0,0118 165 25/08/2000 51,75 -0,0144 123 27/06/2000 47,00 -0,0198 166 28/08/2000 51,69 -0,0012 124 28/06/2000 45,42 -0,0342 167 29/08/2000 50,88 -0,0158 125 29/06/2000 45,44 0,0004 168 30/08/2000 50,88 0,0000

No Date Close Price

Return

No Date Close

Price

Return

169 31/08/2000 53,58 0,0517 212 01/11/2000 48,38 0,0066 170 01/09/2000 52,50 -0,0204 213 02/11/2000 49,25 0,0178 171 05/09/2000 53,50 0,0189 214 03/11/2000 48,69 -0,0114 172 06/09/2000 53,63 0,0024 215 06/11/2000 51,06 0,0475 173 07/09/2000 54,38 0,0139 216 07/11/2000 50,69 -0,0073 174 08/09/2000 55,94 0,0283 217 08/11/2000 48,75 -0,0390 175 11/09/2000 56,56 0,0110 218 09/11/2000 49,75 0,0203 176 12/09/2000 57,00 0,0077 219 10/11/2000 48,38 -0,0279 177 13/09/2000 56,81 -0,0033 220 13/11/2000 47,44 -0,0196 178 14/09/2000 56,33 -0,0085 221 14/11/2000 45,88 -0,0334 179 15/09/2000 54,88 -0,0261 222 15/11/2000 42,00 -0,0884 180 18/09/2000 53,69 -0,0219 223 16/11/2000 41,88 -0,0029 181 19/09/2000 54,88 0,0219 224 17/11/2000 40,31 -0,0382 182 20/09/2000 53,81 -0,0197 225 20/11/2000 39,31 -0,0251 183 21/09/2000 53,00 -0,0152 226 21/11/2000 39,63 0,0081 184 22/09/2000 55,00 0,0370 227 22/11/2000 38,56 -0,0274 185 25/09/2000 55,00 0,0000 228 24/11/2000 39,31 0,0193 186 26/09/2000 53,81 -0,0219 229 27/11/2000 39,69 0,0096 187 27/09/2000 52,69 -0,0210 230 28/11/2000 40,50 0,0202 188 28/09/2000 54,00 0,0246 231 29/11/2000 40,69 0,0047 189 29/09/2000 52,38 -0,0305 232 30/11/2000 39,94 -0,0186 190 02/10/2000 53,06 0,0129 233 01/12/2000 39,75 -0,0048 191 03/10/2000 54,19 0,0211 234 04/12/2000 39,00 -0,0190 192 04/10/2000 52,75 -0,0269 235 05/12/2000 41,19 0,0546 193 05/10/2000 53,88 0,0212 236 06/12/2000 38,00 -0,0806 194 06/10/2000 51,63 -0,0427 237 07/12/2000 39,00 0,0260 195 09/10/2000 50,56 -0,0209 238 08/12/2000 40,88 0,0471 196 10/10/2000 48,69 -0,0377 239 11/12/2000 43,44 0,0607 197 11/10/2000 47,06 -0,0341 240 12/12/2000 43,44 0,0000 198 12/10/2000 44,56 -0,0546 241 13/12/2000 42,94 -0,0116 199 13/10/2000 46,56 0,0439 242 14/12/2000 42,31 -0,0148 200 16/10/2000 45,19 -0,0299 243 15/12/2000 41,81 -0,0119 201 17/10/2000 42,75 -0,0555 244 18/12/2000 43,50 0,0396 202 18/10/2000 42,19 -0,0132 245 19/12/2000 44,25 0,0171 203 19/10/2000 44,06 0,0434 246 20/12/2000 42,75 -0,0345 204 20/10/2000 43,75 -0,0071 247 21/12/2000 45,81 0,0691 205 23/10/2000 43,75 0,0000 248 22/12/2000 46,13 0,0070 206 24/10/2000 44,50 0,0170 249 26/12/2000 46,31 0,0039 207 25/10/2000 44,06 -0,0099 250 27/12/2000 46,81 0,0107 208 26/10/2000 43,38 -0,0156 251 28/12/2000 46,81 0,0000 209 27/10/2000 44,94 0,0353 252 29/12/2000 45,88 -0,0201 210 30/10/2000 47,00 0,0448

Lampiran 2 Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham BankofAmerican Corporation dengan Kolmogorov-Smirnov

Hipotesis

H0 : Data berdistribusi normal H1 : Data tidak berdistribusi normal Tingkat signifikasi :

Daerah kritis : H0 ditolak jika Statistik uji : Uji Kolmogorov-Smirnov

Perhitungan :

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

Saham

N 252

Normal Parameters(a,b) Mean 48,6730 Std. Deviation 4,5843 Most Extreme

Differences

Absolute 0,0650

Positive 0,0530

Negative -0,0650

Kolmogorov-Smirnov Z 1,0330

Asymp. Sig. (2-tailed) 0,2360

a Test distribution is Normal. b Calculated from data.

Kesimpulan : kerena (Asymp. Sig = 0,2360) maka dapat diambil kesimpulan bahwa data penutupan harga saham berdistribusi normal.

Lampiran 3 Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak

Regression Analysis: S-Zt versus t; Bt The regression equation is

s-Zt = - 0,33 t + 0,0450 Bt

Predictor Coef SE Coef T P Noconstant

t -0,329 1,516 -0,22 0,828 Bt1 0,0454 0,5724 0,08 0,937

S = 9,56185

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 2 4,59 2,30 0,03 0,975 Residual Error 250 22857,26 91,43

Lampiran 4 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy

No Date t Close

Price Mt Bt St

1 02/01/2001 0,0027 46,75 48,00 0,0000005 50,9991 2 03/01/2001 0,0055 49,94 50,00 0,0000000 49,9982 3 04/01/2001 0,0082 51,50 43,00 0,0000018 48,9973 4 05/01/2001 0,0110 48,00 49,00 -0,0000017 50,9964 5 08/01/2001 0,0137 48,25 47,00 -0,0000008 47,9955 6 09/01/2001 0,0164 47,00 54,00 -0,0000012 45,9946 7 10/01/2001 0,0192 48,56 52,00 -0,0000008 54,9937 8 11/01/2001 0,0219 49,44 40,00 -0,0000003 42,9928 9 12/01/2001 0,0247 49,06 47,00 0,0000013 57,9919 10 16/01/2001 0,0274 50,94 39,00 -0,0000031 51,9910 11 17/01/2001 0,0301 49,56 52,00 -0,0000007 49,9901 12 18/01/2001 0,0329 48,94 44,00 -0,0000004 48,9892 13 19/01/2001 0,0356 49,19 53,00 0,0000006 46,9882 14 22/01/2001 0,0384 50,38 45,00 -0,0000009 38,9873 15 23/01/2001 0,0411 50,38 52,00 -0,0000003 46,9864 16 24/01/2001 0,0438 51,06 69,00 -0,0000003 66,9855 17 25/01/2001 0,0466 51,50 49,00 -0,0000007 42,9846 18 26/01/2001 0,0493 53,19 58,00 -0,0000013 45,9837 19 29/01/2001 0,0521 54,02 58,00 0,0000007 48,9828 20 30/01/2001 0,0548 55,47 55,00 0,0000014 42,9819 21 31/01/2001 0,0575 53,82 57,00 0,0000020 49,9810 22 01/02/2001 0,0603 53,28 45,00 -0,0000007 47,9801 23 02/02/2001 0,0630 53,60 41,00 -0,0000018 62,9792 24 05/02/2001 0,0658 53,26 51,00 0,0000005 40,9783 25 06/02/2001 0,0685 50,96 54,00 -0,0000002 46,9774 26 07/02/2001 0,0712 49,50 57,00 -0,0000002 46,9765 27 08/02/2001 0,0740 48,75 50,00 0,0000019 48,9756 28 09/02/2001 0,0767 49,50 51,00 0,0000009 53,9747 29 12/02/2001 0,0795 50,06 46,00 -0,0000007 58,9738 30 13/02/2001 0,0822 50,24 53,00 -0,0000008 37,9729 31 14/02/2001 0,0849 50,80 39,00 -0,0000005 35,9720 32 15/02/2001 0,0877 50,89 41,00 0,0000010 42,9711 33 16/02/2001 0,0904 51,40 41,00 -0,0000001 46,9702 34 20/02/2001 0,0932 49,12 44,00 0,0000013 45,9693 35 21/02/2001 0,0959 47,75 51,00 -0,0000005 59,9684 36 22/02/2001 0,0986 48,25 49,00 -0,0000015 37,9675 37 23/02/2001 0,1014 49,14 44,00 0,0000003 46,9665 38 26/02/2001 0,1041 50,98 37,00 0,0000015 46,9656 39 27/02/2001 0,1068 51,43 34,00 0,0000000 35,9647 40 28/02/2001 0,1096 50,70 43,00 -0,0000006 47,9638

No Date t Close

Price Mt Bt Xt

41 01/03/2001 0,1123 49,34 52,00 0,0000002 47,9629 42 02/03/2001 0,1151 49,05 42,00 0,000001 48,9620 43 05/03/2001 0,1178 49,08 44,00 0,0000007 44,9611 44 06/03/2001 0,1205 50,26 46,00 -0,000001 51,9602 45 07/03/2001 0,1233 52,75 58,00 0,0000003 54,9593 46 08/03/2001 0,1260 53,72 51,00 -0,0000004 41,9584 47 09/03/2001 0,1288 52,50 43,00 0,0000006 62,9575 48 12/03/2001 0,1315 51,62 38,00 0,0000009 59,9566 49 13/03/2001 0,1342 54,25 41,00 -0,0000005 54,9557 50 14/03/2001 0,1370 51,75 54,00 -0,0000022 43,9548

Lampiran 5 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Black-Scholes

No Date t Close Price ̂ St

1 02/01/2001 0,0027 46,75 0,0296 46,4983

2 03/01/2001 0,0055 49,94 0,0411 46,7377

3 04/01/2001 0,0082 51,50 0,0849 47,6765

4 05/01/2001 0,0110 48,00 -0,0671 44,4582

5 08/01/2001 0,0137 48,25 -0,1653 42,4930

6 09/01/2001 0,0164 47,00 0,0236 46,3310

7 10/01/2001 0,0192 48,56 -0,1434 42,9065

8 11/01/2001 0,0219 49,44 0,0177 46,1902

9 12/01/2001 0,0247 49,06 -0,0291 45,2013

10 16/01/2001 0,0274 50,94 0,2239 50,7557

11 17/01/2001 0,0301 49,56 0,0731 47,3550

12 18/01/2001 0,0329 48,94 -0,1353 43,0297

13 19/01/2001 0,0356 49,19 -0,0651 44,4300

14 22/01/2001 0,0384 50,38 -0,0141 45,4755

15 23/01/2001 0,0411 50,38 -0,0652 44,4133

16 24/01/2001 0,0438 51,06 -0,0102 45,5394

17 25/01/2001 0,0466 51,50 -0,0085 45,5684

18 26/01/2001 0,0493 53,19 0,1473 48,9350

19 29/01/2001 0,0521 54,02 0,1372 48,7022

20 30/01/2001 0,0548 55,47 0,1729 49,4959

21 31/01/2001 0,0575 53,82 0,0672 47,1467

22 01/02/2001 0,0603 53,28 0,1158 48,2016

23 02/02/2001 0,0630 53,60 0,0026 45,7544

24 05/02/2001 0,0658 53,26 -0,1479 42,6931

25 06/02/2001 0,0685 50,96 0,0325 46,3694

26 07/02/2001 0,0712 49,50 0,1092 48,0223

27 08/02/2001 0,0740 48,75 0,1215 48,2854

28 09/02/2001 0,0767 49,50 -0,0539 44,5450

29 12/02/2001 0,0795 50,06 -0,0212 45,2105

30 13/02/2001 0,0822 50,24 -0,0810 43,9796

31 14/02/2001 0,0849 50,80 0,1748 49,4465

32 15/02/2001 0,0877 50,89 0,0776 47,2817

33 16/02/2001 0,0904 51,40 -0,0733 44,1113

34 20/02/2001 0,0932 49,12 0,1578 49,0372

35 21/02/2001 0,0959 47,75 0,0634 46,9505

36 22/02/2001 0,0986 48,25 0,0981 47,6956

37 23/02/2001 0,1014 49,14 0,0425 46,4870

38 26/02/2001 0,1041 50,98 -0,0813 43,9131

39 27/02/2001 0,1068 51,43 -0,1537 42,4716

No Date t Close Price ̂ St

41 01/03/2001 0,1123 49,34 -0,0711 44,0967

42 02/03/2001 0,1151 49,05 0,0848 47,3559

43 05/03/2001 0,1178 49,08 -0,0809 43,8830

44 06/03/2001 0,1205 50,26 0,0504 46,5986

45 07/03/2001 0,1233 52,75 0,0849 47,3354

46 08/03/2001 0,1260 53,72 0,0092 45,7120

47 09/03/2001 0,1288 52,50 -0,1253 42,9696

48 12/03/2001 0,1315 51,62 -0,0464 44,5438

49 13/03/2001 0,1342 54,25 0,0672 46,9199

Lampiran 6 Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes

Tanggal Peramalan Data Aktual

Levy Black-Scholes

02/01/2001 50,9991 46,4983 46,7500

03/01/2001 49,9982 46,7377 49,9400

04/01/2001 48,9973 47,6765 51,5000

05/01/2001 50,9964 44,4582 48,0000

08/01/2001 47,9955 42,4930 48,2500

09/01/2001 45,9946 46,3310 47,0000

10/01/2001 54,9937 42,9065 48,5600

11/01/2001 42,9928 46,1902 49,4400

12/01/2001 57,9919 45,2013 49,0600

16/01/2001 51,9910 50,7557 50,9400

17/01/2001 49,9901 47,3550 49,5600

18/01/2001 48,9892 43,0297 48,9400

19/01/2001 46,9882 44,4300 49,1900

22/01/2001 38,9873 45,4755 50,3800

23/01/2001 46,9864 44,4133 50,3800

24/01/2001 66,9855 45,5394 51,0600

25/01/2001 42,9846 45,5684 51,5000

26/01/2001 45,9837 48,9350 53,1900

29/01/2001 48,9828 48,7022 54,0200

30/01/2001 42,9819 49,4959 55,4700

31/01/2001 49,9810 47,1467 53,8200

01/02/2001 47,9801 48,2016 53,2800

02/02/2001 62,9792 45,7544 53,6000

05/02/2001 40,9783 42,6931 53,2600

06/02/2001 46,9774 46,3694 50,9600

07/02/2001 46,9765 48,0223 49,5000

08/02/2001 48,9756 48,2854 48,7500

09/02/2001 53,9747 44,5450 49,5000

12/02/2001 58,9738 45,2105 50,0600

13/02/2001 37,9729 43,9796 50,2400

14/02/2001 35,9720 49,4465 50,8000

15/02/2001 42,9711 47,2817 50,8900

16/02/2001 46,9702 44,1113 51,4000

20/02/2001 45,9693 49,0372 49,1200

21/02/2001 59,9684 46,9505 47,7500

22/02/2001 37,9675 47,6956 48,2500

23/02/2001 46,9665 46,4870 49,1400

26/02/2001 46,9656 43,9131 50,9800

27/02/2001 35,9647 42,4716 51,4300

Tanggal Peramalan Data Aktual Levy Black-Scholes

01/03/2001 47,9629 44,0967 49,3400

02/03/2001 48,9620 47,3559 49,0500

05/03/2001 44,9611 43,8830 49,0800

06/03/2001 51,9602 46,5986 50,2600

07/03/2001 54,9593 47,3354 52,7500

08/03/2001 41,9584 45,7120 53,7200

09/03/2001 62,9575 42,9696 52,5000

12/03/2001 59,9566 44,5438 51,6200

13/03/2001 54,9557 46,9199 54,2500

14/03/2001 43,9548 42,3131 51,7500

MAPE 0,1135 0,0929

Lampiran 4 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy

No Date t Close

Price Mt Bt St

1 02/01/2001 0,0027 46,75 48,00 0,0000005 50,9991 2 03/01/2001 0,0055 49,94 50,00 0,0000000 49,9982 3 04/01/2001 0,0082 51,50 43,00 0,0000018 48,9973 4 05/01/2001 0,0110 48,00 49,00 -0,0000017 50,9964 5 08/01/2001 0,0137 48,25 47,00 -0,0000008 47,9955 6 09/01/2001 0,0164 47,00 54,00 -0,0000012 45,9946 7 10/01/2001 0,0192 48,56 52,00 -0,0000008 54,9937 8 11/01/2001 0,0219 49,44 40,00 -0,0000003 42,9928 9 12/01/2001 0,0247 49,06 47,00 0,0000013 57,9919 10 16/01/2001 0,0274 50,94 39,00 -0,0000031 51,9910 11 17/01/2001 0,0301 49,56 52,00 -0,0000007 49,9901 12 18/01/2001 0,0329 48,94 44,00 -0,0000004 48,9892 13 19/01/2001 0,0356 49,19 53,00 0,0000006 46,9882 14 22/01/2001 0,0384 50,38 45,00 -0,0000009 38,9873 15 23/01/2001 0,0411 50,38 52,00 -0,0000003 46,9864 16 24/01/2001 0,0438 51,06 69,00 -0,0000003 66,9855 17 25/01/2001 0,0466 51,50 49,00 -0,0000007 42,9846 18 26/01/2001 0,0493 53,19 58,00 -0,0000013 45,9837 19 29/01/2001 0,0521 54,02 58,00 0,0000007 48,9828 20 30/01/2001 0,0548 55,47 55,00 0,0000014 42,9819 21 31/01/2001 0,0575 53,82 57,00 0,0000020 49,9810 22 01/02/2001 0,0603 53,28 45,00 -0,0000007 47,9801 23 02/02/2001 0,0630 53,60 41,00 -0,0000018 62,9792 24 05/02/2001 0,0658 53,26 51,00 0,0000005 40,9783 25 06/02/2001 0,0685 50,96 54,00 -0,0000002 46,9774 26 07/02/2001 0,0712 49,50 57,00 -0,0000002 46,9765 27 08/02/2001 0,0740 48,75 50,00 0,0000019 48,9756 28 09/02/2001 0,0767 49,50 51,00 0,0000009 53,9747 29 12/02/2001 0,0795 50,06 46,00 -0,0000007 58,9738 30 13/02/2001 0,0822 50,24 53,00 -0,0000008 37,9729 31 14/02/2001 0,0849 50,80 39,00 -0,0000005 35,9720 32 15/02/2001 0,0877 50,89 41,00 0,0000010 42,9711 33 16/02/2001 0,0904 51,40 41,00 -0,0000001 46,9702 34 20/02/2001 0,0932 49,12 44,00 0,0000013 45,9693 35 21/02/2001 0,0959 47,75 51,00 -0,0000005 59,9684 36 22/02/2001 0,0986 48,25 49,00 -0,0000015 37,9675 37 23/02/2001 0,1014 49,14 44,00 0,0000003 46,9665 38 26/02/2001 0,1041 50,98 37,00 0,0000015 46,9656 39 27/02/2001 0,1068 51,43 34,00 0,0000000 35,9647 40 28/02/2001 0,1096 50,70 43,00 -0,0000006 47,9638

No Date t Close

Price Mt Bt Xt

41 01/03/2001 0,1123 49,34 52,00 0,0000002 47,9629 42 02/03/2001 0,1151 49,05 42,00 0,000001 48,9620 43 05/03/2001 0,1178 49,08 44,00 0,0000007 44,9611 44 06/03/2001 0,1205 50,26 46,00 -0,000001 51,9602 45 07/03/2001 0,1233 52,75 58,00 0,0000003 54,9593 46 08/03/2001 0,1260 53,72 51,00 -0,0000004 41,9584 47 09/03/2001 0,1288 52,50 43,00 0,0000006 62,9575 48 12/03/2001 0,1315 51,62 38,00 0,0000009 59,9566 49 13/03/2001 0,1342 54,25 41,00 -0,0000005 54,9557 50 14/03/2001 0,1370 51,75 54,00 -0,0000022 43,9548

Lampiran 5 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Black-Scholes

No Date t Close Price ̂ St

1 02/01/2001 0,0027 46,75 0,0296 46,4983

2 03/01/2001 0,0055 49,94 0,0411 46,7377

3 04/01/2001 0,0082 51,50 0,0849 47,6765

4 05/01/2001 0,0110 48,00 -0,0671 44,4582

5 08/01/2001 0,0137 48,25 -0,1653 42,4930

6 09/01/2001 0,0164 47,00 0,0236 46,3310

7 10/01/2001 0,0192 48,56 -0,1434 42,9065

8 11/01/2001 0,0219 49,44 0,0177 46,1902

9 12/01/2001 0,0247 49,06 -0,0291 45,2013

10 16/01/2001 0,0274 50,94 0,2239 50,7557

11 17/01/2001 0,0301 49,56 0,0731 47,3550

12 18/01/2001 0,0329 48,94 -0,1353 43,0297

13 19/01/2001 0,0356 49,19 -0,0651 44,4300

14 22/01/2001 0,0384 50,38 -0,0141 45,4755

15 23/01/2001 0,0411 50,38 -0,0652 44,4133

16 24/01/2001 0,0438 51,06 -0,0102 45,5394

17 25/01/2001 0,0466 51,50 -0,0085 45,5684

18 26/01/2001 0,0493 53,19 0,1473 48,9350

19 29/01/2001 0,0521 54,02 0,1372 48,7022

20 30/01/2001 0,0548 55,47 0,1729 49,4959

21 31/01/2001 0,0575 53,82 0,0672 47,1467

22 01/02/2001 0,0603 53,28 0,1158 48,2016

23 02/02/2001 0,0630 53,60 0,0026 45,7544

24 05/02/2001 0,0658 53,26 -0,1479 42,6931

25 06/02/2001 0,0685 50,96 0,0325 46,3694

26 07/02/2001 0,0712 49,50 0,1092 48,0223

27 08/02/2001 0,0740 48,75 0,1215 48,2854

28 09/02/2001 0,0767 49,50 -0,0539 44,5450

29 12/02/2001 0,0795 50,06 -0,0212 45,2105

30 13/02/2001 0,0822 50,24 -0,0810 43,9796

31 14/02/2001 0,0849 50,80 0,1748 49,4465

32 15/02/2001 0,0877 50,89 0,0776 47,2817

33 16/02/2001 0,0904 51,40 -0,0733 44,1113

34 20/02/2001 0,0932 49,12 0,1578 49,0372

35 21/02/2001 0,0959 47,75 0,0634 46,9505

36 22/02/2001 0,0986 48,25 0,0981 47,6956

37 23/02/2001 0,1014 49,14 0,0425 46,4870

38 26/02/2001 0,1041 50,98 -0,0813 43,9131

39 27/02/2001 0,1068 51,43 -0,1537 42,4716

No Date t Close Price ̂ St

41 01/03/2001 0,1123 49,34 -0,0711 44,0967

42 02/03/2001 0,1151 49,05 0,0848 47,3559

43 05/03/2001 0,1178 49,08 -0,0809 43,8830

44 06/03/2001 0,1205 50,26 0,0504 46,5986

45 07/03/2001 0,1233 52,75 0,0849 47,3354

46 08/03/2001 0,1260 53,72 0,0092 45,7120

47 09/03/2001 0,1288 52,50 -0,1253 42,9696

48 12/03/2001 0,1315 51,62 -0,0464 44,5438

49 13/03/2001 0,1342 54,25 0,0672 46,9199

Lampiran 6 Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes

Tanggal Peramalan Data Aktual

Levy Black-Scholes

02/01/2001 50,9991 46,4983 46,7500

03/01/2001 49,9982 46,7377 49,9400

04/01/2001 48,9973 47,6765 51,5000

05/01/2001 50,9964 44,4582 48,0000

08/01/2001 47,9955 42,4930 48,2500

09/01/2001 45,9946 46,3310 47,0000

10/01/2001 54,9937 42,9065 48,5600

11/01/2001 42,9928 46,1902 49,4400

12/01/2001 57,9919 45,2013 49,0600

16/01/2001 51,9910 50,7557 50,9400

17/01/2001 49,9901 47,3550 49,5600

18/01/2001 48,9892 43,0297 48,9400

19/01/2001 46,9882 44,4300 49,1900

22/01/2001 38,9873 45,4755 50,3800

23/01/2001 46,9864 44,4133 50,3800

24/01/2001 66,9855 45,5394 51,0600

25/01/2001 42,9846 45,5684 51,5000

26/01/2001 45,9837 48,9350 53,1900

29/01/2001 48,9828 48,7022 54,0200

30/01/2001 42,9819 49,4959 55,4700

31/01/2001 49,9810 47,1467 53,8200

01/02/2001 47,9801 48,2016 53,2800

02/02/2001 62,9792 45,7544 53,6000

05/02/2001 40,9783 42,6931 53,2600

06/02/2001 46,9774 46,3694 50,9600

07/02/2001 46,9765 48,0223 49,5000

08/02/2001 48,9756 48,2854 48,7500

09/02/2001 53,9747 44,5450 49,5000

12/02/2001 58,9738 45,2105 50,0600

13/02/2001 37,9729 43,9796 50,2400

14/02/2001 35,9720 49,4465 50,8000

15/02/2001 42,9711 47,2817 50,8900

16/02/2001 46,9702 44,1113 51,4000

20/02/2001 45,9693 49,0372 49,1200

21/02/2001 59,9684 46,9505 47,7500

22/02/2001 37,9675 47,6956 48,2500

23/02/2001 46,9665 46,4870 49,1400

26/02/2001 46,9656 43,9131 50,9800

27/02/2001 35,9647 42,4716 51,4300

Tanggal Peramalan Data Aktual

Levy Black-Scholes

01/03/2001 47,9629 44,0967 49,3400

02/03/2001 48,9620 47,3559 49,0500

05/03/2001 44,9611 43,8830 49,0800

06/03/2001 51,9602 46,5986 50,2600

07/03/2001 54,9593 47,3354 52,7500

08/03/2001 41,9584 45,7120 53,7200

09/03/2001 62,9575 42,9696 52,5000

12/03/2001 59,9566 44,5438 51,6200

13/03/2001 54,9557 46,9199 54,2500

14/03/2001 43,9548 42,3131 51,7500

MAPE 0,1135 0,0929