1. Home
  2. Teknik

Titik Kesetimbangan HASIL DAN PEMBAHASAN

4.3 Titik Kesetimbangan

Dari sistem persamaan 4.7 akan dicari titik kesetimbangannya, sebagai berikut: = + − − − 1 − = 0, = − − = 0, = + 1 − − − = 0, 4.8 = − − = 0. persamaan kedua dari 4.8 diperoleh − − = 0 ⇔ − − = 0 ⇔ = 0 = 4.9 Untuk kasus i=0 . Persamaan satu dari 4.7 menjadi : = 0 ⇔ + − − . 0 − 1 − = 0 ⇔ + − − 1 − = 0 ⇔ − + 1 − = − − ⇔ = + + 1 − ………………. Persamaan ketiga menjadi : = 0 ⇔ . 0 + 1 − − − = 0 ⇔ 1 − − − = 0 ⇔ = 1 − + ………………………… Persamaan keempat menjadi : = + ……………………………… ⇔ = + ⇔ = + ………………… Substitusikan persamaan ii ke iv, diperoleh : 1 − + = + ⇔ = 1 − + + ………………… Substitusikan persamaan v ke i, diperoleh : = + 1 − + + + 1 − ⇔ = + + + 1 − + + + 1 − ⇔ + + + 1 − − 1 − = + + ⇔ [ + + + 1 − − 1 − ] = + + ⇔ = + + + + + 1 − − 1 − ⇔ = + + + + + 1 − + 1 − ……………… Substitusikan persamaan vi ke ii, diperoleh : = 1 − + + + + + 1 − − 1 − + ⇔ = 1 − + + [ + + + 1 − − 1 − ] + ⇔ = 1 − + + + + 1 − − 1 − ⇔ = + 1 − + + + 1 − + 1 − ……………… Substitusikan persamaan vii ke iii, diperoleh : = 1 − + + + + 1 − − 1 − + ⇔ = 1 − + [ + + + 1 − − 1 − ] + ⇔ = 1 − + + + 1 − − 1 − ⇔ = 1 − + + + 1 − + 1 − …………………… Dengan demikian diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit = , , , = , 0, , 1 − + + + 1 − + 1 − . Selanjutnya untuk menentukan titik kesetimbangan endemik maka diansumsikan i ≠ 0. Misal = ∗ , ∗ , ∗ , ∗ . Sehingga sistem 4.7 menjadi, + ∗ − ∗ − ∗ ∗ − 1 − ∗ = 0 ∗ ∗ − ∗ − ∗ = 0 ∗ + 1 − ∗ − ∗ − ∗ = 0 4.10 ∗ − ∗ − ∗ = 0 Untuk kasus i ≠ 0, pada persamaan 4.9 jelas ∗ = …………… 1 Persamaan ketiga dari sistem 4.10 menjadi ∗ + 1 − − ∗ + = 0 ⇔ ∗ + 1 − ∗ = ∗ + ⇔ ∗ = ∗ + 1 − ∗ + ………………………. 2 Persamaan keempat menjadi ∗ − ∗ + = 0 ⇔ ∗ + = ∗ ⇔ ∗ = ∗ + ……………………………………… 3 Substitusikan 2 ke persamaan 3, diperoleh: ∗ = [ ∗ + 1 − ∗ ] + + …………………………. . 4 Substitusikan 4 ke persamaan pertama pada 4.10, diperoleh: + [ ∗ + 1 − ∗ ] + + − ∗ − ∗ ∗ − 1 − ∗ = 0 ⇔ + ∗ + 1 − ∗ + + − ∗ − ∗ ∗ − 1 − ∗ = 0 ⇔ ∗ + 1 − ∗ + + − ∗ ∗ = ∗ + 1 − ∗ − ⇔ ∗ + 1 − ∗ − ∗ ∗ + + + + = ∗ + 1 − ∗ − ⇔ ∗ [ − ∗ + + ] + 1 − ∗ = + + [ ∗ + 1 − ∗ − ] ⇔ ∗ = + + [ ∗ + 1 − ∗ − ] − 1 − ∗ [ − ∗ + + ] ⇔ ∗ = + + + + 1 − + − − 1 − + [ − + + + ] ⇔ ∗ = + + [ + + 1 − + − ] − 1 − + [ − + + + ] ⇔ ∗ = + + [ − + + 1 − ] + 1 − + + + + + ………… 5 Substitusikan persamaan 5 ke persamaan 2, diperoleh: ∗ = 1 + [ + + + + ] + + [ − + + 1 − ] + 1 − + + 1 − + [ + + + + ] Substitusikan persamaan 5 ke persamaan 4, diperoleh: ∗ = 1 + + [ + + + + ] + + [ − + + 1 − ] + 1 − + + 1 − + + + + + . Jadi diperoleh titik kesetimbangan endemik = ∗ , ∗ , ∗ , ∗ sebagai berikut: ∗ = + , ∗ = + + [ − + + 1 − ] + 1 − + + + + + , ∗ = 1 + [ + + + + ] + + [ − + + 1 − ] + 1 − + + 1 − + [ + + + + ] ∗ = 1 + + [ + + + + ] + + [ − + + 1 − ] + 1 − + + 1 − + + + + + .

4.4 Angka Rasio Reproduksi Dasar

Dokumen yang terkait

MODEL EPIDEMI SEIV PENYEBARAN PENYAKIT POLIO PADA POPULASI TAK KONSTAN

1 12 88

Pemodelan Sirs Untuk Penyakit Influenza Dengan Vaksinasi Pada Populasi Manusia Dengan Laju Recruitment And Death

2 40 77

Pengaruh Waktu Vaksinasi Avian Influenza Terhadap Performa Ayam Broiler

0 4 71

OPTIMAL KONTROL UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA BERDASARKAN MODEL SIR DENGAN VAKSINASI.

7 14 42

PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT EBOLA DENGAN MODEL EPIDEMI SIR PADA POPULASI MANUSIA TAK KONSTAN DENGAN TREATMENT -

0 0 58

Waktu Vaksinasi Avian Influenza AI yang

0 0 6

Hubungan Status Frailty dengan Serokonversi dan Seroproteksi Vaksin Influenza pada Populasi Usia Lanjut | Koesnoe | Jurnal Penyakit Dalam Indonesia 1 SM

0 3 6

Model penyebaran Penyakit Polio Dengan Pengaruh Vaksinasi

1 2 8

MODEL SEIR PENYAKIT CAMPAK DENGAN VAKSINASI DAN MIGRASI

0 0 11

Infeksi Subklinis Avian Influenza H5N1 pada Peternakan Ayam yang Menerapkan Program Vaksinasi

0 0 10