b.
= {
+ +
+
⋯
+ cos
+ +
+
⋯
+ sin
} apabila
+
akar kompleks persamaan
+ +
= 0.
Koefisien-koefisien .
, , …,
, ,
, …,
, akan ditentukan kemudian setelah
disubstitusikan pada PD 2.7. Supriyono,2011:55
2.8 Titik Kesetimbangan Ekuilibrium
Definisi 1.
Titik ∈
disebut titik ekuilibrium
=
̇ jika
= 0
. Perko, 1991.
Definisi 2.
Titik ekuilibrium ∈
sistem ̇
=
̇ dikatakan
1 Stabil lokal jika untuk setiap terdapat
sedemikian hingga untuk setiap solusi xt yang memenuhi
‖ − ̅‖
berlaku ‖
− ̅‖ untuk setiap
≥ . 2 Stabil asimtotik lokal jika titik ekuilibrium
̅ ∈ stabil dan
terdapat sedemikian hingga untuk setiap solusi
yang memenuhi
‖ − ̅‖
berlaku
lim
→∞
=
̅. 3 Tidak stabil jika titik ekuilibrium
̅ ∈ tidak memenuhi 1.
Wiggins, 2003.
Definisi 3.
Jika ⊆
himpunan terbuka
∈
, = 1,2,…,
,dan ∈ maka
terdapat sehingga masalah nilai awal
̇
=
̇ dengan
0 =
mempunyai penyelesaian tunggal pada interval
[
−
, ]
Perko, 1991. Dibawah ini diberikan definisi dari sistem linear dan non linear.
Diberikan sistem ̇
=
̇ , dengan
⊆ dan
:
→ fungsi kontinu
pada . Sistem ̇
=
̇ dikatakan linear jika
, , . . . ,
masing-masing linear terhadap
, , …,
Jadi sistem ̇
=
̇ dapat ditulis dalam bentuk
n nn
n n
n n
n n
n
x a
x a
x a
x x
a x
a x
a x
x a
x a
x a
x
... ...
...
2 2
1 1
2 2
22 1
21 2
1 2
12 1
11 1
2.6
Dengan
= ,
kontinu pada ≤ ≤ ,
,
∈
, = 1,2, …,
dan
= 1,2, …,
Selanjutnya sistem ̇
=
̇ dapat dinyatakan dalam bentuk
̇
=
̇ dengan
∈ dan A matriks berukuran
×
Diberikan sistem ̇
=
̇ dengan
⊆ dan
:
→ fungsi
kontinu pada . Sistem
̇
=
̇ dikatakan non linear jika terdapat
sedemikian hingga tidak linear.Perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium sistem nonlinear
̇
=
dapat ditentukan melalui linearisasi di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut.
Definisi 4.
Diberikan fungsi
= , …,
pada sistem ̇
=
dengan ∈
, = 1,2, …,
. Matriks
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f
x f
J
n n
n n
n n
2.7
dinamakan matriks Jacobian dari di titik ̅
Kocak, 1991.
Definisi 5.
Sistem linear
=
̅ − ̅
̇ disebut linearisasi sistem
̇
=
di sekitar titik .Perko, 1991.
2.9 Nilai eigen dan Vektor eigen
Kata “eigen” berasal dari bahasa jerman dan inggris.Dalam bahasa Jerman “eigen” yang berarti sebenarnya atau karakteristik. Oleh karena itu, nilai
eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik, dalam literature lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent.
Definisi 6.
Jika adalah matriks
x
, maka vektor tak nol di dalam dinamakan
vektor eigen eigenvector dari jika adalah kelipatan skalar dari yakni,
=
Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen eigenvalue dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Anton, 1992: 277.
Nilai eigen mempunyai tafsiran geometric yang bermanfaat dalam
2
dan
3
. Jika adalah nilai eigen dari yang bersesuaian dengan , maka
=
, sehingga perkalian oleh akan memperbesar , atau membalik arah , yang bergantung
pada nilai , sedangkan untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran
x
dapat dilakukan dengan cara menuliskan kembali
=
sebagai
=
2.8 Karena suatu matriks identitas jadi
=
memiliki nilai yang sama dengan
=
. Atau secara ekivalen ditulis −
= 0
2.9 Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan
ini. Persamaan 17 akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika −
= 0
2.10 Ini dinamakan persamaan karakteristik
; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari . Bila diperluas, maka det
− adalah
polinom yang dinamakan polinom karakteristik dari . Jika adalah matriks
x
, maka polinom karakteristik harus memnuhi dan koefisien adalah 1.
Berikut bentuk polinom karakteristik dari matriks
x
−
= +
+
⋯
+
2.11 Anton, 1992: 278.
2.10 Kestabilan Titik Tetap Teorema 1
