PEMODELAN SIRPS UNTUK PENYAKIT INFLUENZA DENGAN VAKSINASI PADA POPULASI KONSTAN

PEMODELAN SIRPS UNTUK PENYAKIT

INFLUENZA

DENGAN VAKSINASI PADA POPULASI KONSTAN

skripsi

disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

oleh

Ardian Dwi Anggoro 4150408046

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

ii

LEMBAR PENGESAHAN

Skripsi yang berjudul

Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan

disusun oleh

Ardian Dwi Anggoro 4150408046

telah dipertahankan di hadapan sidang panitia ujian Skripsi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:

Hari :

Tanggal :

Panitia Ujian Ketua,

Prof. Dr. Wiyanto, M.Si NIP. 196310121988031001

Sekertaris,

Drs. Arief Agoestanto, M.Si NIP. 196807221993031005 Ketua Penguji

Drs. Moch Chotim, M.S NIP. 194905151979031001

Anggota Penguji/ Pembimbing I

Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc. NIP. 198210122005011001

Anggota Penguji/ Pembimbing II

Drs. Supriyono, M.Si. NIP.195210291980031002

iii

PERNYATAAN

Saya menyatakan bahwa dalam isi skripsi ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dirujuk dalam skripsi ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Semarang, Maret 2013

Ardian Dwi Anggoro NIM. 4150408046

iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOT T O



“Hanya kepada Engkaulah kami menyembah dan hanya kepada

Engakaulah kami mohon pertolongan (Al – Fatihah : 5)”.



“Barang siapa yang mempermudah urusan orang lain, maka Allah SWT

akan mempermudah urusan kita di akhirat”.



Satu langkah lebih berarti dari pada hanya diam.



A llah lebih tahu apa yang terbaik untuk kita.

PERSEMBAHAN

U ntuk Allah SWT yang t elah mengabulkan doaku.

U ntuk kedua Orang tuaku yang selalu memberikan kasih sayang, dukungan dan semangat U ntuk M amas Nurul dan mba lilies yang selama ini memberikan semangat dan dukungan U ntuk Teman-teman M atematika’08 yang menemaniku dalam berjuang menghadapi semua

tantangan dan rintangan

Para pejuang The kontrakan gang imam bonjol (alm.Hari, Aliep, peri, simbah, surip, mbleteng, kang eri, barokokok)

Semua pihak yang telah menginspirasi, memotivasi dan membantuku dalam karya ini U ntuk Almamaterku.

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul “Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan”. Penulisan skripsi ini sebagai syarat mutlak yang harus dipenuhi oleh penulis untuk memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Negeri Semarang.

Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan karena adanya bimbingan, bantuan, dan dukungan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si, Rektor Universitas Negeri Semarang.

2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.

3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.

4. Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc, Pembimbing Utama yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan pengarahan.

5. Drs. Supriyono, M.Si, Pembimbing Pendamping yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan pengarahan.

6. Drs. Moch Chotim, M.S, Dosen Penguji Utama yang telah memberikan inspirasi, kritik, saran, dan motivasi kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi.

7. Bapak dan Ibu serta keluarga tercinta yang senantiasa mendoakan serta memberikan dukungan baik secara moral maupun spiritual.

vi

8. Mas nurul, mba lilies, dan mba lia yang selama ini memberikan dukungan, semangat serta inspirasi untuk penulis.

9. Sahabat-sahabat saya di The Kontrakan (alm.hari, allief, feri, yanuar, surip, candra, eri, dan legenda) yang telah memberikan banyak motivasi, kritik, usulan yang menjadikan terselesaikannya penulisan skripsi ini.

10.Mahasiswa matematika angkatan 2008 yang telah memberikan dorongan dan motivasi.

11.Semua pihak yang telah membantu terselesaikannya penulisan skripsi ini. Penulis sadar dengan apa yang telah disusun dan disampaikan masih banyak kekurangan dan jauh dari sempurna. Untuk itu penulis menerima segala kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Semarang, Maret 2013

vii

ABSTRAK

Anggoro, Ardian . 2013. Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan. Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc. dan Pembimbing Pendamping Drs. Supriyono, M.Si.

Kata kunci: Influenza, model SIRPS, titik kesetimbangan, dan vaksinasi.

Skripsi ini membahas model matematika untuk penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi. Model matematika yang digunakan berupa model SIRPS dengan laju kelahiran diasumsikan sama dengan laju kematian.

Permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini adalah bagaimana menurunkan model SIRPS pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi, bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi, bagaimana simulasi model dan interpretasi perilaku model pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan program Maple 12. Metode yang digunakan untuk menganalisis masalah adalah dengan studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis pemecahan masalah, dan penarikan kesimpulan.

Sebagai hasil penelitian, model yang diperoleh adalah = + − − −( 1− )

= − −

= + (1− ) − − = − −

Dari model tersebut diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Analisis yang dilakukan diperoleh angka rasio reproduksi dasar =

( + ) ( + ) Setelah

dianalisis kestabilan pada titik kesetimbangan, titik kesetimbangan bebas penyakit akan stabil asimtotis untuk < < 1. Sedangkan titik kesetimbangan endemik akan stabil asimtotis untuk R₀1. Selanjutnya, untuk mengilustrasikan model tersebut maka dilakukan simulasi model dengan menggunakan program Maple 12. Untuk nilai 1− < 0.36 maka penyakit masih mewabah atau tidak akan menghilang dan untuk nilai 1− ≥0.36 maka penyakit tidak akan meluas dalam artian minimal ada 36% yang divaksinasi dari seluruh individu yang rentan jika ingi penyakit influenza menghilang.

viii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PENGESAHAN ... ii

PERNYATAAN ... iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... iv

KATA PENGANTAR ... v

ABSTRAK ... vii

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiii

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 5

1.3 Batasan Masalah ... 6

1.4 Tujuan ... 6

1.5 Manfaat ... 6

1.6 Sistematika Penulisan ... 7

BAB 2 LANDASAN TEORI ... 9

2.1 Influenza ... 9

2.2 Pemodelan Matematika ... 11

ix

2.4 Tahapan Pemodelan ... 13

2.5 Persamaan Differensial ... 14

2.6 Persamaan Differensial Linear dan Tak Linear ... 16

2.7 Solusi Persamaan Differensial ... 16

2.8 Titik Kesetimbangan ... 24

2.9 Nilai Eigen dan Vaktor Eigen ... 26

2.10 Kestabilan Titik Tetap ... 28

2.11 Kriteria Routh-Hurwitz ... 28

2.12 Maple ... 29

BAB 3 METODE PENELITIAN ... 31

3.1 Menentukan Masalah ... 31

3.2 Merumuskan Masalah ... 31

3.3 Studi Pustaka ... 32

3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah ... 32

3.5 Penarikan Kesimpulan ... 33

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN ... 34

4.1 Model Matematika untuk Penyebaran Penyakit Influenza... 34

4.5 Pembentukan Model Matematika ... 36

4.3 Titik Kesetimbangan ... 41

4.4 Angka Rasio Reproduksi Dasar ... 45

4.5 Analisis Kestabilan ... 46

x

BAB 5 PENUTUP ... 66

5.1 Simpulan ... 66

5.2 Saran ... 68

DAFTAR PUSTAKA ... 69

xi

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1. Bagan Alur Penyelesaian Masalah ... 14 Gambar 4.1. Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Influenza ... 13 Gambar 2.2. Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan ... 25 Gambar 4.1. Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Influenza dengan

Vaksinasi ... 39 Gambar 4.2. Proporsi individu susceptibles (hitam), infectious (biru),

recovered (merah) dan partial immunity class (hijau) ... 56 Gambar 4.3. Proporsi individu infectious untuk = 1, = 0.9, =

0.8, = 0.7 ... 60 Gambar 4.4. Proporsi individu infectious untuk = 0.6, = 0.5, = 0.4,

xii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1. Daftar Variabel-variabel ... 37

Tabel 4.2. Daftar Parameter-parameter ... 38

Tabel 4.3. Nilai Parameter untuk Simulasi Model ... 56

Tabel 4.4. Nilai Parameter untuk > 1 ... 59

Tabel 4.5. Titik kesetimbangan dan rasio reproduksi dasar untuk = 1, = 0.9, = 0.8, = 0.7 ... 61

Tabel 4.6. Nilai-nilai 1− untuk perubahan kondisi R0 saat = 1 ... 64

Tabel 4.7. Nilai-nilai 1− untuk perubahan kondisi R0 saat = 0.9 ... 64

xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1. Print Out Maple Model Epidemi SIRPS Tanpa Vaksinasi ... 72 Lampiran 2. Print Out Maple Model Epidemi SIRPS denganVaksinasi ... 73

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Perkembangan dan kemajuan dunia modern saat ini tidak bisa dipisahkan dari matematika. Hampir seluruh aktivitas manusia berkaitan dengan matematika. Matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa medis dan ilmu pengetahuan sosial seperti ekonomi dan psikologi. Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari nampak pada pengembangan aplikasi matematika pada seluruh aspek kehidupan manusia. Selain itu, matematika terapan berperan sebagai ilmu pengetahuan pembantu yang sangat penting bagi ilmu pengetahuan lainnya, terutama bagi ilmu pengetahuan sosial dan ekonomi.

Peran matematika pada masalah kehidupan sehari-hari maupun pada ilmu-ilmu lain disajikan dalam pemodelan matematika. Representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika dikenal sebagai model matematika. Model matematika digunakan dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi yang berbeda (Widowati dan Sutimin, 2007:1).

Salah satu cabang dari ilmu matematika modern yang penting dan mempunyai cakupan wilayah penelitian yang luas adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan cabang dari matematika yang cukup strategis karena berkaitan dengan bagian-bagian sentral dalam Analisis, Aljabar, Geometris

dan lainnya yang akan sangat berperan dalam pengenalan konsep maupun pemecahan masalah yang berkaitan dengan dunia nyata. Kebanyakan masalah-masalah yang muncul di dalam persamaan diferensial adalah bagaimana menemukan solusi eksak (analitik) dari model-model matematika yang diperoleh dari masalah nyata (Waluya, 2006:1). Persaamaan diferensial seringkali muncul dalam model-model matematik yang menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa dapat diterjemahkan ke dalam persamaan yang mengandung turunan melalui bahasa matematik.

Salah satu masalah yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial yaitu penyebaran penyakit Influenza. Influenza merupakan suatu penyakit infeksi saluran pernapasan.Influenza lebih dikenal dengan sebutan flu, yang disebabkan oleh virus RNA dari famili Orthomyxoviridae (virus influenza), yang menyerang unggas dan mamalia. Gejala yang paling umum dari penyakit ini adalah menggigil, demam, nyeri tenggorokan, nyeri otot, sakit kepala, batuk, dan rasa tidak nyaman.

Dalam Casagrandi dkk (2006) disebutkan bahwa virus yang menyebabkan epidemi flu dapat dibedakan dalam tiga tipe berbeda yaitu tipe A, B, dan C. Virus tipe A secara epidemiologi sangat berpengaruh terhadap kehidupan manusia karena dapat menggabungkan gen-gennya dengan strain-strain virus yang beredar di populasi binatang seperti burung, babi, dan kuda. Contoh epidemi flu yang disebabkan oleh virus tipe A adalah epidemi flu burung dan epidemi flu babi. Virus tipe A mempunyai kemampuan untuk bermutasi atau menghasilkan strain-strain baru sehingga manusia yang sudah sembuh dari epidemi flu mempunyai kemungkinan untuk tertular lagi.

3

Salah satu usaha yang dilakukan untuk menanggulangi wabah ini adalah dengan melakukan vaksinasi. Vaksinasi dilakukan terhadap orang yang belum terkena influenza. Dalam Carman dkk (2000) disebutkan bahwa vaksinasi memberikan konstribusi besar dalam penurunan jumlah pasien flu. Dalam Govaert dkk (1994) disebutkan bahwa ada penurunan pasien flu pada orang dewasa setelah dilakukan vaksinasi. Kwong dkk (2009) menyatakan bahwa vaksinasi mempunyai potensi yang lebih tinggi dalam mengurangi jumlah penderita flu dibandingkan dengan penggunaan antibiotik. Potter dkk (1997) juga menyatakan bahwa vaksinasi direkomendasikan sebagai salah satu strategi untuk mencegah wabah influenza pada orang usia lanjut dalam jangka waktu yang panjang. Dalam Bridges dkk (2000) dinyatakan bahwa vaksinasi pada orang usia produktif (< 65 tahun) dapat mengurangi tingkat penularan influenza (jumlah penderita flu). Dalam Nichol dkk (2003) disebutkan bahwa pada orang tua, vaksinasi terhadap influenza dikaitkan dengan penurunan risiko rawat inap untuk penyakit jantung, penyakit serebrovaskular, dan pneumonia atau influenza serta resiko kematian dari semua penyebab selama musim influenza. Temuan ini menyoroti manfaat dari upaya vaksinasi dan dukungan untuk meningkatkan tingkat vaksinasi di kalangan orang tua.

Model matematika digunakan untuk mempelajari tingkah laku epidemi terkait bilamanakah epidemi tersebut mewabah atau meluas dan bilamanakah epidemi tersebut hilang. Model matematika juga digunakan untuk memprediksi apakah suatu epidemi yang terjadi meluas atau hilang untuk beberapa waktu ke depan. Hasil yang diperoleh dari model tersebut dapat digunakan sebagai bahan

pertimbangan dalam pengambilan keputusan oleh pihak-pihak yang berkepentingan.

Pembentukan model epidemi SIRPS didasari oleh adanya penyakit menular dengan adanya virus baru yg masuk yang kebal terhadap vaksinasi. Misal, populasi yang diberikan dibagi ke dalam empat kelas, yakni kelas populasi rentan (susceptibles), kelas populasi terinfeksi (infectious), kelas individu yang tidak kebal terhadap virus baru (partial immunity class), dan kelas populasi kebal penyakit (recovered). Dengan N(t) merupakan populasi fungsi terhadap waktu (t), atau dapat ditulis:

N(t) = S(t) + I(t) + R(t) + P(t)

Pada populasi, penyebaran penyakit menular model dinamik SIRPS (Susceptible > Infected > Recovered > Partial Immunity class > Susceptible). Model SIRPS ini menggambarkan bahwa individu yang rentan terserang penyakit menjadi individu yang terinfeksi penyakit, kemudian sembuh dengan kekebalan sementara terhadap penyakit tersebut ,setelah itu ada virus baru yang masuk dan kebal terhadap vaksin, karena kekebalan tersebut menghilang, mengakibatkan individu yang rentan terserang penyakit tersebut kembali terinfeksi penyakit yang sama.

Keberadaan suatu alat bantu untuk mempermudah menentukan solusi atau penyelesaian suatu persamaan diferensial secara cepat dan tepat sangat diperlukan. Dewasa ini perkembangan teknologi komputer dan perangkat lunaknya dirasakan sangat pesat khususnya di bidang pendidikan. Salah satu kegunaannya adalah sebagai alat bantu dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan

5

matematika. Salah satunya perangkat lunak (hardware) berbasis matematika yang dikembangkan untuk kepentingan sistem komputer aljabar adalah Maple. Maple banyak digunakan oleh para ilmuwan untuk membantu menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika, karena merupakan perangkat lunak yang lengakap dan komunikatif. Persoalan yang dapat diselesaikan dengan Maple merupakan persoalan matematika murni, seperti aljabar, geometri, statistika, dan persamaan diferensial.

Berdasarkan latar belakang di atas, pada skripsi ini penulis mengangkat judul “Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populasi Konstan”.

1.2

Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa permasalahan sebagai berikut :

(1)Bagaimana model matematika SIRPS pada penyakit influensza dengan vaksinasi pada populasi konstan ?

(2)Bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan ? (3)Bagaimana simulasi model dan interpretasi perilaku model pada

penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan program Maple?

1.3

Batasan Masalah

Pada penulisan ini, permasalahan dibatasi dengan laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan laju kematian, Jumlah populasi diasumsikan selalu konstan, analisa kestabilan terhadap endemik dilakukan saat = 0 artinya diasumsikan masa wabah lebih pendek dari masa kehilangan kekebalan, dan program yang digunakan software maple 12.

1.4

Tujuan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai beikut.

(1) Menentukan model matematika SIRPS pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasipada populasi konstan.

(2) Mengetahui titik kesetimbangan dan analisis kestabilan penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasipada populasi konstan.

(3) Mengatahui simulasi model penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan maple 12.

(4) Mengetahui proporsi vaksinasi minimum penyakit influenza.

1.5

Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penyusunan skripsi ini adalah sebagai berikut. (1) Bagi Peneliti

Peneliti dapat mengetahui pemodelan matematika SIRPS penyakit influenza dengan vaksinasipada populasi konstan.

7

(2) Bagi pihak lain

Dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangsih kepada mahasiswa untuk melakukan penelitian selanjutnya.

1.6

Sistematika Penyusunan Skripsi

Penulisan skripsi disusun dalam tiga bagian utama, yaitu bagian awal, bagian inti, dan bagian akhir skripsi.

1.6.1.Bagian Awal Skripsi

Bagian awal skripsi terdiri dari halaman sampul, halaman judul, halaman pernyataan, pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, abstrak, daftar isi, daftar gambar,daftar tabel, dan daftar lampiran.

1.6.2.Bagian Inti Skripsi

Bagian inti skripsi dibagi menjadi lima bab yaitu: BAB 1: PENDAHULUAN

Bab ini memuat gambaran singkat tentang isi skripsi dan membahas tentang latar belakang, permasalahan, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaatpenelitian, dan sistematika penulisan skripsi.

BAB II: TINJAUAN PUSTAKA

Tinjauan pustaka berisi mengenai teori-teori yang mendukung dan berkaitan dengan pembahasan skripsi sehingga dapat membantu penulis maupun pembaca dalam memahami isi skripsi. Bab ini terdiri dari pengertian penyakit influenza,

persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, vektor eigen dan nilai eigen, dan Kriteria Routh-Hurwitz.

BAB III: METODE PENELITIAN

Metode penelitian berisi tentang proses atau langkah penulisan. Bab ini meliputi menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis pemecahan masalah, dan penarikan simpulan.

BAB IV :HASIL DAN PEMBAHASAN

Padabab ini berisi permodelan penyebaran penyakit influenza pada populasi konstan, analisa model yang meliputi titik setimbang, angka rasio reproduksi dasar, analisa kastabilan, simulasi model dengan menggunkan Maple.

BAB V: PENUTUP

Bab ini berisi tentang simpulan dan saran yang diperoleh dari pembahasan.

1.6.3.Bagian Akhir Skripsi

Bagian akhir skripsi berisi daftar pustaka sebagai acuan untuk memberikan informasi tentang buku dan literatur lain yang digunakan dalam penulisan skripsi serta lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.

9

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1

Influenza

Influenza merupakan suatu penyakit infeksi saluran pernapasan.Influenza lebih dikenal dengan sebutan flu, yang disebabkan oleh virus RNA dari famili Orthomyxoviridae (virus influenza), yang menyerang unggas dan mamalia. Pada tahun 412 SM, penyakit influenza telah tercatat sebanyak 31 kali menjadi pandemi (wabah dunia). Khususnya pada abad yang lalu berlangsung pada tahun 1918, 1957, dan 1968. Meskipun penyakit flu ini kelihatannya ringan namun jumlah mereka yang meninggal pada waktu pandemi bisa mencapai ratusan ribu orang. Sebagai ilustrasi, sewaktu terjadi pandemik influenza pada tahun 1918, banyaknya orang yang meninggal karena flu lebih banyak dari banyak kematian pada Perang Dunia I. Pada tahun nonpandemik, kematian karena flu bisa mencapai 10.000 hingga 40.000 orang per tahun, banyaknya itu meningkat hingga lebih dari 100.000 orang pada tahun pandemik (Tapan, 2004:1).

Pada tahun 2009 merebak epidemi flu burung kemudian diikuti epidemi flu babi. Epidemi flu tersebut menyebabkan beberapa kasus kematian dan banyak manusia yang masuk ke rumah sakit lihat Jansen dkk (2007) dan Yang dkk (2009). Epidemi flu burung disebabkan oleh strain (turunan) virus H5N1 dan epidemi flu babi disebabkan oleh strain virus H1N1. Gejala yang ditimbulkan mirip dengan flu musiman yang disebabkan oleh strain virus H3N2.

2.1.1 Penularan dan gejala influenza

Shedding virus influenza (waktu di mana seseorang dapat menularkan virus pada orang lain) dimulai satu hari sebelum gejala muncul dan virus akan dilepaskan selama antara 5 sampai 7 hari, walaupun sebagian orang mungkin melepaskan virus selama periode yang lebih lama. Orang yang tertular influenza paling infektif pada hari kedua dan ketiga setelah infeksi. Jumlah virus yang dilepaskan nampaknya berhubungan dengan demam, jumlah virus yang dilepaskan lebih besar saat temperaturnya lebih tinggi. Anak-anak jauh lebih infeksius dibandingkan orang dewasa dan mereka melepaskan virus sebelum mereka mengalami gejala hingga dua minggu setelah infeksi.

influenza dapat disebarkan dalam tiga cara utama yaitu melalui penularan langsung (saat orang yang terinfeksi bersin, terdapat lendir hidung yang masuk secara langsung pada mata, hidung, dan mulut dari orang lain); melalui udara (saat seseorang menghirup aerosol (butiran cairan kecil dalam udara) yang dihasilkan saat orang yang terinfeksi batuk, bersin, atau meludah), dan melalui penularan tangan-ke-mata, tangan-ke-hidung, atau tangan-ke-mulut, baik dari permukaan yang terkontaminasi atau dari kontak personal langsung seperti bersalaman.

11

2.2

Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk mempresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia real dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari dunia real ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai model matematika. Kontruksi, analisis dan penggunaan model matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting.

Model matematika digunakan dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi yang berbeda. Kita dapat mencari aplikasi model matematika di bidang-bidang seperti fisika, ilmu biologi dan kedokteran, teknik, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, juga problem-problem jaringan komputer. Bidang dan tipe aplikasi yang berbeda menghendaki bidang-bidang matematika yang berbeda (Widowati dan Sutimin, 2007:1).

2.3

Pendekatan pada Pemodelan Matematika

Perlu diketahui bahwa terdapat perbedaan pendekatan pemodelan matematika dalam memformulasikan model matematika. Terdapat beberapa jenis-jenis model matematika yang meliputi model empiris, model simulasi, model stokastik dan deterministik.

a. Model Empiris

Pada model empiris, data yang berhubungan dengan problem menentukan peran yang penting. Dalam pendekatan ini, gagasan yang utama adalah mengkonstruksi formula (persamaan) matematika yang dapat menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokan data.

b. Model Simulasi

Dalam pendekatan ini program komputer dituliskan didasarkan aturan-aturan. Aturan-aturan ini dipercaya untuk membentuk bagaimana suatu proses atau fenomena akan berjalan terhadap waktu dalam kehidupan nyata. Program komputer ini dijalankan terhadap waktu sehingga implikasi interaksi dari berbagai variabel dan komponen yang dikaji dan diuji. c. Model Deterministik dan Stokastik

Model deterministik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk merepresentasikan hubungan antara berbagai komponen (variabel) suatu sistem atau problem. Misalnya persamaan differensial biasa yang menjelaskan bagaimana suatu kuantitas (yang dinyatakan oleh variabel tak bebas dari persamaan) dan waktu sebagai variabel bebas. Diberikan syarat awal yang sesuai, persamaan differensial dapat diselesaikan untuk memprediksi perilaku sistem model.

Dalam model deterministik, variasi random diabaikan. Dengan kata lain persamaan ini digunakan untuk menyatakan problem dunia nyata yang diformulasikan berdasarkan pada hubungan dasar faktor-faktor yang terlibat dalam problem ini (Widowati dan Sutimin, 2007:1-2).

13

2.4

Tahapan Pemodelan

Tahapan mencari solusi permasalahan kehidupan sehari-hari maupun pada ilmu-ilmu lain dengan menggunakan bantuan matematika diberikan sebagai berikut.

1. Pemodelan matematika untuk menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari diawali dengan mengenali masalah tersebut terlebih dahulu yaitu melalui beberapa langkah yaitu identifikasi masalah, lambang, satuan dan variabel atau konstanta serta menentukan besaran yang terlibat, selain itu dalam proses penterjemahan masalah selalu terdapat hukum yang mengendalikan.

2. Menentukan variabel atau konstanta yang penting dan merinci keterkaitan antara variabel atau konstanta tersebut sehingga dapat disusun model matematika. Model matematika yang terbentuk harus bebas satuan.

3. Dengan memanfaatkan teori-teori dalam matematika dapat diperoleh solusi model.

4. Dengan menginterpretasikan solusi model ditentukan solusi masalah. Pada proses ini satuan muncul kembali (Nagle, 1993:3).

Uraian diatas dapat dilihat pada Gambar 1.

 Identifikasi besaran yang terlibat

 Pemberian lambang

 Penentuan satuan

 Variabel atau Konstanta

Menterjemahkan

Teori Matematika

Interpretasi

Gambar 2.1. Bagan alur penyelesaian masalah

2.5

Persamaan Differensial

Banyak masalah yang sangat penting dalam mesin, ilmu fisika, ilmu sosial dan yang lainnya, ketika memformulakan dalam bentuk matematika mensyaratkan fungsi yang memenuhi persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan diferensial. Persamaan diferensial diperoleh berdasarkan pemodelan matematika dari permasalahan yang ada di dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh penerapan matematika pada ilmu fisika. Persamaan diferensial dari hukum Newton II yang timbul karena gejala alam, bahwa massa kali percepatan

HUKUM YANG MENGENDALIKAN

MODEL MATEMATIKA MASALAH

SOLUSI MASALAH

SOLUSI MODEL PEMODELAN MATEMATIKA

15

dari suatu benda sama dengan gaya luar yang bekerja pada benda itu. Dituliskan dalam = . . Jika ( ) menyatakan posisi partikel bermassa pada waktu dan dengan gaya , selanjutnya maka didapatkan

= , , ( 2.1)

Dimana gaya mungkin merupakan fungsi dari , , dan ke cepatan

.

Jadi persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang tergantung pada satu atau lebih variabel bebas. Beberapa contoh dari persamaan diferensial:

1. + 6 + 2 = 0, 2. ” + 2 −6 = 0 3. + = 0, dan 4. + + = 0.

Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat yang tergantung pada variabel bebas tunggal disebut persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan diferensial yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang tergantung pada variabel bebas tidak tunggal adalah persamaan diferensial parsial. Contoh 1 dan 2 adalah persamaan diferensial biasa, sedangkan contoh 3 dan 4 merupakan persamaan diferensial parsial.

Order dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. Contoh 1 merupakan persamaan

diferensial order dua, karena ” adalah pangkat terbesar/tertinggi yang muncul pada persamaan. (Waluya, 2006:3).

2.6

Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear

Persamaan diferensial biasa , , , …, ( ) = 0 dikatakan linear jika dalam variabel-variabel , , …, ( ). Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian (diferensial parsial). Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear order diberikan dengan

( ) ( ) _{+ ( )} ( ) _{+ ⋯+ ( )} ( ) _{= ( ) (2.2)}

Per samaan yang tidak dalam bentuk persamaan (2.1) merupakan persamaan tak linear (Waluya, 2006:6).

Contoh:

1) + 3 + = 0 ; mer upakan per samaan diferensial l inear ,

2) ( 1 + ) + + 2 = ; mer upakan per samaan difer ensial tak linear , karena suk ( 1 + ) da 2 .

2.7

Solusi Persamaan Diferensial

Perhatikan persamaan diferensial biasa orde n berikut.

∅ ( ) = ,∅( ) ,∅( ) ,…,∅( )_{( ) (2.3)}

Sebuah solusi dari persamaan (2.3) pada interval terbuka < < adalah sebuah fungsi ∅ sedemikian sehingga ∅( ) ,∅( ) ,…,∅( )_{( ) ada dan memenuhi}

persamaan (2.3) untuk setiap t dalam < < . Asumsikan bahwa fungsi f untuk persamaan (2.3) adalah fungsi bernilai riil dan tertarik untuk mendapatkan solusi-solusi yang bernilai riil = ∅( ) (Waluya, 2006:5).

17

Solusi pada persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu solusi umum dan solusi khusus. Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah solusi yang mengandung sembarang konstan, sedangkan solusi khusus suatu persamaan diferensial adalah solusi yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstan yang terdapat pada solusi umum.

Berikut merupakan solusi persamaan diferensial linear baik order satu mauupun order dua:

(1) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Satu

Suatu fungsi y y(x) dinyatakan solusi persamaan diferensial 0

) , ,

(x y y 

F apabila y  y(x) atau turunannya yakni y memenuhi persamaan diferensial tersebut.

Contoh:

= + 1 adalah solusi persamaan diferensial = 2

Demikian pula yx2cuntuk c adalah konstanta, merupakan solusi persamaan diferensial y2x. Solusi yx2 1 disebut solusi khusus dan

c x

y 2 disebut solusi umum.

(2) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua

(a) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen Perhatikan persamaan diferensial yang berbentuk

0

   

 py qy

y , (2.4)

dimana p dan q konstanta-konstanta. Misalkan yemxmerupakan solusi persamaan diferensial (2.4) dengan m memenuhi persamaan tersebut.

Untuk itu akan dicari m agar yemx _{merupakan solusi persamaan} diferensial (2.4). Dari yemx diperoleh ymemx dan ym2emx sehingga jika y,y,y disubstitusikan ke persamaan (2.4) didapat persamaan 2 mx  mx mx 0.

qe mpe e

m

Dengan demikian yemx dikatakan suatu solusi dari persamaan diferensial (2.4), jika m merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat

0

2   

q pm

m . Dan karena mx 0

e , untuk setiap m dan x, maka

0

2  

q pm

m (2.5)

Persamaan 2  0 q pm

m disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial (2.4) dan akar-akarnya disebut akar-akar karakteristik. Akar-akarnya adalah

a ac b b m 2 4 2 1   

 dan

a ac b b m 2 4 2 2   

 (2.6)

Dengan a = 1, b = p, c = q.

Dari perhitungan di atas jelas bahwa y em1x

1  dan

x m e

y 2

2  merupakan solusi dari persamaan diferensial y pyqy 0.

Karena a dan b merupakan bilangan real, maka akar-akar dari persamaan karakteristik 2  0

q pm

m terbagi dalam 3 kasus, yaitu: dua akar berbeda, dua akar sama, dan dua akar kompleks.

i. Akar real berlainan

Bila m1 dan m2 dua akar real berbeda maka em1xdan em2xadalah

solusi yang bebas linear sehingga yAem1xBem2x_{merupakan solusi} umum persamaan diferensial (2.3).

19

ii. Kedua akar sama

Misalkan kedua akar persamaan 2   0 q pm

m sama, yakni

m1=m2=a maka solusi umum persamaan diferensial ypyqy0

adalah yAeaxBxeax. iii.Akar kompleks

Misalkan salah satu akar persamaan m2 pmq0adalah

   

1

m i, maka akar yang lain yakni m₂  i, sehingga solusi

umum persamaan diferensial tersebut adalah



Acos x Bsin x} e

y x







.

(Rahadian, 2008). (b) Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen

Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan solusi persamaan diferensial linear order tak homogen. Antara lain Metode Koefisien Tak Tentu, Metode Variasi Parameter, dan Operator D .

Sebuah solusi Y dari persamaan linear tak homogen orde ke-n dengan koefisien konstan dapat diperoleh dengan metode koefisien tak tentu (tebakan) bila ( ) dalam bentuk tertentu.

Perhatikan persamaan tak homogen berikut ini: " + ( ) ′ + ( ) = ( ) (2.7)

dimana ( ), ( ) dan ( ) adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval I.

Teorema 1

Solusi umum persamaan tak homogen dapat dinyatakan sebagai = Ø( ) = + + ( ) ,

dimana dan adalah basis dari persamaan homogen, c1dan c2 adalah

konstanta-konstanta, dan ( ) adalah penyelesaian khusus dari persamaan tak homogen (Waluya, 2006:77).

Teorema ini memberikan langkah-langkah membangun solusi persamaan tak homogen adalah sebagai berikut:

(1) Temukan solusi umum persamaan homogennya, (2) Temukan sebuah solusi untuk persamaan tak homogen, (3) Jumlahkan keduanya, dan

(4) Temukan c1dan c2 dari kondisi-kondisi awalnya.

Jika fungsi tebakan merupakan salah satu dari solusi homogennya, maka fungsi tebakan yang dipilih tak pernah membangun sebuah suku yang memenuhi ruas kanan tak homogen g(t) sehingga fungsi tebakannya harus dikalikan dengan t.

Ada beberapa urutan yang relatif mudah untuk menemukan solusi khusus dengan metode koefisien tak tentu, yaitu sebagai berikut:

(1) ( ) polinom berderajat n

Solusi partikulir yp diandaikan sebagai berikut:

a. = + + + ⋯+ apabila = 0 bukan akar

bukan akar karakteristik untuk PD homogen (2.7), yaitu = 0 bukan akar persamaan + + = 0.

21

b. = ( + + + ⋯+ ), apabila = 0 akar

berkelipatan k, = 1,2 untuk persamaan + + = 0. Koefisien-koefisien . , , , …, akan ditentukan kemudian setelah disubstitusikan pada PD (2.7).

Contoh:

Tentukan solusi umum PD + 3 + 2 = + 5. Penyelesaian:

PD homogen + 3 + 2 = 0.

Persamaan karakteristik + 3 + 2 = 0 maka akar-akar karakteristik adalah m1 = -1 dan m2 = -2. Jadi solusi = +

. Solusi diandaikan = + + . Karena = 0 bukan akar dari persamaan + 3 + 2 = 0.

Dengan menurunkan , maka diperoleh: = +

= 2

Substitusikan pada PD + 3 + 2 = + 5 maka diperoleh 2 + 3( + 2 ) + 2( + + ) = + 5

2 + ( 2 + 6 ) + ( 2 + 3 + 2 ) = + 5

2 = 1 ⟺ = 1 2

2 + 6 = 0⟺2 = −3⟺ = −3 2 2 + 3 + 2 = 5⟺2 = 5−1 + 9

2 ⟺ = 17

Jadi = 17

2 − 3 2 +

1 2 Jadi = +

= 17 2 −

3 2 +

1

2 + + .

(2) ( ) berbentuk ( ) = ( + + ⋯+ ) , α real Misal ( ) = ( + 1) ; ( ) = ( 2 + 2 ) .

Untuk kasus ini, solusi partikulir yp diandaikan sebagai berikut:

a. = ( + + + ⋯+ ) apabila α bukan akar

persamaan + + = 0.

b. = ( + + + ⋯+ ) apabila α akar

berkelipatan k, = 1,2 untuk persamaan + + = 0. Koefisien-koefisien . , , , …, akan ditentukan kemudian setelah disubstitusikan pada PD (2.7).

Contoh:

Tentukan solusi umum PD + −6 = ( + 3) PD homogennya + −6 = 0

Persamaan karakteristik + −6 = 0 maka akar-akar karakteristik adalah m1 = 2 dan m2 = -3. Jadi solusi = +

. Karena = 1 bukan akar dari persamaan + 3 + 2 = 0, maka Solusi diandaikan = ( + ) .

Dengan menurunkan , maka diperoleh:

23

= ( + + ) = ( + + 2 ) Substitusikan pada PD + −6 = ( + 3) , diperoleh: ( + + 2 ) + ( + + ) −6( + ) = ( + 3)

(−4 −4 + 3 ) = ( + 3)

−4 −4 + 3 = + 3

−4 = ⇔ = −1

4

−4 + 3 ⇔ = ( 3 −3) ⇔ = − .

Jadi = ( + ) .

= −15 6 −

1 4

jadi jadi solusi umum = + .

⇔ = − − + + .

(3) ( ) berbentuk ( ) = ( + + ⋯+ ) cos atau

( ) = ( + + ⋯+ ) sin atau ( ) = { ( ) cos( ) + ( ) sin ( ) } atau ( ) = { ( ) cos( ) + ( ) sin ( ) } dimana ( ) ( ) masing-masing polinom berderajat n dan m dengan ≤ .

Untuk kasus ini solusi partikulir yp yang diandaikan.

a. = {( + + + ⋯+ ) cos + ( + +

⋯+ ) sin } apabila + bukan akar kompleks

b. = {( + + + ⋯+ ) cos + ( + +

⋯+ ) sin } apabila + akar kompleks persamaan + + = 0.

Koefisien-koefisien . , , …, , , , …, , akan ditentukan kemudian setelah disubstitusikan pada PD (2.7).

(Supriyono,2011:55)

2.8

Titik Kesetimbangan (Ekuilibrium)

Definisi 1.

Titik ∈ disebut titik ekuilibrium = ̇ ( )jika ( ) = 0 .

(Perko, 1991).

Definisi 2.

Titik ekuilibrium ∈ sistem ̇ = ̇ ( ) dikatakan

(1) Stabil lokal jika untuk setiap > 0 terdapat > 0sedemikian hingga untuk setiap solusi x(t) yang memenuhi‖ ( ) − ̅‖< berlaku

‖ ( ) − ̅‖< untuk setiap ≥ .

(2) Stabil asimtotik lokal jika titik ekuilibrium ̅ ∈ stabil dan terdapat > 0 sedemikian hingga untuk setiap solusi ( ) yang memenuhi‖ ( ) − ̅‖< berlaku lim _→∞ ( ) = ̅.

(3) Tidak stabil jika titik ekuilibrium ̅ ∈ tidak memenuhi 1.

25

Definisi 3.

Jika ⊆ himpunan terbuka ∈ ( ) , = 1,2,…, ,dan ∈ maka terdapat > 0 sehingga masalah nilai awal ̇ = ̇ ( ) dengan ( 0) = mempunyai penyelesaian tunggal ( )pada interval [− , ] (Perko, 1991).

Dibawah ini diberikan definisi dari sistem linear dan non linear. Diberikan sistem ̇ = ̇ ( ), dengan ⊆ dan : → fungsi kontinu pada . Sistem ̇ = ̇ ( ) dikatakan linear jika , , . . . , masing-masing linear terhadap , , …, Jadi sistem ̇ = ̇ ( ) dapat ditulis dalam bentuk

n nn n n n n n n n

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

























...

...

...

2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1









(2.6)

Dengan = , ( )kontinu pada ≤ ≤ , , ∈ , = 1,2, …, dan = 1,2, …, Selanjutnya sistem ̇ = ̇ ( ) dapat dinyatakan dalam bentuk

̇ =̇ dengan ∈ dan A matriks berukuran ×

Diberikan sistem ̇ = ̇ ( ) dengan ⊆ dan : → fungsi kontinu pada . Sistem ̇ = ̇ ( ) dikatakan non linear jika terdapat sedemikian hingga tidak linear.Perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium sistem nonlinear ̇ = ( ) dapat ditentukan melalui linearisasi di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut.

Definisi 4.

Diberikan fungsi = ( , …, )pada sistem ̇ = ( ) dengan ∈ ( ) , = 1,2, …, . Matriks

                                   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f J n n n n n n             (2.7)

dinamakan matriks Jacobian dari di titik ̅ (Kocak, 1991).

Definisi 5.

Sistem linear = ( ̅) (̇ − ̅) disebut linearisasi sistem ̇ = ( ) di sekitar titik .(Perko, 1991).

2.9

Nilai eigen dan Vektor eigen

Kata “eigen” berasal dari bahasa jerman dan inggris.Dalam bahasa Jerman “eigen” yang berarti sebenarnya atau karakteristik. Oleh karena itu, nilai eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik, dalam literature lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent.

Definisi 6.

Jika adalah matriks x , maka vektor tak nol di dalam dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari jika adalah kelipatan skalar dari yakni,

27

Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . (Anton, 1992: 277).

Nilai eigen mempunyai tafsiran geometric yang bermanfaat dalam 2dan 3. Jika adalah nilai eigen dari yang bersesuaian dengan , maka = , sehingga perkalian oleh akan memperbesar , atau membalik arah , yang bergantung pada nilai , sedangkan untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran

x dapat dilakukan dengan cara menuliskan kembali = sebagai

= (2.8)

Karena suatu matriks identitas jadi = memiliki nilai yang sama dengan = . Atau secara ekivalen ditulis

( − ) = 0 (2.9)

Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Persamaan (17) akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika

( − ) = 0 (2.10) Ini dinamakan persamaan karakteristik ; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari . Bila diperluas, maka det( − ) adalah polinom yang dinamakan polinom karakteristik dari . Jika adalah matriks x , maka polinom karakteristik harus memnuhi dan koefisien adalah 1. Berikut bentuk polinom karakteristik dari matriks x

( − ) = + + ⋯+ (2.11)

2.10

Kestabilan Titik Tetap

Teorema 1

Diberikan matriks Jacobian ( ̅) dari Sistem nonlinear ̇ = ( ) dengan nilai eigen .

(1) Stabil asimtotik lokal, jika semua nilai eigen dari matriks ( ̅) bernilai negatif.

(2) Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks ( ̅) bernilai positif.

(Olsder, 1994)

2.11

Kriteria Routh-

Hurwitz

Kriteria Routh-Hurwitz ini digunakan ketika nilai eigen persamaan karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Jika diberikan persamaan karakteristik ( ) = + + ⋯+ = 0 maka didefinisikan matriks sebagai berikut:

 

0 , ,

0 1 0 0 0 1 , 1 , 4 2 3 2 2 2 1 2 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1                                       

 j j j j

j j a a a a a a a a a a a a a H a a a H a H                  k k a a a a a a a a a H           0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 1 (2.12)

29

=

, 0 < 2 − ≤ 1 , 2 = 0 , 2 < 2 > +

Dengan demikian, titik tetap ̅ stabil jika dan hanya jika det > 0 untuk setiap = 1,2, …, . Untuk = 3 dan = 4 kriteria Routh-Hurwitz diberikan berikut ini.

= 3; > 0, > 0, > 0, . − > 0,

= 4; > 0, > 0, > 0, . − > 0 ( . − ) − . > 0 (Edelstein-Keshet, 1988)

2.12

Maple

Maple merupakan salah satu perangkat lunak (software) yang dikembangkan oleh Waterloo Inc. Kanada. Maple sering digunakan untuk keperluan ComputerAlgebraic System (CAS). Menu-menu yang terdapat pada tampilan program Maple ini terdiri dari menu File, Edit, View, Insert,Format, Spreadsheet, Option, Window, dan Help. Sebagian besar menu-menu di atas merupakan menu standar yang dikembangkan untuk program aplikasi pada system operasi Windows.

Maple sering digunakan untuk keperluan penyelesaian permasalahan persamaan diferensial dan visualisasinya, karena Maple memiliki kemampuan menyederhanakan persamaan, hingga suatu solusi persamaan diferensial dapat dipahami dengan baik. Keunggulan lain dari Maple untuk aplikasi persamaan diferensial adalah kemampuan melakukan animasi grafik dari suatu fenomena gerakan yang dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang memiliki nilai awal dan syarat batas (Kartono, 2001).

Pernyataan yang sering digunakan untuk keperluan menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial antara lain: diff digunakan untuk mendiferensialkan (menurunkan) suatu fungsi, dsolve digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, evalf memberikan nilai numeric dari suatu persamaan, dan simplify digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan. Namun tentu saja pernyataan-pernyataan awal seperti restart dan deklarasi variabel/konstanta yang diperlukan tidak boleh diabaikan. Untuk membuat grafik pada Maple digunakan perintah plot, plot2d,plot3d, tergantung dimensi dari pernyataan yang dimiliki. Untuk membuat gerakan animasi digunakan perintah animate3d (Kartono, 2001).

Bahasa yang digunakan pada Maple merupakan bahasa pemrograman yang sekaligus sebagai bahasa aplikasi, sebab pernyataan atau statement yang merupakan input pada Maple berupa deklarasi pada bahasa program dan perintah (command) yang sering digunakan pada bahasa aplikasi.

31

BAB 3

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini metode yang penulis gunakan adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.

3.1

Menentukan Masalah

Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan yang akan dikaji. Dalam hal ini penulis mengambil materi tentang pemodelan SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi.

3.2

Perumusan Masalah

Masalah yang ditemukan kemudian dirumuskan kedalam pertanyaan yang harus diselesaikan yaitu sebagai berikut.

(1) Bagaimana model matematika SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan?

(2) Bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan? (3) Bagaimana simulasi model matematika SIRPS pada penyakit influenza

dengan vaksinasimenggunakan program Maple? (4) Bagaimana menentukan proporsi vaksinasi minimum?

Perumusan masalah di atas mengacu pada beberapa pustaka yang ada. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan teoritik maka dapat ditemukan jawaban permasalahan sehingga tercapai tujuan penulisan skripsi.

3.3

Studi Pustaka

Dalam langkah ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulkan data atau informasi yang berkaitan dengan masalah, mengumpulkan konsep pendukung yang diperlukan dalam menyelesaikan masalah, sehingga didapatkan suatu ide mengenai bahan dasar pengembangan upaya pemecahan masalah.

3.4

Analisis dan Pemecahan Masalah

Dari berbagai sumber pustaka yang sudah menjadi bahankajian, diperoleh suatu pemecahan masalah di atas. Selanjutnya dilakukanlangkah-langkah pemecahan masalah sebagai berikut.

(1) Menentukan model matematika SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan.

(2) Menentukantitik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan.

(3) Mengatahui bagaimana simulasi pemodelan SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan.

33

3.5

Penarikan Kesimpulan

Langkah terakhir dalam metode penelitian adalah penarikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil langkah pemecahan masalah.

34

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1

Model Matematika untuk Penyebaran Penyakit Influenza

Model yang akan dibahas pada bab ini adalah model SIRPS (Susceptibles, Infectious, Recovered, Partial Immunity Class, Susceptibles) pada penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi, dengan memperhatikan fakta-fakta dan asumsi-asumsi.

4.1.1 Fakta-fakta dan Asumsi

Fakta-fakta yang diperoleh dari berbagai sumber tentang penyakit influenza diberikan sebagai berikut:

1. Virus yang menyebabkan epidemi flu dapat dibedakan dalam tiga tipe berbeda yaitu tipe A, B, dan C. (Casagrandi dkk, 2006)

2. Vaksinasi memberikan konstribusi besar dalam penurunan jumlah pasien flu. (Carman dkk, 2000)

3. Terjadi penurunan pasien flu pada orang dewasa setelah dilakukan vaksinasi. (Govaert dkk, 1994)

4. vaksinasi mempunyai potensi yang lebih tinggi dalam mengurangi jumlah penderita flu dibandingkan dengan penggunaan antibiotik. (Kwong dkk, 2009)

35

5. vaksinasi direkomendasikan sebagai salah satu strategi untuk mencegah wabah influenza pada orang usia lanjut dalam jangka waktu yang panjang. (Potter dkk, 1997)

6. vaksinasi pada orang usia produktif (< 65 tahun) dapat mengurangi tingkat penularan influenza (jumlah penderita flu). (Bridges dkk, 2000) 7. Pada orang tua, vaksinasi terhadap influenza dikaitkan dengan

penurunan risiko rawat inap untuk penyakit jantung, penyakit serebrovaskular, dan pneumonia atau influenza serta resiko kematian dari semua penyebab selama musim influenza. (Nichol dkk, 2003) Dalam pembentukan model ini dibatasi oleh beberapa asumsi. Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model penyebaran penyakit influenza sebagai berikut:

1. Individu yang terinfeksi penyakit Influenza dapat disembuhkan. 2. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar

3. Setiap individu yang belum terserang penyakit masuk ke subpopulasi susceptibles (rentan terserang).

4. Penyakit menular melalui kontak langsung antara individu rentan dengan penderita.

5. Tidak ada masa inkubasi apabila terjadi proses penularan.

6. Individu yang sudah sembuh dapat menjadi rentan kembali terserang virus yang baru.

7. Individu yang rentan diberikan vaksinasi dengan ukuran vaksinasi tertentu sehingga dapat menyebabkan individu yang diberikan vaksin kebal terhadap penyakit.

8. Penyaki tidak fatal ( tidak terjadi kematian karena infeksi).

Selanjutnya, asumsi yang digunakan terhadap vaksinasi dalam model ini adalah sebagai berikut.

1. Pemberian vaksin diasumsikan tidak terkendala oleh faktor biaya. 2. Kekuatan vaksinasi 100%, berarti setiap individu yang mendapat vaksin

akan kebal dari penyakit Influenza.

3. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen. Hal tersebut berarti individu yang mendapat vaksin tidak dapat terinfeksi oleh penyakit yang sama sampai waktu tertentu.

4. Terdapat virus baru yang kebal terhadap vaksin.

Dari asumsi-asumsi di atas, pembentukkan model matematika untuk penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi dapat dibatasi.

4.2

Pembentukkan Model Matematika

Pembentukan model SIRPS didasari oleh adanya penyakit menular. Populasi yang diberikan dibagi ke dalam empat kelas yakni kelas populasi rentan (susceptibles), kelas populasi terinfeksi (infectious), kelas populasi bebas penyakit (recovered) dan kelas individu yang menurun kekebalannya dan tidak kebal terhadap virus baru (partial immunity class).

Adapun variabel-variabel dan parameter-parameter yang digunakan dalam model penyebaran penyakit influenza disajikan dalam tabel dibawah ini:

37

Tabel 4.1 Daftar Variabel-variabel

Variabel Keterangan Syarat

N(t) Jumlah populasi pada waktu t N(t)0

S(t)

Jumlah individu yang rentan terinfeksi penyakit pada waktu t

0 ) (t  S

I(t)

Jumlah individu yang terinfeksi penyakit pada waktu t

0 ) (t  I

R(t)

Jumlah individu yang telah sembuh atau kebal dari infeksi virus yang sedang mewabah pada waktu t

0 ) (t  R

P(t)

Jumlah individu yang mulai kehilangan kekebalan terhadap infeksi virus, terutama virus yang baru pada waktu t

0 ) (t  P

Tabel 4.2 Daftar Parameter-parameter

Parameter Keterangan Syarat

µ Laju kelahiran dan laju kematian  0

q

Proporsi banyaknya Individu rentan yang tidak divaksinasi

1 0q

1−

Proporsi banyaknya individu yang divaksinasi

1 0q



Laju kontak infektif antara individu yang rentan dengan individu yang terinfeksi

0





c Laju kesembuhan c > 0

δ Penurunan kekebalan δ > 0

e

Laju perpindahan individu menjadi rentan kembali

0



e

Secara skematis proses penyebaran penyakit Influenza dengan vaksinasi dalam suatu populasi dapat disajikan dalam diagram transfer pada Gambar 4.1 di bawah ini.

39

Gambar 4.1. Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Influeza dengan Vaksinasi. Jumlah individu yang lahir dalam populasi adalah konstan. Jumlah individu yang lahir dengan total populasi N. Oleh karena itu, jumlah individu yang lahir dalam populasi adalah Ndengan



merupakan laju kelahiran. Nilai



adalah jumlah individu yang lahir tiap satuan waktu.

4.2.1 Model Matematika

(a) Laju perubahan jumlah individu yang rentan (S)

= + − − −( 1− ) (4.1) (b) Laju perubahan jumlah individu yang terinfeksi (I)

= − − ( 4.2) (c) Laju perubahan jumlah individu yang telah sembuh (R)

= + ( 1− ) − − ( 4.3) (d)Laju perubahan jumlah individu yang tidak kebal terhadap virus baru (P)

= − − ( 4.4)

S

I

R

P

Dari persamaan (4.1),(4.2),(4.3), dan (4.4) diperoleh model SIRP dengan vaksinasi sebagai berikut :

= + − − −( 1− )

= − − = + ( 1− ) − − ( 4.5)

= − − = + + +

Dari sistem (4.5) diperoleh = 0 sehingga N(t) = k untuk k bilangan bulat positif, karena N(t) konstan , sistem (4.5) dapat di skala ke total populasi N untuk menyederhanakan sistem (4.5). Proporsi banyaknya individu masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut:

= , = , = , = (4.6)

Dari persamaan (4.6), diperoreh

+ + + = + + + = 1

Dari sistem persamaan (4.6), maka sistem persamaan (4.5) dapat disajikan sebagai berikut:

= + − − −( 1− )

= − −

= + ( 1− ) − − (4.7) = − −

41

4.3

Titik Kesetimbangan

Dari sistem persamaan (4.7) akan dicari titik kesetimbangannya, sebagai berikut:

= + − − −( 1− ) = 0,

= − − = 0,

= + ( 1− ) − − = 0, (4.8) = − − = 0.

persamaan kedua dari (4.8) diperoleh

− − = 0

⇔ ( − − ) = 0

⇔ = 0 = (4.9)

Untuk kasus i=0 .

Persamaan satu dari (4.7 ) menjadi :

= 0⇔ + − − . 0−( 1− ) = 0

⇔ + − −( 1− ) = 0

⇔ − ( + ( 1− ) ) = − −

⇔ = +

+ 1− ………. ( ) Persamaan ketiga menjadi :

= 0 ⇔ . 0 + ( 1− ) − − = 0

⇔( 1− ) − − = 0

⇔ = ( 1− )

Persamaan keempat menjadi : =

+ ………( )

⇔ = ( + )

⇔ = ( + )………( ) Substitusikan persamaan (ii) ke (iv), diperoleh :

( 1− ) + =

( + )

⇔ = ( 1− )

( + ) ( + )………( ) Substitusikan persamaan (v) ke (i), diperoleh :

=

+ ( 1− ) ( + ) ( + )

+ 1−

⇔ = ( + ) ( + ) + ( 1− ) ( + ) ( + ) ( + 1− )

⇔ ( + ) ( + )( + 1− ) − ( 1− ) = ( + ) ( + )

⇔ [ ( + ) ( + ) ( + 1− ) − ( 1− ) ] = ( + ) ( + )

⇔ = ( + ) ( + )

( + ) ( + ) ( + 1− ) − ( 1− )

⇔ = ( + ) ( + )

( + ) ( + + 1− ) + ( 1− )………( ) Substitusikan persamaan (vi) ke (ii), diperoleh :

=

( 1− ) ( + ) ( + )

( + ) ( + ) ( + 1− )− ( 1− ) +

⇔ = ( 1− ) ( + ) ( + )

[( + ) ( + ) ( + 1− ) − ( 1− ) ]( + )

⇔ = ( 1− ) ( + )

( + ) ( + ) ( + 1− ) − ( 1− )

⇔ = ( + ) (1− )

43

Substitusikan persamaan (vii) ke (iii), diperoleh :

=

( 1− ) ( + )

( + ) ( + ) ( + 1− ) − ( 1− ) +

⇔ = ( 1− ) ( + )

[( + ) ( + ) ( + 1− )− ( 1− ) ]( + )

⇔ = ( 1− )

( + ) ( + ) ( + 1− ) − ( 1− )

⇔ = ( 1− )

( + ) ( + + 1− ) + ( 1− )………( ) Dengan demikian diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit

= ( , , , ) =

_{( ) (}( ) ( ₎ ) _{( )}

, 0,

_{( ) (}( ) ( ₎ ) _{( )}

,

( 1₋ )

( + ) ( + + 1− ) + ( 1− ) .

Selanjutnya untuk menentukan titik kesetimbangan endemik maka diansumsikan i ≠ 0. Misal = ( ∗, ∗, ∗, ∗). Sehingga sistem (4.7) menjadi,

+ ∗− ∗− ∗ ∗−( 1− ) ∗= 0

∗ ∗₋ ∗₋ ∗_{= 0}

∗_{+ ( 1− )} ∗₋ ∗₋ ∗_{= 0}

(4.10)

∗₋ ∗₋ ∗ _{= 0}

Untuk kasus i ≠ 0, pada persamaan (4.9) jelas ∗ = ………( 1) Persamaan ketiga dari sistem (4.10) menjadi

∗_{+ ( 1− ) −} ∗_{( + ) = 0} ⇔ ∗_{+ ( 1− )} ∗₌ ∗_{( + )} ⇔ ∗₌ ∗+ ( 1− ) ∗

( + ) ………. ( 2) Persamaan keempat menjadi

∗₋ ∗_{( + ) = 0} ⇔ ∗_{( + ) =} ∗

⇔ ∗₌ ∗

( + )………( 3) Substitusikan (2) ke persamaan (3), diperoleh:

∗₌ [ ∗+ ( 1− ) ∗]

( + ) ( + ) ………. . ( 4) Substitusikan (4) ke persamaan pertama pada (4.10), diperoleh:

+ [

∗_{+ ( 1− )} ∗_]

( + ) ( + ) − ∗− ∗ ∗−( 1− ) ∗= 0

⇔ +

∗_{+ ( 1− )} ∗

( + ) ( + ) − ∗− ∗ ∗−( 1− ) ∗= 0

⇔ _{( + ) ( +}∗+ ( 1− ₎) ∗− ∗ ∗₌ ∗_{+ ( 1− )} ∗₋

⇔ ∗+ ( 1−₍ )_{+ ) ( +}∗− ∗ ∗₎( + ) ( + ) = ∗+ ( 1− ) ∗− ⇔ ∗_{[ −} ∗_{( + ) ( + ) ] + ( 1− )} ∗_{= ( + ) ( + ) [} ∗₊ ( 1− ) ∗− ]

⇔ ∗ ₌ ( + )( + ) [ ∗+ ( 1− ) ∗− ]− (1− ) ∗ [ − ∗( + ) ( + ) ]

⇔ ∗ ₌

( + )( + ) ( + )+ ( 1− ) ( + )− − ( 1− )( + ) [ ₋( + )( + ) ( + ) ]

⇔ ∗ ₌ ( + )( + ) [ ( + )+ ( 1− ) ( + )− ]− ( 1− )( + ) [ −( + )( + ) ( + ) ]

⇔ ∗

= ( + ) ( + ) [ −( + ) ( + 1− ) ] + ( 1− )( + )

( + ) ( + + )+ …………( 5) Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (2), diperoleh:

∗₌ 1

( + ) [ ( + ) ( + + ) + ]( ( + ) ( + ) [ −( + ) ( + 1− ) ] + ( 1₋ ) ( + ) + (1₋ ) ( + )[( + ) ( + + ) + ] ) Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), diperoleh:

∗₌ 1

( + ) ( + )[( + ) ( + + ) + ] ( + ) ( + ) [ −( + ) ( + 1 − ) ] + ( 1− ) ( + ) + ( 1− )( + ) ( + ) ( + + ) + .

45

Jadi diperoleh titik kesetimbangan endemik = ( ∗, ∗, ∗, ∗)

sebagai

berikut:

∗ ₌ + _,

∗₌ ( + ) ( + ) [ −( + )( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + )

( + ) ( + + ) + ,

∗₌ 1

( + ) [( + ) ( + + ) + ]( ( + ) ( + )[ −( + ) ( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + ) + (1− ) ( + )[ ( + )( + + ) + ] )

∗₌ 1

( + ) ( + )[( + ) ( + + ) + ] ( + )( + ) [ −( + )( + 1 − ) ] + ( 1₋ ) ( + ) + ( 1− ) ( + ) ( + ) ( + + ) + .

4.4

Angka Rasio Reproduksi Dasar

Untuk menentukan angka rasio reprodiksi dasar yaitu dengan mengasumsikan

∗_{> 0. Berdasarkan titik kesetimbangan endemik diperoleh:}

∗₌ ( + ) ( + ) [ −( + ) ( + 1− )] + ( 1− )( + ) ( + ) ( + + )+ . Jelas −( + )( + 1− ) > 0.

Didefinisikan =

( ) ( ) . Teorema 4.1

Dipunyai =

( + ) ( + )

Dari sistem persamaan (4.7). Berdasarkan nilai R0tersebut diperoleh

1. Jika R0 <1 maka sistem persamaan (4.7) hanya mempunyai 1 titik

kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit = ( , , , ) = ( + ) ( + )

( + ) ( + + 1− ) + ( 1− ), 0, ( + )( 1− )

( + ) ( + + 1− ) + ( 1− ),

( 1− )

2. Jika R0>1 maka sistem persamaan (4.7) mempunyai 2 titik kesetimbangan

yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik = ( ∗, ∗, ∗, ∗) dengan

∗ ₌ + _,

∗₌ ( + ) ( + ) [ −( + )( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + )

( + ) ( + + ) + ,

∗ ₌ 1

( + ) [( + ) ( + + ) + ]( ( + ) ( + ) [

−( + )( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + ) + ( 1− ) ( + ) [( + ) ( + + ) + ])

∗₌ 1

( + ) ( + ) [( + ) ( + + ) + ] ( + ) ( + ) [ −( + ) ( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + ) + ( 1− ) ( + ) ( + ) ( + + ) +

4.5

Analisis Kestabilan

Analisis kestabilan diperoleh berdasarkan nilai eigen dari matriks jacobian melalui metode linearisasi. Matriks jacobian dari persamaan (4.7) adalah sebagai berikut.

∗_{( ) =}

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛

⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

47

∗_{( ) =}

− − −( 1− )

1− 0 − − − 0 0 0 − − 0 0 − − .

Dengan = ( , , , ) .

4.5.1 Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Untuk titik kesetimbangan bebas penyakit = ( , , , ) . dengan, = ( + ) ( + )

( + ) ( + + 1− ) + ( 1− ), = 0,

=

( ) ( )

( ) ( ) ( )

,

dan

=

( )

( ) ( ) ( )

.

diperoleh :

∗_{( ) =}

− −( 1− )

0 1− 0 − − − 0 0 0 − − 0 0 − − Mencari nilai eigen martiks

det ( − ∗) = 0

⇔det 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —

− −( 1− ) 0 1− 0 − − − 0 0 0 − − 0 0 − − = 0 ⇔

+ + ( 1− ) 0 −1 0 − + + − 0 0 0 + + − − 0 0 + + = 0 ⇔

+ + ( 1− ) 0 −1 0 − + + − 0 0 0 + + − − 0 0 + +

= −(− − − ) [ −( + ) ( + 1− ) ]− ( − − ) ( + 1− ) ( + + ) + , = − ,

= −1 2 + 1 2 − 1 2 − 1 2− +

1

2 1−2 −2 −2 −2 + 2 + 2 + + + , = −1

2 + 1 2 − 1 2 − 1 2− −

1

2 1−2 −2 −2 −2 + 2 + 2 + + + .

Dari nilai-nilai eigen tersebut terlihat bahwa nilai eigen , adalah negatif. Selanjutnya,bagian real dari nilai eigen , dianalisis. Berdasarkan asumsi bahwa > 0, > 0, dan > 0, Maka ( + + ) > 0 selalu terpenuhi. Ditunjukkan < 0,

Jelas ( + 1− ) ( + + ) + > 0.

Jadi untuk menunjukkan < 0 tinggal ditunjukkan,

−( + + ) [ −( + ) ( + 1− ) ] − ( − − ) > 0

⇔ −( + + ) ( + ) ( + 1− )

( + )( + 1− ) −1

− ( + )

( + )−1

⇔( + + ) ( + )( + 1− ) ( 1− ) + ( + ) 1−

( + ) > 0 Jelas 1−

( ) > 0 ⇔ _{( + )} < 1

⇔ _{( + )}.

( + 1− ) .

( + 1− ) < 1

49

Jadi dengan syarat <

( )< 1

maka < 0. Ditunjukkan < 0 Jelas

− + − − − + 1−2 −2 −2 −2 + 2 + 2 + + +

= ( 1− − − ) + 2( + + )− ( 1− − − ) −4

⇔[( 1− − − ) + 2( + + ) ] −( 1− − − ) −4

⇔(1− − − )2_{+ 4(1− − − ) ( + + )+ 4( + + )}2

−( 1− − − ) + 4

⇔( 1− − − ) + 4(− ) ( + + ) + 4(1− − ) ( + + )

+ 4( + + ) −( 1− − − ) −4

⇔4(− ) ( + ) + 4(1− − ) ( + + ) + 4( + + )2 ⇔ −4 −4 + 4( 1− − ) ( + + ) + 4( + + ) > 0

⇔4( + 1− ) ( + + ) + 4 > 0. Jadi < 0.

Jadi  < 0,  < 0, dan  < 0 sedangkan nilai  < 0 apabila <

( )<

1 , terlihat jelas bahwa 4 nilai eigen tersebut memiliki nilai negatif, maka titik kesetimbangan stabil asimtotik lokal .

4.5.2 Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Endemik

Untuk titik kesetimbangan endemik = ( ∗, ∗, ∗, ∗) dengan,

∗₌ ( + ) ( + ) [ −( + )( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + )

( + ) ( + + ) + ,

∗₌ 1

( + ) [ ( + ) ( + + ) + ]( ( + ) ( + )[ −( + ) ( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + ) + (1− ) ( + )[ ( + )( + + ) + ] )

∗₌ 1

( + ) ( + ) [ ( + ) ( + + ) + ] ( + )( + ) [ −( + )( + 1 − ) ] + ( 1− ) ( + ) + ( 1− ) ( + ) ( + ) ( + + ) + . Diperoleh: ∗( ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛− −

( + ) ( + ) [ ₋( + ) ( + 1₋ ) ] + ( 1− ) ( + )

( + ) ( + + ) + −( 1− ) 0 0 ( + ) ( + ) [ ₋( + ) ( + 1− ) ] + ( 1− ) ( + )

( + ) ( + + ) + 0 0 0 1− − − 0

0 0 − − ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

Karena nilai eigennya tidak dapat dicari secara langsung, untuk itu akan menggunakan kriteria Ruth Hurwizt. Persamaan karakteristik dari matrik ∗( )

adalah + + + + = 0,

dengan = 1,

= [ −( + )( + 1− ) ] + 3 + + + 3 + + − + − +

= ( + ) ( + 1− ) ( −1) + ( + ) ( 2 + ) + ( + ) ( + 1− )

+ ,

= ( + 1− ) ( ) + ( 2 + ) , = 1

+

( 3 + + ) [ −( + ) ( + 1− ) ] + 2 + 3 + 2 ( 1− ) + ( 1− ) + 2 + 3 + 2 ( 1− ) +

= 1

51

= ( 3 + + ) ( + 1− ) ( −1) + ( + 1− ) ( 2 + ) + + = ( + 1− ) [ ( 3 + + ) ( −1) + ( 2 + ) ] + +

= 1

+

( 3 + 2 + 2 + ) [ −( + ) ( + 1− ) ] + 3 + + ( 1− ) + + + ( 1₋ ) + ( 1₋ ) + ( 1− )

= 1 +

( + ) ( + 1₋ ) ( 3 + 2 + 2 + ) ( ₋1) + ( + ) ( + 1₋ ) + ( + ) ( + − )

= ( + 1− ) ( 3 + 2 + 2 + ) ( −1) + ( + 1− ) + ( + − )

= ( + 1− ) [( 3 + 2 + 2 + ) ( −1) + ( + ) ] = ( + ) [ −( + ) ( + 1− ) ]

= ( + ) ( + ) ( + 1− ) ( ₀₋1).

Ditunjukkan + + + + = 0 mempunyai akar-akar bagian

real negatif yaitu dengan menunjukkan:

a. > 0, > 0, > 0, > 0, dan > 0. b. − > 0

c. ( − )− > 0

Jelas bahwa > 0 dan , , , > 0 saat > 1. Ditunjukkan − > 0.

Dipunyai > 1

Jelas ( + 1− ) ( ) ( + 1− ) (3 + + ) ( −1) + ( 2 + ) + + + (2 + ) ( + ) + ( + 1− ) ( ) (3 + 3 + ) > 0

⇔ ( + 1₋ ) ( ) ( + 1− ) ( 3 + + ) ( −1) + ( 2 + ) + +

+ {( + 1− ) ( −1)[( 3 + 3 + ) ]} + {( + 1− ) [( 3 + 3 + ) ]} + {( 2 + ) ( + ) } > 0

⇔ ( + 1− ) ( ) ( + 1− ) ( 3 + + ) ( −1) + ( 2 + ) + + + { ( 2 + ) ( + ) }

+ { ( + 1− ) ( −1) [ ( 6 + 5 + 2 + + )−( 3 + 2 + 2 + ) ] } + {( + 1− ) [ ( 4 + 4 + )−( + ) ] } > 0

⇔ ( + 1₋ ) ( ) ( + 1₋ ) ( 3 + + ) ( ₋1) + ( 2 + ) + + + { ( 2 + ) ( + ) }

+ { ( + 1− ) ( ₋1) [ ( 3 + + ) ( 2 + )−( 3 + 2 + 2 + ) ] } + { ( + 1− ) [ ( 2 + ) −( + ) ] } > 0

⇔ ( + 1− ) ( ) + ( 2 + ) ( + 1− ) [ ( 3 + + ) ( −1) + ( 2 + ) ] + + − ( + 1− ) [( 3 + 2 + 2 + ) ( −1) + ( + ) ] > 0

Jadi − > 0.

Ditunjukkan ( − ) − > 0. Jelas

( − )− = ( + 1− ) ( 3 + 2 + 2 + )( −1) + + ) ( − )

− ( + 1− ) ( ) + ( 2 + ) ( + ) ( + ) ( + 1− ) ( −1)

= ( + 1− ) [( 2 + ) ( + ) + ( + ) ] ( ₋1) + ( + ) ( ₋ ) − ( + 1₋ ) ( ) + (2 + ) ( + ) ( + ) ( + 1− ) ( ₋1)

Jelas ( + 1− ) [( 2 + ) ( + ) + ( + ) ]( −1) + ( + ) ( − )

= ( + 1− ) [ ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) ]( −1) + ( + ) ( − ) = ( + 1− ) ( + ) ( + ) ( ₋1) ( − ) + ( + ) ( + 1₋ ) ( ₋1) ( − )

+ ( + 1− ) ( + ) ( −1) ( − ) + ( + 1− ) ( + ) ( − )

Jelas ( + 1− ) ( + ) ( + ) ( −1) ( − ) − ( + 1− ) ( ) + (2 + ) ( + ) ( + ) ( + 1− ) ( ₋1)

53

Jelas ( − )− ( + 1− ) ( ) + (2 + )

= ( + 1− ) ( ) ( + 1₋ ) ( 3 + + ) ( ₋1) + ( 2 + ) + + + ( 2 + )( + )

+ ( + 1− ) ( ) 3 2_{+ 3 +} 2 _{−[ ( + 1− ) ( ) + 2 ( + 1− ) (2 + ) (}

0) + ( 2 + ) ]

= ( + 1− ) ( ) [( 3 + + ) ( −1) + (2 + )− ( ) ]

+ ( + 1− ) ( ) 3 + 3 + −( 4 + 2 ) + ( + 1₋ ) ( ) ( + ) + ( 2 + ) ( + ) – ( 2 + )

= ( + 1− ) ( ) ( + ) + ( + 1− ) ( ) ( 2 + )− ( + 1− ) ( ) + ( + 1− ) ( )( + )− ( 2 + )

= ( + 1− ) ( ) ( + ) + ( + 1− ) ( ) ( 2 + ) + ( + 1− ) ( ) − ( 2 + )

Jelas − ( 2 + ) ( + 1− ) ( + ) ( + ) ( −1) + ( + ) ( + 1− ) ( −1) ( − )

= ( + 1− ) ( + )( −1) [ ( − )− ( 2 + ) ( + ) ] Jelas ( − )− ( 2 + ) ( + )

= ( + 1− ) ( ) ( + 1− ) ( 3 + + ) ( −1) + (2 + ) + +

+ ( + 1− ) ( )( 3 + 3 + ) + ( 2 + ) ( + )− ( 2 + ) ( + )

= ( + 1− ) ( ) ( + 1− ) ( 3 + + ) ( −1) + (2 + ) + +

Jelas

( + 1− ) ( ) ( + 1− ) (3 + + ) ( −1) + ( 2 + ) + +

+ ( + 1− ) ( ) ( 3 + 3 + ) > 0

Jadi c ( − ) − > 0.

Berdasarkan kriteria Ruth Hurwizt untuk polinom pangkat 4 diperoleh simpulan

bahwa + + + + = 0 mempunyai akar-akar dengan bagian

real negatif. Maka titik kesetimbangan stabil asimtotik lokal .

Teorema 4.2

1. Jika < < 1 maka titik kesetimbangan stabil asimtotik lokal

2. Jika > 1 maka titik kesetimbangan tidak stabil dan titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik lokal.

55

4.6

Simulasi Model

Simulasi dilakukan menggunakan program Maple 12 dan dengan memberikan nilai-nilai untuk masing-masing parameter sesuai dengan kondisi nilai R₀ dalam teorema-teorema yang telah diberikan di atas. Simulasi ini diberikan untuk memberikan gambaran geometris terkait dengan hasil yang telah dianalisis.

Berdasarkan makna nilai-nilai parameter yang telah dijelaskan, Jika diasumsikan nilai





0

.

1

artinya rata-rata ada 1 bayi yang lahir dan ada 1 orang yang meninggal tiap 10 hari, nilai





0

.

8

artinya rata-rata ada 8 individu rentan yang menjadi terinfeksi dari setiap 10 kontak langsung yang terjadi antara individu rentan dengan manusia terinfeksi, nilai e0.1 artinya rata-rata periode 1 manusia sembuh yang mulai menghilang kekebalannya dan kembali menjadi rentan adalah 10 hari, nilai c 0.04artinya rata-rata periode individu terinfeksi sampai sembuh adalah 25 hari, δ= 0.1 artinya rata-rata ada 1 manusia yang kekebalannya mulai menghilang dari 10 individu dan nilai = 0.1 artinya tiap hari ada 10% dari jumlah keseluruhan individu rentan yang tidak divaksinasi, jadi nilai 1− = 0.1 artinya tiap hari ada 90% dari jumlah keseluruhan individu rentan yang divaksinasi.

Nilai-nilai parameter yang diberikan untuk membuat simulasi dari model penyebaran penyakit influenza, disajikan dalam Tabel 4.

Tabel 4.3 Nilai Parameter untuk simulasi model Parameter Nilai Parameter Nilai

 0.1 c 0.04



0.8 q 1

e 0.1 1 - q 0

δ 0.1

Kondisi awal rasio jumlah penduduk pada kelas susceptibles, infectious, recovered dan partial immunity class masing-masing adalah 0.8, 0.1, 0.1 dan 0.

Jika penyakit tersebut tidak dicegah dengan program vaksinasi maka nilai 1 - q = 0. Proporsi individu susceptibles, infectious, recovered dan partial immunity class untuk 1 - q = 0 dapat ditunjukkan pada Gambar 4.2.

Gambar 4.2. Proporsi individu susceptibles (hitam), infectious (biru), recovered (merah), dan partial immunity class (hijau) saat 1 - q = 0.

s i

p r

57

Garis hitam pada Gambar 4.2 menunjukkan proporsi individu susceptible. Seiring berjalannya waktu, proporsi individu susceptible akan semakin berkurang. Hal ini terjadi karena individu susceptible terinfeksi penyakit dan memasuki kelompok infectious. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok susceptible tidak mengalami perubahan. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada kondisi setimbang.

Selanjutnya, proporsi individu infectious ditunjukkan oleh garis biru pada Gambar 3 Seiring berjalannya waktu, menunjukkan bahwa proporsi individu infectious mengalami kenaikan dari keadaan awal. Kenaikan jumlah individu infectious terjadi karena tambahan individu dari kelompok susceptible yang terinfeksi penyakit. Pada waktu tertentu, proporsi individu infectious tidak mengalami perubahan sehingga sistem berada pada kondisi setimbang.

Pada Gambar 4.2, yang menunjukkan proporsi individu recovered adalah garis merah. Proporsi individu recovered akan mengalami kenaikan seiring dengan bertambahnya waktu. Kenaikan jumlah individu recovered terjadi karena tambahan individu dari kelompok infectious yang terjangkit penyakit. Pada waktu tertentu, proporsi individu recovered tidak mengalami perubahan sehingga sistem berada pada kondisi setimbang.

Selanjutnya, proporsi individu partial immunity class ditunjukkan oleh garis hijau pada Gambar 4.2. Seiring berjalannya waktu, menunjukkan bahwa proporsi individu partial immunity class mengalami kenaikan. Hal tersebut disebabkan adanya individu recovered yang sembuh dari penyakit dan tidak kebal terhadap virus baru sehingga memasuki kelompok partial immunity class. Pada

waktu tertentu, proporsi individu partial immunity class tidak mengalami perubahan sehingga sistem berada pada kondisi setimbang.

Pada kondisi setimbang tersebut, penyakit akan selalu ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit tersebut bersifat endemik. Maka kondisi setimbang tersebut dicapai saat

= ( ∗, ∗, ∗, ∗) = ( 0.175,0.634, 0.126,0.063).

Titik tersebut merupakan titik kesetimbangan endemik karena nilai

. 0

*_

i Selanjutnya, akan ditentukan kestabilan dari titik kesetimbangan endemik . Besarnya rasio reproduksi dasar pada saat 1− = 0 adalah R0 5.714 Nilai

1

0 

R mengakibatkan keempat nilai eigen matriks Jacobian pada model ini berupa bilangan real negatif. Oleh karena itu, titik kesetimbangan endemik bersifat stabil asimtotik.

Selanjutnya, program vaksinasi dilakukan untuk mencegah meluasnya penyakit. Vaksinasi dianggap berhasil jika pada waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi. Rasio reproduksi dasar dapat digunakan untuk menentukan apakah penyakit tersebut akan menghilang dari populasi atau bersifat endemik. Penyakit akan menghilang dari populasi pada waktu tertentu jika R₀ 1, sedangkan penyakit akan tetap ada sampai waktu yang tidak terbatas (endemik) jika

> 1

Sebagai upaya pencegahan penyebaran penyakit, dilakukan program vaksinasi pada tingkat 1− . Dalam hal ini, digunakan simulasi terhadap parameter tingkat vaksinasi 1− untuk mengetahui pengaruh vaksinasi terhadap penyebaran

59

penyakit. Pengaruh vaksinasi dapat dilihat pada perilaku proporsi individu infectious _{yang akan cenderung menghilang atau bersifat endemik.}

a. Simulasi untuk > 1.

Nilai parameter yang diberikan untuk > 1 disajikan dalam Tabel 4.4 Tabel 4.4. Nilai Parameter untuk > 1

Parameter Nilai Parameter Nilai

 _{0.1 c 0.04}



0.8 q 0.9

e 0.1 1− 0.1

δ 0.1

Gambar 4.3 menunjukkan proporsi individu infectious untuk tingkat vaksinasi yang bervariasi yang lebih kecil dari tingkat vaksinasi minimum. Grafik (a) pada Gambar 4.3 menunjukkan proporsi individu infectious untuk tingkat vaksinasi 1− = 0. Karena tidak dilakukan vaksinasi maka proporsi individu infectious akan bertambah dan penyakit akan selalu ada sampai waktu yang terbatas. Hal ini menyebabkan penyakit bersifat endemik.

Jika tingkat vaksinasi yang dilakukan adalah 1− = 0.1, maka proporsi individu infectious ditunjukkan oleh grafik (b) pada Gambar 4.3 Untuk 1− = 0.1, penyakit akan selalu ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit bersifat endemik. Dengan demikian, vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit menghilang dari populasi.

(a) i(t) untuk 1− = 0 (b) i(t) untuk 1− = 0.1

(c) ) i(t) untuk 1− = 0.2 (d) i(t) untuk 1− = 0.29 Gambar 4.3. Proporsi individu infectious untuk 1− = 0, 1− = 0.1,

1− = 0.2, dan 1− = 0.29.

Jika dilakukan vaksinasi pada tingkat 1− = 0.2 maka proporsi individu infectious ditunjukkan oleh grafik (c) pada Gambar 4.3. Untuk 1− = 0.2, penyakit akan selalu ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit bersifat endemik dan tidak akan menghilang dari populasi.

Lampiran 1

Lampiran 2

Print out Maple Model SIRPS dengan Vaksinasi

2) Unt uk 1

−

= 0.1 at au = 0.9

4) Unt uk 1

−

= 0.29 at au = 0.71

6) Unt uk 1

−

= 0.5 at au = 0.5