diferensial order dua, karena
”
adalah pangkat terbesartertinggi yang muncul pada persamaan. Waluya, 2006:3.
2.6 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Persamaan diferensial biasa
, , , …,
= 0
dikatakan linear jika dalam variabel-variabel
, , …,
. Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian diferensial parsial. Jadi secara umum persamaan
diferensial biasa linear order diberikan dengan
+ +
⋯
+ =
2.2
Per samaan
yang tidak dalam bentuk persamaan 2.1 merupakan persamaan tak linear Waluya, 2006:6.
Contoh:
1 + 3
+ = 0 ; mer upakan per samaan diferensial l inear ,
2 1 +
+ + 2
= ; mer upakan per samaan difer ensial tak
linear , karena suk 1 + da 2
.
2.7 Solusi Persamaan Diferensial
Perhatikan persamaan diferensial biasa orde n berikut. ∅
= ,
∅
,
∅
,…,
∅ 2.3
Sebuah solusi dari persamaan 2.3 pada interval terbuka adalah sebuah
fungsi ∅ sedemikian sehingga ∅
,
∅
,…,
∅ ada dan memenuhi
persamaan 2.3 untuk setiap t dalam . Asumsikan bahwa fungsi f untuk
persamaan 2.3 adalah fungsi bernilai riil dan tertarik untuk mendapatkan solusi- solusi yang bernilai riil
=
∅ Waluya, 2006:5.
Solusi pada persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu solusi umum dan solusi khusus. Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah solusi
yang mengandung sembarang konstan, sedangkan solusi khusus suatu persamaan diferensial adalah solusi yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu
pada sembarang konstan yang terdapat pada solusi umum. Berikut merupakan solusi persamaan diferensial linear baik order satu mauupun
order dua:
1 Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Satu
Suatu fungsi
x y
y
dinyatakan solusi persamaan diferensial
, ,
y y
x F
apabila
x y
y
atau turunannya yakni
y
memenuhi persamaan diferensial tersebut.
Contoh:
= + 1
adalah solusi persamaan diferensial
= 2
Demikian pula c
x y
2
untuk c adalah konstanta, merupakan solusi persamaan diferensial
x y
2
. Solusi 1
2
x
y disebut solusi khusus dan
c x
y
2
disebut solusi umum.
2 Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua
a Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen Perhatikan persamaan diferensial yang berbentuk
qy
y p
y
, 2.4
dimana p dan q konstanta-konstanta. Misalkan
mx
e y
merupakan solusi
persamaan diferensial 2.4 dengan m memenuhi persamaan tersebut.
Untuk itu akan dicari m agar
mx
e y
merupakan solusi persamaan
diferensial 2.4. Dari
mx
e y
diperoleh
mx
me y
dan
mx
e m
y
2
sehingga jika
y y
y
, ,
disubstitusikan ke persamaan 2.4 didapat persamaan
.
2
mx mx
mx
qe mpe
e m
Dengan demikian
mx
e y
dikatakan suatu solusi dari persamaan
diferensial 2.4, jika m merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat
2
q
pm m
. Dan karena
mx
e
, untuk setiap m dan x, maka
2
q
pm m
2.5 Persamaan
2
q
pm m
disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial 2.4 dan akar-akarnya disebut akar-akar
karakteristik. Akar-akarnya adalah
a ac
b b
m 2
4
2 1
dan a
ac b
b m
2 4
2 2
2.6 Dengan a = 1, b = p, c = q.
Dari perhitungan di atas jelas bahwa
x m
e y
1
1
dan
x m
e y
2
2
merupakan solusi dari persamaan diferensial
qy
y p
y
. Karena a dan b merupakan bilangan real, maka akar-akar dari
persamaan karakteristik
2
q
pm m
terbagi dalam 3 kasus, yaitu: dua akar berbeda, dua akar sama, dan dua akar kompleks.
i. Akar real berlainan Bila m
1
dan m
2
dua akar real berbeda maka
x m
e
1
dan
x m
e
2
adalah solusi yang bebas linear sehingga
x m
x m
Be Ae
y
2 1
merupakan solusi umum persamaan diferensial 2.3.
ii. Kedua akar sama Misalkan kedua akar persamaan
2
q
pm m
sama, yakni m
1
=m
2
=a maka solusi umum persamaan diferensial
qy
y p
y
adalah
ax ax
Bxe Ae
y
.
iii. Akar kompleks Misalkan salah satu akar persamaan
2
q
pm m
adalah
1
m i, maka akar yang lain yakni
2
m i, sehingga solusi
umum persamaan
diferensial tersebut
adalah
} sin
cos x
B x
A e
y
x
. Rahadian, 2008.
b Solusi Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan solusi persamaan
diferensial linear order tak homogen. Antara lain Metode Koefisien Tak Tentu, Metode Variasi Parameter, dan Operator D .
Sebuah solusi Y dari persamaan linear tak homogen orde ke-n dengan koefisien konstan dapat diperoleh dengan metode koefisien tak
tentu tebakan bila dalam bentuk tertentu.
Perhatikan persamaan tak homogen berikut ini:
+
′
+ =
2.7 dimana
, dan
adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval I.
Teorema 1 Solusi umum persamaan tak homogen dapat dinyatakan sebagai
= Ø = +
+ ,
dimana dan
adalah basis dari persamaan homogen, c
1
dan c
2
adalah konstanta-konstanta, dan
adalah penyelesaian khusus dari persamaan tak homogen Waluya, 2006:77.
Teorema ini memberikan langkah-langkah membangun solusi persamaan tak homogen adalah sebagai berikut:
1 Temukan solusi umum persamaan homogennya,
2 Temukan sebuah solusi untuk persamaan tak homogen,
3 Jumlahkan keduanya, dan
4 Temukan c
1
dan c
2
dari kondisi-kondisi awalnya. Jika fungsi tebakan merupakan salah satu dari solusi homogennya,
maka fungsi tebakan yang dipilih tak pernah membangun sebuah suku yang memenuhi ruas kanan tak homogen gt sehingga fungsi tebakannya
harus dikalikan dengan t. Ada beberapa urutan yang relatif mudah untuk menemukan solusi
khusus dengan metode koefisien tak tentu, yaitu sebagai berikut: 1
polinom berderajat n Solusi partikulir y
p
diandaikan sebagai berikut: a.
= +
+ +
⋯
+
apabila
= 0
bukan akar bukan akar karakteristik untuk PD homogen 2.7, yaitu
= 0
bukan akar persamaan
+ +
= 0
.
b.
= +
+ +
⋯
+
, apabila
= 0
akar berkelipatan k,
= 1,2
untuk persamaan
+ +
= 0
. Koefisien-koefisien .
, ,
, …,
akan ditentukan kemudian setelah
disubstitusikan pada PD 2.7. Contoh:
Tentukan solusi umum PD
+ 3 + 2
= + 5
. Penyelesaian:
PD homogen
+ 3 + 2
= 0
. Persamaan
karakteristik
+ 3 + 2 = 0
maka akar-akar
karakteristik adalah m
1
= -1 dan m
2
= -2. Jadi solusi
= +
. Solusi diandaikan
= +
+
. Karena
= 0
bukan akar dari persamaan
+ 3 + 2 = 0
. Dengan menurunkan
, maka diperoleh:
= +
= 2
Substitusikan pada PD
+ 3 + 2
= + 5
maka diperoleh
2 + 3
+ 2 + 2
+ +
= + 5
2 + 2
+ 6 + 2
+ 3 + 2
= + 5
2 = 1
⟺
= 1
2 2
+ 6 = 0
⟺
2 =
−
3
⟺
=
−
3 2
2 + 3
+ 2 = 5
⟺
2 = 5
−
1 + 9
2
⟺
= 17
2
Jadi
= 17
2
−
3 2
+ 1
2
Jadi
= +
= 17
2
−
3 2
+ 1
2 +
+ .
2 berbentuk
= +
+
⋯
+
, α real
Misal
= + 1
; = 2 + 2
. Untuk kasus ini, solusi partikulir y
p
diandaikan sebagai berikut: a.
= +
+ +
⋯
+
apabila α bukan akar
persamaan
+ +
= 0
. b.
= +
+ +
⋯
+
apabila α akar
berkelipatan k,
= 1,2
untuk persamaan
+ +
= 0
. Koefisien-koefisien .
, ,
, …,
akan ditentukan kemudian setelah
disubstitusikan pada PD 2.7. Contoh:
Tentukan solusi umum PD
+
−
6 = + 3
PD homogennya
+
−
6 = 0
Persamaan karakteristik
+
−
6 = 0
maka akar-akar
karakteristik adalah m
1
= 2 dan m
2
= -3. Jadi solusi
= +
. Karena
= 1
bukan akar dari persamaan
+ 3 + 2 = 0
, maka Solusi
diandaikan
= +
. Dengan menurunkan
, maka diperoleh:
= +
+ =
+ +
= +
+ =
+ + 2
Substitusikan pada PD
+
−
6 = + 3
, diperoleh:
+ + 2
+ +
+
−
6 +
= + 3
−
4
−
4 + 3
= + 3
−
4
−
4 + 3
= + 3
−
4 =
⇔
=
−
1 4
−
4 + 3
⇔
= 3
−
3
⇔
=
− . Jadi
= +
.
=
−
15 6
−
1 4
jadi
jadi solusi umum
= +
. ⇔
=
− −
+ +
. 3
berbentuk
= +
+
⋯
+ cos
atau
= +
+
⋯
+ sin
atau
= { cos
+ sin
}
atau
= { cos
+ sin
}
dimana masing-masing polinom
berderajat n dan m dengan ≤
.
Untuk kasus ini solusi partikulir y
p
yang diandaikan. a.
= {
+ +
+
⋯
+ cos
+ +
+
⋯
+ sin
} apabila
+
bukan akar kompleks persamaan
+ +
= 0.
b.
= {
+ +
+
⋯
+ cos
+ +
+
⋯
+ sin
} apabila
+
akar kompleks persamaan
+ +
= 0.
Koefisien-koefisien .
, , …,
, ,
, …,
, akan ditentukan kemudian setelah
disubstitusikan pada PD 2.7. Supriyono,2011:55
2.8 Titik Kesetimbangan Ekuilibrium
