R´esultat Principal Notions et lemmes pr´eliminaires

La relation entre β α a, F et 1 α a, F 83 telle que mr, a, F = 1 2π Z 2π ln + 1 F r e iθ − a dθ , mr, ∞, F = 1 2π Z 2π ln + F r e iθ dθ , 13 et T r, F la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de F. T H ´ EOR ` EME 2 [2]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ. Alors pour tout a ∈ β a, F ≤ CQ, λ p 1 a, F , 14 avec CQ, λ une constante positive qui d´epend uniquement de Q et λ. Il est connu [3] que pour les fonctions m´eromorphes et les fonctions Q-quasi-conformes d’ordre inf´erieur infini les relations 7 et 14 n’ont pas de sens. Dans la th´eorie de la distribution des valeurs, l’´etude des fonctions Q-quasi-conformes n´ecessite l’´etude de caract´eristiques plus g´en´erales que celles des valeurs βa, F, 1a, F et δ a, F. C’est `a dire ce qu’on appelle α-d´efaut et α-valeur de d´eviation [4, p. 78]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme. Posons pour tout α, 0 α ≤ 1 1 α a, F = lim sup r→+∞ mr, a, F T α r, F , β α a, F = lim inf r→+∞ Lr, a, F T α r, F , o`u Lr, a, F, T r, F et mr, a, F sont d´ej`a d´efinis en 9, 10 et 13.

2. R´esultat Principal

Le r´esultat essentiel de cet article est T H ´ EOR ` EME 3. Si F est une fonction Q-quasi-conforme pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ , alors pour tout γ , 0 γ ≤ 1 et tout a ∈ β 1+γ 2 a, F ≤ CQ, λ q 1 γ a, F , 15 o`u CQ, λ est une constante positive qui d´epend uniquement de Q et λ. Ce r´esultat g´en´eralise le th´eor`eme 2 qu’on retrouve pour γ = 1, de plus, il est une extension du th´eor`eme 1 de V.P. Petrenko aux fonctions Q-quasi-conformes.

3. Notions et lemmes pr´eliminaires

Soit χ z une transformation Q-quasi-conforme du plan z au plan w telle que χ 0 = 0 , χ 1 = 1 , χ ∞ = ∞ , 16 84 B. Bela¨ıdi et z = χ − 1 w la transformation r´eciproque. Posons r 0, ρ 0 ρ r = max | z|=r |χz| , ρ r = min | z|=r |χz| , Rρ = max |w|=ρ |χ − 1 w | , Rρ = min |w|=ρ |χ − 1 w | , w Q = sup {χ } sup 0r∞ ρ r ρ r † , telle que {χ} la famille des transformations Q-quasi-conformes qui v´erifie la relation 16. Soient χ r = pr e iθ r = pe iθ , D θ, R = n z : | arg z| θ, |z| R, 0 θ π 4 , R R o , χ D θ, R = D ⋆ θ, R . L EMME 1 [4], L EMME 2.3. Pour tout r fix´e tel que r 1 + sin θ ≤ R le domaine D ⋆ θ, R contient le disque ferm´e h v r = n w : w − pre iθ r ≤ pr e − 7Q sin Q θ = vr, θ o . 17 L EMME 2 [5], P . 70. Soit χ z une transformation Q-quasi-conforme du disque K = {z : |z| ≤ 1} au disque {w : |w| ≤ 1}, telle que χ0 = 0 et soient K 1 ⊂ K , K ⋆ 1 = χK 1 , 3 K 1 = RR K 1 dr r dϕ , 3 K 1 ∞ . Alors 1 Q 3 K 1 ≤ 3K ⋆ 1 ≤ Q3K 1 . 18 C OROLLAIRE 1. Soient les conditions du Lemme 2 v´erifi´ees et |J z| = dσ ln χ z dσ ln z = z χ z 2 |J χz| . Alors il existe K 1 , tel que 3K 1 = 0, et pour z ∈ K 1 on a l’in´egalit´e |J z| ≤ Q. D´emonstration. Soit l’ensemble K 1 = {z : 0 |z| ≤ 1, |J z| Q} . Il est ´evident que l’ensemble K 1 est ouvert car J est continue dans K 1 . Soit 3K 1 0. On peut supposer 3K 1 ∞ car dans le cas contraire, on peut prendre une partie de K 1 qui v´erifie cette relation. Nous avons 3 K ⋆ 1 = Z Z K ⋆ 1 dρ ρ dψ = Z Z K 1 |J z| dr r dϕ Q3K 1 ce qui contredit le Lemme 2. † w Q ≤ e π Q [5] La relation entre β α a, F et 1 α a, F 85 L EMME 3 [6]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme. Alors pour tout τ , 1 e τ 1 et tout a nτ R, a, F ≤ CQ 1 − τ Q+1 T 1 τ R, F + CQ 1 − τ Q , 19 o`u nr, a, F est d´ej`a d´efini en 11. L EMME 4 [4], § 4 4.3. Soit Br, y, d = ln r y + |d| y r y − |d| y + ln 1 Q+1 r y + |d| y r y − |d| y , tel que y = π 2θ , 0 θ π 4 d’o`u y 2. Alors Z k R R 1 r ln r y + |d| y r y − |d| y + ln 1 Q+1 r y + |d| y r y − |d| y dr ≤ C y . 20 L EMME 5. Pour tout k fix´e, k ≥ 1 et pour tout r 0, on a R kρr ≥ k 1 Q w 2 Q r , k ≥ 1 . 21 D´emonstration. Soit k ≥ 1. Pour r, 0 r +∞, on a R kρr ≥ R ρ r . Soit D le domaine doublement connexe dans le plan z ayant pour fronti`eres χ − 1 α ρ r et χ − 1 α kρr tel que α ρ = {w : |w| = ρ} et on d´esigne par MD le module de D. En utilisant l’in´egalit´e wQ ≤ e π Q , on obtient 1 2π Q ln k ≤ MD ≤ 1 2π ln R kρr R ρ r = 1 2π ln   R kρr R kρr R ρ r R ρ r R kρr R ρ r   ≤ 1 2π ln   w QwQ R kρr r   = 1 2π ln   w 2 Q R kρr r   , d’o`u R kρr ≥ k 1 Q w 2 Q r .

4. D´emonstration du Th´eor`eme 3