La relation entre
β
α
a, F
et
1
α
a, F
83
telle que mr, a, F =
1 2π
Z
2π
ln
+
1 F r e
iθ
− a dθ ,
mr, ∞, F = 1
2π Z
2π
ln
+
F r e
iθ
dθ , 13
et T r, F la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de F. T
H
´
EOR
`
EME
2 [2]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ. Alors pour tout a ∈
β a, F ≤ CQ, λ
p 1
a, F , 14
avec CQ, λ une constante positive qui d´epend uniquement de Q et λ. Il est connu [3] que pour les fonctions m´eromorphes et les fonctions Q-quasi-conformes
d’ordre inf´erieur infini les relations 7 et 14 n’ont pas de sens. Dans la th´eorie de la distribution des valeurs, l’´etude des fonctions Q-quasi-conformes
n´ecessite l’´etude de caract´eristiques plus g´en´erales que celles des valeurs βa, F, 1a, F et δ
a, F. C’est `a dire ce qu’on appelle α-d´efaut et α-valeur de d´eviation [4, p. 78]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme. Posons pour tout α, 0 α ≤ 1
1
α
a, F =
lim sup
r→+∞
mr, a, F T
α
r, F ,
β
α
a, F =
lim inf
r→+∞
Lr, a, F T
α
r, F ,
o`u Lr, a, F, T r, F et mr, a, F sont d´ej`a d´efinis en 9, 10 et 13.
2. R´esultat Principal
Le r´esultat essentiel de cet article est T
H
´
EOR
`
EME
3. Si F est une fonction Q-quasi-conforme pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ
, alors pour tout γ , 0 γ ≤ 1 et tout a ∈ β
1+γ 2
a, F ≤ CQ, λ q
1
γ
a, F , 15
o`u CQ, λ est une constante positive qui d´epend uniquement de Q et λ. Ce r´esultat g´en´eralise le th´eor`eme 2 qu’on retrouve pour γ = 1, de plus, il est une extension
du th´eor`eme 1 de V.P. Petrenko aux fonctions Q-quasi-conformes.
3. Notions et lemmes pr´eliminaires
Soit χ z une transformation Q-quasi-conforme du plan z au plan w telle que χ
0 = 0 , χ
1 = 1 , χ
∞ = ∞ , 16
84 B. Bela¨ıdi
et z = χ
− 1
w la transformation r´eciproque. Posons r 0, ρ 0
ρ r = max
| z|=r
|χz| , ρ
r = min
| z|=r
|χz| , Rρ = max
|w|=ρ
|χ
− 1
w | ,
Rρ = min
|w|=ρ
|χ
− 1
w | ,
w Q = sup
{χ }
sup
0r∞
ρ r
ρ r
†
, telle que {χ} la famille des transformations Q-quasi-conformes qui v´erifie la relation 16. Soient
χ r
= pr e
iθ r
= pe
iθ
, D
θ, R
= n
z : | arg z| θ, |z| R, 0 θ π
4 ,
R R o
, χ
D
θ, R
= D
⋆ θ,
R
. L
EMME
1 [4], L
EMME
2.3. Pour tout r fix´e tel que r 1 + sin θ ≤ R le domaine D
⋆ θ,
R
contient le disque ferm´e h
v r
= n
w :
w − pre
iθ r
≤ pr e
− 7Q
sin
Q
θ = vr, θ
o .
17 L
EMME
2 [5],
P
. 70. Soit χ z une transformation Q-quasi-conforme du disque K = {z : |z| ≤ 1} au disque {w : |w| ≤ 1}, telle que χ0 = 0 et soient
K
1
⊂ K , K
⋆ 1
= χK
1
, 3
K
1
= RR
K
1
dr r
dϕ , 3
K
1
∞ . Alors
1 Q
3 K
1
≤ 3K
⋆ 1
≤ Q3K
1
. 18
C
OROLLAIRE
1. Soient les conditions du Lemme 2 v´erifi´ees et |J z| =
dσ ln χ z dσ ln z
= z
χ z
2
|J χz| . Alors il existe K
1
, tel que 3K
1
= 0, et pour z ∈ K
1
on a l’in´egalit´e |J z| ≤ Q. D´emonstration. Soit l’ensemble
K
1
= {z : 0 |z| ≤ 1, |J z| Q} . Il est ´evident que l’ensemble K
1
est ouvert car J est continue dans K
1
. Soit 3K
1
0. On peut supposer 3K
1
∞ car dans le cas contraire, on peut prendre une partie de K
1
qui v´erifie cette relation. Nous avons
3 K
⋆ 1
= Z Z
K
⋆ 1
dρ ρ
dψ = Z Z
K
1
|J z| dr
r dϕ Q3K
1
ce qui contredit le Lemme 2.
†
w Q ≤ e
π Q
[5]
La relation entre
β
α
a, F
et
1
α
a, F
85
L
EMME
3 [6]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme. Alors pour tout τ ,
1 e
τ 1 et
tout a nτ R, a, F ≤
CQ 1 − τ
Q+1
T 1
τ R, F
+ CQ
1 − τ
Q
, 19
o`u nr, a, F est d´ej`a d´efini en 11. L
EMME
4 [4], § 4 4.3. Soit Br, y, d = ln
r
y
+ |d|
y
r
y
− |d|
y
+ ln
1 Q+1
r
y
+ |d|
y
r
y
− |d|
y
, tel que y =
π 2θ
, 0 θ
π 4
d’o`u y 2. Alors Z
k R R
1 r
ln r
y
+ |d|
y
r
y
− |d|
y
+ ln
1 Q+1
r
y
+ |d|
y
r
y
− |d|
y
dr ≤ C
y .
20 L
EMME
5. Pour tout k fix´e, k ≥ 1 et pour tout r 0, on a R
kρr ≥
k
1 Q
w
2
Q r , k ≥ 1 .
21 D´emonstration. Soit k ≥ 1. Pour r, 0 r +∞, on a
R kρr
≥ R ρ
r .
Soit D le domaine doublement connexe dans le plan z ayant pour fronti`eres χ
− 1
α
ρ r
et χ
− 1
α
kρr
tel que α
ρ
= {w : |w| = ρ} et on d´esigne par MD le module de D. En utilisant l’in´egalit´e wQ ≤ e
π Q
, on obtient 1
2π Q ln k ≤ MD ≤
1 2π
ln R
kρr R
ρ r
= 1
2π ln
R kρr
R kρr
R ρ
r R
ρ r
R kρr
R ρ
r
≤
1 2π
ln
w
QwQ R
kρr r
= 1
2π ln
w
2
Q R
kρr r
, d’o`u
R kρr
≥ k
1 Q
w
2
Q r .
4. D´emonstration du Th´eor`eme 3