Position du probl`eme

Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino Vol. 57, 2 1999

B. Bela¨ıdi LA RELATION ENTRE β

α A, F ET 1 α A, F POUR LES FONCTIONS Q-QUASI-CONFORMES Abstract. In this paper, we study more general characteristics than the values of βa, F and 1a, F. That means what is called α-deficiency in the sense of G. Valiron and α-value of deviation in the sense of V.P. Petrenko of Q-quasi- conformal functions. R´esum´e. Dans cet article on ´etudie des caract´eristiques plus g´en´erales que celles des valeurs βa, F et 1a, F. C’est `a dire ce qu’on appelle α-d´efaut au sens de G. Valiron et α-valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko pour les fonctions Q-quasi-conformes.

1. Position du probl`eme

La relation entre la valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko et la valeur du d´efaut au sens de G. Valiron pour les fonctions m´eromorphes et Q-quasi-conformes a ´et´e ´etudi´ee dans plusieurs travaux [1, 2]. Donnons quelques r´esultats dans ce sens. Soit f une fonction m´eromorphe. La valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko est d´efinie par la relation β a, f = lim inf r→+∞ Lr, a, f T r, f , 1 telle que Lr, a, f = max | z|=r ln + 1 | f z − a| , Lr, ∞, f = max | z|=r ln + | f z| , 2 et T r, f la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de f d´efinie par la relation T r, f = 1 2π Z 2π N r, e iθ , f dθ + d f , 3 o`u d f est une constante qui ne d´epend pas de r et N r, a, f = Z r nt, a, f − n0, a, f t dt + n0, a, f ln r , 4 avec nt, a, f d´esigne le nombre de solutions de l’´equation f z = a dans le disque |z| ≤ t. Chacun des z´eros ´etant compt´e avec son ordre de multiplicit´e. La valeur du d´efaut au sens de 81 82 B. Bela¨ıdi G. Valiron est d´efinie par la relation 1 a, f = lim sup r→+∞ mr, a, f T r, f , 5 telle que mr, a, f = 1 2π Z 2π ln + 1 f r e iθ − a dθ , mr, ∞, f = 1 2π Z 2π ln + f r e iθ dθ , 6 et T r, f la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de f . T H ´ EOR ` EME 1 [1], P . 47. Soit f une fonction m´eromorphe pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ. Alors pour tout a ∈ β a, f ≤ Bλ, 1a, f , 7 avec Bλ, 1 = π λ √ 1 2 − 1, si λ ≥ 0.5 ou λ 0.5 et 1 ≤ 1 − cos λπ π λ 1 ctg π λ + tg π λ 2 , si λ 0.5 et 1 1 − cos λπ Soit F une fonction Q-quasi-conforme ∗ . La valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko est d´efinie par la relation β a, F = lim inf r→+∞ Lr, a, F T r, F , 8 telle que Lr, a, F = max | z|=r ln + 1 |Fz − a| , Lr, ∞, F = max | z|=r ln + |Fz| , 9 et T r, F la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de F d´efinie par la relation T r, F = 1 2π Z 2π N r, e iθ , F dθ , 10 avec N r, a, F = Z r 1 nt, a, F t dt , 11 et nt, a, F d´esigne le nombre de solutions de l’´equation Fz = a dans le disque |z| ≤ t. Chacun des z´eros ´etant compt´e avec son ordre de multiplicit´e. La valeur du d´efaut au sens de G. Valiron est d´efinie par la relation 1 a, F = lim sup r→+∞ mr, a, F T r, F , 12 ∗ C’est `a dire la fonction Fz = 8χ z, telle que 8w une fonction m´eromorphe pour w 6= ∞ et w = χ z une transformation Q-quasi-conforme χ 0 = 0, χ ∞ = ∞. La relation entre β α a, F et 1 α a, F 83 telle que mr, a, F = 1 2π Z 2π ln + 1 F r e iθ − a dθ , mr, ∞, F = 1 2π Z 2π ln + F r e iθ dθ , 13 et T r, F la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de F. T H ´ EOR ` EME 2 [2]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ. Alors pour tout a ∈ β a, F ≤ CQ, λ p 1 a, F , 14 avec CQ, λ une constante positive qui d´epend uniquement de Q et λ. Il est connu [3] que pour les fonctions m´eromorphes et les fonctions Q-quasi-conformes d’ordre inf´erieur infini les relations 7 et 14 n’ont pas de sens. Dans la th´eorie de la distribution des valeurs, l’´etude des fonctions Q-quasi-conformes n´ecessite l’´etude de caract´eristiques plus g´en´erales que celles des valeurs βa, F, 1a, F et δ a, F. C’est `a dire ce qu’on appelle α-d´efaut et α-valeur de d´eviation [4, p. 78]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme. Posons pour tout α, 0 α ≤ 1 1 α a, F = lim sup r→+∞ mr, a, F T α r, F , β α a, F = lim inf r→+∞ Lr, a, F T α r, F , o`u Lr, a, F, T r, F et mr, a, F sont d´ej`a d´efinis en 9, 10 et 13.

2. R´esultat Principal