Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino Vol. 57, 2 1999
B. Bela¨ıdi LA RELATION ENTRE β
α
A, F ET 1
α
A, F POUR LES FONCTIONS Q-QUASI-CONFORMES
Abstract. In this paper, we study more general characteristics than the values of βa, F and 1a, F. That means what is called α-deficiency in the sense
of G. Valiron and α-value of deviation in the sense of V.P. Petrenko of Q-quasi- conformal functions.
R´esum´e. Dans cet article on ´etudie des caract´eristiques plus g´en´erales que celles des valeurs βa, F et 1a, F. C’est `a dire ce qu’on appelle α-d´efaut au sens de
G. Valiron et α-valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko pour les fonctions Q-quasi-conformes.
1. Position du probl`eme
La relation entre la valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko et la valeur du d´efaut au sens de G. Valiron pour les fonctions m´eromorphes et Q-quasi-conformes a ´et´e ´etudi´ee dans
plusieurs travaux [1, 2]. Donnons quelques r´esultats dans ce sens.
Soit f une fonction m´eromorphe. La valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko est d´efinie par la relation
β a, f = lim inf
r→+∞
Lr, a, f T r, f
, 1
telle que Lr, a, f = max
| z|=r
ln
+
1 | f z − a|
, Lr, ∞, f = max
| z|=r
ln
+
| f z| , 2
et T r, f la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de f d´efinie par la relation T r, f =
1 2π
Z
2π
N r, e
iθ
, f
dθ + d f , 3
o`u d f est une constante qui ne d´epend pas de r et N r, a, f =
Z
r
nt, a, f − n0, a, f t
dt + n0, a, f ln r , 4
avec nt, a, f d´esigne le nombre de solutions de l’´equation f z = a dans le disque |z| ≤ t. Chacun des z´eros ´etant compt´e avec son ordre de multiplicit´e. La valeur du d´efaut au sens de
81
82 B. Bela¨ıdi
G. Valiron est d´efinie par la relation 1
a, f = lim sup
r→+∞
mr, a, f T r, f
, 5
telle que mr, a, f =
1 2π
Z
2π
ln
+
1 f r e
iθ
− a dθ ,
mr, ∞, f = 1
2π Z
2π
ln
+
f r e
iθ
dθ , 6
et T r, f la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de f . T
H
´
EOR
`
EME
1 [1],
P
. 47. Soit f une fonction m´eromorphe pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ. Alors pour tout a ∈
β a, f ≤ Bλ, 1a, f ,
7 avec
Bλ, 1 = π λ
√ 1
2 − 1, si λ ≥ 0.5 ou λ 0.5 et 1 ≤ 1 − cos λπ
π λ 1
ctg π λ + tg
π λ 2
, si λ 0.5 et 1 1 − cos λπ
Soit F une fonction Q-quasi-conforme
∗
. La valeur de d´eviation au sens de V.P. Petrenko est d´efinie par la relation
β a, F = lim inf
r→+∞
Lr, a, F T r, F
, 8
telle que Lr, a, F = max
| z|=r
ln
+
1 |Fz − a|
, Lr, ∞, F = max
| z|=r
ln
+
|Fz| , 9
et T r, F la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de F d´efinie par la relation T r, F =
1 2π
Z
2π
N r, e
iθ
, F
dθ , 10
avec N r, a, F =
Z
r 1
nt, a, F t
dt , 11
et nt, a, F d´esigne le nombre de solutions de l’´equation Fz = a dans le disque |z| ≤ t. Chacun des z´eros ´etant compt´e avec son ordre de multiplicit´e. La valeur du d´efaut au sens de
G. Valiron est d´efinie par la relation
1 a, F = lim sup
r→+∞
mr, a, F T r, F
, 12
∗
C’est `a dire la fonction Fz = 8χ z, telle que 8w une fonction m´eromorphe pour w 6= ∞ et w = χ
z une transformation Q-quasi-conforme χ 0 = 0, χ ∞ = ∞.
La relation entre
β
α
a, F
et
1
α
a, F
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telle que mr, a, F =
1 2π
Z
2π
ln
+
1 F r e
iθ
− a dθ ,
mr, ∞, F = 1
2π Z
2π
ln
+
F r e
iθ
dθ , 13
et T r, F la fonction caract´eristique de R. Nevanlinna de F. T
H
´
EOR
`
EME
2 [2]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme pour z 6= ∞, d’ordre inf´erieur fini λ. Alors pour tout a ∈
β a, F ≤ CQ, λ
p 1
a, F , 14
avec CQ, λ une constante positive qui d´epend uniquement de Q et λ. Il est connu [3] que pour les fonctions m´eromorphes et les fonctions Q-quasi-conformes
d’ordre inf´erieur infini les relations 7 et 14 n’ont pas de sens. Dans la th´eorie de la distribution des valeurs, l’´etude des fonctions Q-quasi-conformes
n´ecessite l’´etude de caract´eristiques plus g´en´erales que celles des valeurs βa, F, 1a, F et δ
a, F. C’est `a dire ce qu’on appelle α-d´efaut et α-valeur de d´eviation [4, p. 78]. Soit F une fonction Q-quasi-conforme. Posons pour tout α, 0 α ≤ 1
1
α
a, F =
lim sup
r→+∞
mr, a, F T
α
r, F ,
β
α
a, F =
lim inf
r→+∞
Lr, a, F T
α
r, F ,
o`u Lr, a, F, T r, F et mr, a, F sont d´ej`a d´efinis en 9, 10 et 13.
2. R´esultat Principal