12 Jika fungsi
, ∀ = 1,2,3, … , bernilai nol, maka Sistem 2.14 disebut sebagai sistem persamaan diferensial homogen. Jika tidak demikian, maka Sistem
2.14 disebut sebagai sistem persamaan diferensial nonhomogen. Boyce DiPrima, 2010: 357
2.4 Solusi Sistem Persamaan Diferensial
Berikut ini diberikan definisi solusi dari sistem persamaan diferensial.
Definisi 2.7 Perko, 2001:71
Diberikan � ∈ dengan L himpunan terbuka dari
. Selanjutnya disebut solusi dari sistem 2.12 pada interval , jika
terdiferensial pada , ∀ ∈ , ∈ , dan berlaku
= � . Diberikan
� ∈ yang dilengkapi dengan nilai awal ∈ , dengan
himpunan terbuka dan diberikan sistem persamaan diferensial = �
= . 2.15
= disebut solusi dari sistem 2.15 pada interval I jika
∈ dan =
.
2.5 Titik Ekuilibrium
Definisi 2.8 Wiggins, 2003:5
Diberikan sistem autonomous = � , ϵ
n
2.16 Titik
� disebut titik ekuilibrium dari sistem 2.16
jika � = 0.
2.17
13
Contoh 2.6
Akan dicari titik ekuilibrium dari sistem
1
=
1
− 2
2 2
=
1
+
1 2
. 2.18
Misal
1
=
1
− 2
2
dan
2
=
1
+
1 2
. Akan dicari
1
dan
2
sedemikian sehingga
1 1
,
2
= 0 dan
2 1
,
2
= 0. Untuk
2
= 0 diperoleh
1
+
1 2
= 0
1
1 +
2
= 0
1
= 0 ∨
2
= −1
Substitusikan
1
= 0 ke dalam
1
= 0, maka diperoleh
2
= 0 dan substitusikan
2
= −1 ke dalam
1
= 0, maka diperoleh
1
= −2. Jadi, Sistem 2.18
memiliki dua titik ekuilibrium yaitu
1
= 0,0 dan
2
= −2, −1 .
2.6 Linearisasi
Untuk mendapatkan solusi masalah yang berbentuk sistem nonlinear tidaklah mudah sehingga perlu linearisasi untuk menganalisis sistem nonlinear
dengan menggambarkan perilaku sistem disekitar titik ekulibriumnya. Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear:
= � 2.19 dengan
∈ ⊆ ,
�: → . Misal
=
1
,
2
, ,
adalah titik ekuilibrium dari sistem 2.19. Deret Taylor dari
� disekitar titik ekuilibriumnya yaitu:
14
1 1
,
2
, … , ≅
1 1
,
2
, … , +
1 1
1
,
2
, … ,
1
−
1
+ +
1
1
,
2
, … , − +
1
2 1
,
2
, … , ≅
2 1
,
2
, … , +
2 1
1
,
2
, … ,
1
−
1
+ +
2
1
,
2
, … , − +
2
2.20
1
,
2
, … , ≅
1
,
2
, … , +
1
1
,
2
, … ,
1
−
1
+ +
1
,
2
, … , − +
Pendekatan linear untuk Sistem 2.20 adalah
1
=
1 1
1
,
2
, … ,
1
−
1
+
1 2
1
,
2
, … ,
2
−
2
+ +
1
1
,
2
, … , − +
1
2
=
2 1
1
,
2
, … ,
1
−
1
+
2 2
1
,
2
, … ,
2
−
2
+ +
2
1
,
2
, … , − +
2
2.21
=
1
1
,
2
, … ,
1
−
1
+
2
1
,
2
, … ,
2
−
2
+ +
1
,
2
, … , − +
dengan
1
,
2
, … ,
disebut sebagai bagian nonlinear yang selanjutnya dapat diabaikan karena nilai
1
,
2
, … ,
mendekati nol. Sistem 2.21 dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
1 2
=
1 1
1
,
2
, … ,
1 2
1
,
2
, … ,
1 1
,
2
, … ,
2 1
1
,
2
, … ,
2 2
1
,
2
, … ,
2 1
,
2
, … ,
1 1
,
2
, … ,
2 1
,
2
, … ,
1
,
2
, … ,
1
−
1 2
−
2
−
2.22
Misalkan
1
=
1
−
1
,
2
=
2
−
2
, … ,
= − sehingga
1
=
1
,
2
=
2
, … , = , maka diperoleh:
1 2
=
1 1
1
,
2
, … ,
1 2
1
,
2
, … ,
1 1
,
2
, … ,
2 1
1
,
2
, … ,
2 2
1
,
2
, … ,
2 1
,
2
, … ,
1 1
,
2
, … ,
2 1
,
2
, … ,
1
,
2
, … ,
1 2
2.23
15 Dengan
=
1 1
1
,
2
, … ,
1 2
1
,
2
, … ,
1
1
,
2
, … ,
2 1
1
,
2
, … ,
2 2
1
,
2
, … ,
2
1
,
2
, … ,
1
1
,
2
, … ,
2
1
,
2
, … ,
1
,
2
, … ,
disebut sebagai matriks Jacobian pada titik ekuilibrium
1
,
2
, … , .
Definisi 2.9 Perko, 2001: 102
Titik ekuilibrium � ∈ disebut titik ekuilibrium hiperbolik dari Sistem 2.19 jika
bagian real dari matriks � � ≠ 0. Jika bagian real dari nilai eigen � �
bernilai nol, maka titik ekuilibrium � disebut nonhiperbolik.
Akibatnya, kestabilan titik ekuilibrium Sistem 2.19 dapat dilihat dari sistem hasil linearisasi yaitu
= 2.24
2.7 Kestabilan Titik Ekuilibrium
Definisi 2.10 Olsder, 2004:57
Misalkan adalah titik ekuilibrium dari Sistem 2.19
i Titik ekuilibrium
stabil jika untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian
sehingga untuk
− , maka berlaku − untuk setiap
. ii
Titik ekuilibrium stabil asimtotik jika stabil dan jika terdapat
1
0 sedemikian sehingga
→∞
− = 0 asalkan −
1
. iii
Titik ekuilibrium tidak stabil jika tidak memenuhi i.
Berikut ini diberikan gambar yang bersesuaian dengan Definisi 2.10.
16 Berikut ini diberikan teorema untuk menganalisis kestabilan dengan
menggunakan nilai eigen.
Teorema 2.1 Olsder, 2004:58
Diberikan sistem persamaan diferensial linear =
, dengan adalah
matriks berukuran × , mempunyai
nilai eigen yang berbeda
1
,
2
,
3
, … , dan
. i
Titik ekuilibrium = 0 stabil asimtotik jika dan hanya jika
0, ∀ = 1,2,3, … , .
ii Titik ekuilibrium
= 0 stabil jika dan hanya jika 0, ∀ =
1,2,3, … , dan jika setiap nilai eigen imajiner dengan
= 0, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.
iii Titik ekuilibrium = 0 tidak stabil jika dan hanya jika
0,
∃
= 1,2,3,
… , atau jika ada imajiner dengan
= 0, maka multiplisitas aljabar lebih dan multiplisitas geometri untuk nilai eigen
tidak sama.
Stabil Stabil Asimtotik
Tidak Stabil
17 Bukti:
1. Pembuktian i akan dilakukan dari kanan dan dari kiri
a. Jika titik ekuilibrium = 0 stabil asimtotik, maka
0, ∀ = 1,2,3,
… , . Bukti:
Karena merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial,
maka memuat
, dengan =
, ∀ = 1,2,3, … , . Berdasarkan definisi 2.9, jika titik ekuilibrium
= 0 stabil asimtotik, maka
→∞
− = 0 . Hal itu berarti bahwa untuk → ∞,
akan menuju = 0. Dengan demikian, untuk yang
menuju = 0, maka harus bernilai negatif.
b. Jika
0, ∀ = 1,2,3, … , , maka titik ekuilibrium = 0 stabil asimtotik.
Bukti: Diketahui bahwa
0, ∀ = 1,2,3, … , , maka untuk → ∞, akan menuju
= 0, sehingga berdasarkan definisi 2.13, titik ekuilibrium
= 0 stabil asimtotik. 2.
Pembuktian ii akan dilakukan dari kanan dan dari kiri a.
Jika titik ekuilibrium = 0 stabil maka 0, ∀ = 1,2,3, … , . Bukti:
Diketahui bahwa titik ekuilibrium = 0 stabil. Andaikan e λ
i
0, maka untuk → ∞,
akan menuju ∞ yang berarti menjauhi
= 0, oleh karena itu sistem tidak stabil. Hal tersebut kontradiksi
18 dengan yang diketahui. Jadi terbukti bahwa
0, ∀ = 1,2,3,
… , . b.
Jika 0, ∀ = 1,2,3, … , maka titik ekuilibrium = 0 stabil
dan jika ada = 0, maka multiplisitas aljabar dan geometri
untuk nilai eigen harus sama. Bukti:
Karena merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial,
maka memuat
, dengan =
, ∀ = 1,2,3, … , . Jika
0, untuk → ∞, akan menuju
= 0. Dengan demikian titik ekuilibrium
= 0 stabil asimsotik. Sistem yang stabil asimtotik pasti stabil, maka terbukti bahwa titik ekuilibrium
= 0 stabil
. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika ada
= 0, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.
Apabila = 0, maka nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Menurut
Luenberger 1979: 85, bahwa multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen dan multiplisitas geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena
itu akan dibuktikan banyak nilai eigen dan vektor eigen sama. Ambil sebarang sistem pada
2
yang memiliki nilai eigen bilangan kompleks murni,
= −
2.25 dengan
0 dan 0.
19 Akan dicari nilai eigen dari sistem 2.25 sebagai berikut,
Misalkan =
− dan nilai eigen, maka berlaku
− = 0 −
0 − 1
1 = 0
− 0 −
= 0 −
− −
= 0 2.26
Persamaan karakteristik dari 2.26 yaitu
2
+ = 0
2.27 Akar dari Persamaan 2.27 yaitu
1,2
= ±
−4 2
= ±2
2 = ±
Diperoleh nilai eigen yaitu
1
= − dan
2
= .
Akan dicari vektor eigen untuk
1
= −
−
1 2
= Matriks augmented
−
1
~
2
− 1
1
20 1
−
2
−
1
1
1
1 2
=
Sehingga diperoleh
1
+
2
= 0
1
= −
2
misal
2
= , maka
1
= −
.
1 2
= −
ambil = 1 maka,
1 2
= − 1
Diperoleh vektor eigen �
1
= −
1 .
Akan dicari vektor eigen untuk
2
= sebagai berikut,
− −
−
1 2
= Matriks augmented
21 −
− −
1
~
2
− −
− 1
1
1 −
− −
2
+
1
1 −
1 −
1 2
=
diperoleh
1
−
2
= 0
1
=
2
misal
2
= , maka
1
= ,
1 2
=
ambil = 1, maka
1 2
= 1
Diperoleh vektor eigen �
2
= 1
.
22 Dari pembuktian di atas, terdapat dua vektor eigen
�
1
dan
�
2
, sehingga terbukti bahwa banyaknya nilai eigen dan vektor eigen sama yaitu sebanyak 2.
3. Pembuktian iii akan dilakukan dari kanan dan dari kiri
a. Jika titik ekuilibrium = 0 tidak stabil maka
0, ∀ = 1,2,3,
… , . Titik ekulibrium tidak stabil apabila untuk
→ ∞, maka akan
menuju ∞. Hal tersebut akan terjadi jika e λ
i
0. b.
Jika 0, ∀ = 1,2,3, … , maka titik ekuilibrium = 0 tidak
stabil. Apabila
0, maka yang memuat
akan selalu menuju
∞, sehingga mengakibatkan titik ekuilibrium tidak stabil.∎
23
2.8 Potret Fase Sistem Linear
