66 stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
2 2
∗
, 0 memiliki jenis titik source node. ii
Diketahui bahwa
2
0,
2 2
− 4
2
0 dan
2
0, maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya negatif, sehingga berdasarkan Kasus III titik ekuilibrium
2 2
∗
, 0 berupa fokus. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
2 2
∗
, 0 stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
2 2
∗
, 0 berupa fokus dan stabil asimtotik sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
2 2
∗
, 0 memiliki jenis titik fokus sink.
Sementara itu, jika
2
0 maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya positif, sehingga
berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
2 2
∗
, 0 berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
2 2
∗
, 0 tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
2 2
∗
, 0 berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
2 2
∗
, 0 memiliki jenis titik fokus source.
3.4.2 Kestabilan Lokal Titik Ekuilibrium Terinfeksi Tumor
1. Untuk titik ekuilibrium terinfeksi tumor
3 3
∗
,
2 ∗
, substitusi
3 3
∗
,
2 ∗
ke dalam 3.29 diperoleh matriks jacobian terinfeksi tumor:
67
3
= −
2
+ �
3 3
∗
+
2
−
2 ∗
2 ∗
+
2
1 − 2
2 ∗
2
−
2 3 ∗
2 ∗
+
2 2
3.36
Persamaan karakteristik dari 3.36 yaitu
3
− = 0, dengan matriks identitas dan nilai eigen adalah
2
−
�
3 3
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
2 ∗
2
−
2 3 ∗
2 ∗
+
2 2
+
�
3 3
∗
+
2
− 2
− 2
∗ 2− 2 3∗ 2∗+ 22+ 2
∗ 2∗+ 2=0 3.37
Persamaan 3.37 dapat ditulis sebagai berikut:
2
−
3
+
3
= 0 3.38 dengan:
3
=
�
3 3
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
2 ∗
2
−
2 3 ∗
2 ∗
+
2 2
3
=
�
3 3
∗
+
2
−
2
1 − 2
2 ∗
2
−
2 3 ∗
2 ∗
+
2 2
+
2 ∗
2 ∗
+
2
Diperoleh nilai eigen dari Persamaan 3.38 yaitu
1,2
=
3
±
3 2
− 4
3
2
3
adalah determinan dari matriks
3
dan
3
adalah trace dari matriks
3
. Berdasarkan Teorema 2.2, bahwa: i
Jika
3
0 dan
3 2
− 4
3
0 maka titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa node, dan jika
3
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Jika
3
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
tidak stabil.
68 ii
Jika
3
0,
3 2
− 4
3
0 dan
3
≠ 0 maka titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa fokus, dan jika
3
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Jika
3
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
tidak stabil. Bukti:
Perhatikan bahwa nilai eigen dari Persamaan 3.32 yaitu
1,2
=
3
±
3 2
− 4
3
2 i
Diketahui bahwa
3
0,
3 2
− 4
3
0 dan
3
0, maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real negatif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa node dan stabil asimtotik, sehingga berdasarkan Definisi 2.12
titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik sink node. Sementara itu, jika
3
0 maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real positif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik
ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik source node. ii
Diketahui bahwa
3
0,
3 2
− 4
3
0 dan
3
0, maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya
69 negatif, sehingga berdasarkan Kasus III titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa fokus. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa fokus dan stabil asimtotik sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik fokus sink. Sementara itu, jika
3
0 maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya positif, sehingga
berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
3 3
∗
,
2 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
3 3
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik fokus source.
2. Untuk titik ekuilibrium terinfeksi tumor
4 4
∗
,
2 ∗
, substitusi
4 4
∗
,
2 ∗
ke dalam 3.29 diperoleh matriks jacobian terinfeksi tumor:
4
= −
2
+ �
3 4
∗
+
2
−
2 ∗
2 ∗
+
2
1 − 2
2 ∗
2
−
2 4 ∗
2 ∗
+
2 2
3.39
Persamaan karakteristik dari 3.39 yaitu
3
− = 0, dengan matriks identitas dan nilai eigen adalah
70
2
−
�
3 4
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
2 ∗
2
−
2 4 ∗
2 ∗
+
2 2
+
�
3 4
∗
+
2
− 2
− 2
∗ 2− 2 4∗ 2∗+ 22+ 2
∗ 2∗+ 2=0 3.40
Persamaan 3.40 dapat ditulis sebagai berikut:
2
−
4
+
4
= 0 3.41 dengan:
4
=
�
3 4
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
2 ∗
2
−
2 4 ∗
2 ∗
+
2 2
4
=
�
3 4
∗
+
2
−
2
1 − 2
2 ∗
2
−
2 4 ∗
2 ∗
+
2 2
+
2 ∗
2 ∗
+
2
Diperoleh nilai eigen dari Persamaan 3.41 yaitu
1,2
=
4
±
4 2
− 4
4
2
4
adalah determinan dari matriks
4
dan
4
adalah trace dari matriks
4
. Berdasarkan Teorema 2.2, bahwa: i
Jika
4
0 dan
4 2
− 4
4
0 maka titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa node, dan jika
4
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Jika
4
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
tidak stabil. ii
Jika
4
0,
4 2
− 4
4
0 dan
4
≠ 0 maka titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa fokus, dan jika
4
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Jika
4
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
tidak stabil. Bukti:
Perhatikan bahwa nilai eigen dari Persamaan 3.32 yaitu
1,2
=
4
±
4 2
− 4
4
2
71 i
Diketahui bahwa
4
0,
4 2
− 4
4
0 dan
4
0, maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real negatif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa node dan stabil asimtotik, sehingga berdasarkan Definisi 2.12
titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik sink node. Sementara itu, jika
4
0 maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real positif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik
ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik source node. ii
Diketahui bahwa
4
0,
4 2
− 4
4
0 dan
4
0, maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya negatif, sehingga berdasarkan Kasus III titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa fokus. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa fokus dan stabil asimtotik sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik fokus sink.
72 Sementara itu, jika
4
0 maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya positif, sehingga
berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
4 4
∗
,
2 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
4 4
∗
,
2 ∗
memiliki jenis titik fokus source.
3. Untuk titik ekuilibrium terinfeksi
5 5
∗
,
3 ∗
, substitusi
5 5
∗
,
3 ∗
ke dalam 3.29 diperoleh matriks jacobian terinfeksi:
5
= −
2
+ �
3 5
∗
+
2
−
3 ∗
3 ∗
+
2
1 − 2
3 ∗
2
−
2 5 ∗
3 ∗
+
2 2
3.42
Persamaan karakteristik dari 3.42 yaitu
5
− = 0, dengan matriks identitas dan nilai eigen adalah
2
−
�
3 5
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
3 ∗
2
−
2 5 ∗
3 ∗
+
2 2
+
�
3 5
∗
+
2
− 2
− 3
∗ 2− 2 5∗ 3∗+ 22+ 3
∗ 3∗+ 2=0 3.43
Persamaan 3.43 dapat ditulis sebagai berikut:
2
−
5
+
5
= 0 3.44 dengan:
5
=
�
3 5
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
3 ∗
2
−
2 5 ∗
3 ∗
+
2 2
73
5
=
�
3 5
∗
+
2
−
2
1 − 2
3 ∗
2
−
2 5 ∗
3 ∗
+
2 2
+
3 ∗
3 ∗
+
2
Diperoleh nilai eigen dari Persamaan 3.44 yaitu
1,2
=
5
±
5 2
− 4
5
2
5
adalah determinan dari matriks
5
dan
5
adalah trace dari matriks
5
. Berdasarkan Teorema 2.2, bahwa: i
Jika
5
0 dan
5 2
− 4
5
0 maka titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa node, dan jika
5
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Jika
5
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
tidak stabil. ii
Jika
5
0,
5 2
− 4
5
0 dan
5
≠ 0 maka titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa fokus, dan jika
5
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Jika
5
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
tidak stabil. Bukti:
Perhatikan bahwa nilai eigen dari Persamaan 3.32 yaitu
1,2
=
5
±
5 2
− 4
5
2 i
Diketahui bahwa
5
0,
5 2
− 4
5
0 dan
5
0, maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real negatif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa node dan stabil asimtotik, sehingga berdasarkan Definisi 2.12
titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik sink node.
74 Sementara itu, jika
5
0 maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real positif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik
ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik source node. ii
Diketahui bahwa
5
0,
5 2
− 4
5
0 dan
5
0, maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya negatif, sehingga berdasarkan Kasus III titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa fokus. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa fokus dan stabil asimtotik sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik fokus sink. Sementara itu, jika
5
0 maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya positif, sehingga
berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
5 5
∗
,
3 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
5 5
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik fokus source.
75 4.
Untuk titik ekuilibrium terinfeksi
6 6
∗
,
3 ∗
, substitusi
6 6
∗
,
3 ∗
ke dalam 3.29 diperoleh matriks jacobian terinfeksi:
6
= −
2
+ �
3 6
∗
+
2
−
3 ∗
3 ∗
+
2
1 − 2
3 ∗
2
−
2 6 ∗
3 ∗
+
2 2
3.45
Persamaan karakteristik dari 3.45 yaitu
6
− = 0, dengan matriks identitas dan nilai eigen adalah
2
−
�
3 6
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
3 ∗
2
−
2 6 ∗
3 ∗
+
2 2
+
�
3 6
∗
+
2
− 2
− 3
∗ 2− 2 6∗ 3∗+ 22+ 3
∗ 3∗+ 2=0 3.46
Persamaan 3.46 dapat ditulis sebagai berikut:
2
−
6
+
6
= 0 3.47 dengan:
6
=
�
3 6
∗
+
2
−
2
+ 1 − 2
3 ∗
2
−
2 6 ∗
3 ∗
+
2 2
6
=
�
3 6
∗
+
2
−
2
1 − 2
3 ∗
2
−
2 6 ∗
3 ∗
+
2 2
+
3 ∗
3 ∗
+
2
Diperoleh nilai eigen dari Persamaan 3.47 yaitu
1,2
=
6
±
6 2
− 4
6
2
6
adalah determinan dari matriks
6
dan
6
adalah trace dari matriks
6
. Berdasarkan Teorema 2.2, bahwa:
76 i
Jika
6
0 dan
6 2
− 4
6
0 maka titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa node, dan jika
6
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Jika
6
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
tidak stabil. ii
Jika
6
0,
6 2
− 4
6
0 dan
6
≠ 0 maka titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa fokus, dan jika
6
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Jika
6
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
tidak stabil. Bukti:
Perhatikan bahwa nilai eigen dari Persamaan 3.32 yaitu
1,2
=
6
±
6 2
− 4
6
2 i
Diketahui bahwa
6
0,
6 2
− 4
6
0 dan
6
0, maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real negatif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa node dan stabil asimtotik, sehingga berdasarkan Definisi 2.12
titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik sink node. Sementara itu, jika
6
0 maka nilai eigen
1,2
berupa bilangan real positif, sehingga berdasarkan Kasus II, titik
ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa node dan tidak
77 stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik source node. ii
Diketahui bahwa
6
0,
6 2
− 4
6
0 dan
6
0, maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya negatif, sehingga berdasarkan Kasus III titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa fokus. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
stabil asimtotik. Dengan demikian titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa fokus dan stabil asimtotik sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik fokus sink. Sementara itu, jika
6
0 maka nilai eigen
1,2
berupa konjugat kompleks dengan bagian realnya positif, sehingga
berdasarkan Kasus II, titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa node. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa jika
1,2
0 maka
6 6
∗
,
3 ∗
tidak stabil. Dengan demikian titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
berupa node dan tidak stabil, sehingga berdasarkan Definisi 2.12 titik ekuilibrium
6 6
∗
,
3 ∗
memiliki jenis titik fokus source.
78
3.5 Kestabilan Global Titik Ekuilibrium Bebas Tumor
