7
BAB II LANDASAN TEORI
Pada bab ini, diuraikan mengenai landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya. Landasan teori yang dibahas pada bab ini meliputi pengertian
dari nilai eigen, vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, linearisasi, kestabilan, pemodelan matematika, model predator-prey, mekanisme
Michaelis Menten, sistem imun dan terapi gen.
2.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.1 Anton H., 1995:277
Misal A adalah matriks × , maka vektor
ϵℂ , ≠ 0 disebut vektor eigen dari jika
adalah kelipatan skalar dari yaitu, =
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen matriks yang berukuran × maka
= ditulis sebagai berikut
= atau secara ekuivalen
− = 0 2.1
dengan adalah matriks identitas.
8 Menurut Anton 1995, agar menjadi nilai eigen, maka harus ada solusi
nontrivial dari Persamaan 2.1. Persamaan 2.1 akan mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika
− = 0 2.2
Persamaan 2.2 disebut persamaan karakteristik dari .
2.2 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial secara umum didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.2 Ross, 1984:3
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.1
Persamaan berikut ini merupakan contoh persamaan diferensial: = 2
2.3
2 2
+ 2 + 3 = 0
2.4 3
+ 4
2
= 0 2.5
2 2
+ + 3 = 0
2.6
+ =
2.7
2 2
+
2 2
+
2 2
= 0 2.8
Definisi 2.3 Ross, 1984:4
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan
turunan dari satu atau lebih veriabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
9
Contoh 2.2
Persamaan 2.3, 2.4, 2.5, dan 2.6 merupakan persamaan diferensial biasa.
Definisi 2.4 Ross, 1984:4
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau
lebih variabel bebas.
Contoh 2.3
Persamaan 2.7 dan 2.8 merupakan persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.5 Ross, 1984:102
Persamaan diferensial linear orde- dengan variabel bebas dan variabel tak bebas x dan adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
+ +
1 −1
−1
+
1 −1
−1
+ +
−1
+
−1
+ +
=
2.9 dengan
, ≠ 0,
, ,
1
,
1
, … , ,
dan kontinu pada interval I,
∀ .
Contoh 2.4
Persamaan 2.3 dan 2.4 merupakan persamaan diferensial linear.
Definisi 2.6 Ross, 1984:5
Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tak linear.
Contoh 2.5
Persamaan 2.5 dan 2.6 merupakan persamaan diferensial nonlinear.
10
2.3 Sistem Persamaan Diferensial
Kategori