10
2.3 Sistem Persamaan Diferensial
Diberikan persamaan diferensial berbentuk = , 2.10
dimana = menyatakan turunan terhadap dan ∈ ⊆
, : →
, adalah himpunan terbuka dari
. Persamaan 2.10 disebut sebagai persamaan non autonomus karena terdapat
variabel bebas yang muncul secara eksplisit. Jika variabel bebas pada Persamaan 2.10 implisit, maka Persamaan 2.10 menjadi
= 2.11 Selanjutnya Persamaan 2.11 disebut sebagai persamaan autonomus.
Diberikan =
1
,
2
,
3
, … , dengan ∈
dan
1
,
2
,
3
, … ,
∈ , dan misal
= , maka =
1
,
2
,
3
, … ,
. Diberikan sistem autonomus
= � 2.12 Sistem 2.12 merupakan sistem persamaan diferensial dengan variabel bebas
yang implisit dan adalah variabel tak bebas yang merupakan fungsi dalam , dengan
∈ ⊆ ,
�: → , merupakan himpunan terbuka dari
dan � ∈
1
dengan
1
notasi untuk himpunan semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu di
. Sistem 2.12 dapat ditulis sebagai berikut:
11
1
=
1 1
,
2
,
3
, … ,
2
=
2 1
,
2
,
3
, … ,
3
=
3 1
,
2
,
3
, … ,
2.13 =
1
,
2
,
3
, … ,
Jika pada Sistem 2.13, fungsi ,
∀ = 1,2,3, … , merupakan fungsi linear, maka Sistem 2.13 disebut sebagai sistem persamaan diferensial linear. Jika tidak
demikian, maka Sistem 2.13 merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear. Sistem persamaan diferensial linear orde 1 memiliki bentuk normal yaitu:
1
=
11 1
+
12 2
+ +
1
+
1 2
=
21 1
+
22 2
+ +
2
+
2 3
=
31 1
+
32 2
+ +
3
+
3
2.14 =
1 1
+
2 2
+ +
+ Sistem Persamaan 2.14 dapat dituliskan dalam bentuk vektor yaitu
= +
�
dengan:
=
11 12
1 21
22 2
1 2
⋱ , =
1 2
dan � =
1 2
12 Jika fungsi
, ∀ = 1,2,3, … , bernilai nol, maka Sistem 2.14 disebut sebagai sistem persamaan diferensial homogen. Jika tidak demikian, maka Sistem
2.14 disebut sebagai sistem persamaan diferensial nonhomogen. Boyce DiPrima, 2010: 357
2.4 Solusi Sistem Persamaan Diferensial
Berikut ini diberikan definisi solusi dari sistem persamaan diferensial.
Definisi 2.7 Perko, 2001:71
Diberikan � ∈ dengan L himpunan terbuka dari
. Selanjutnya disebut solusi dari sistem 2.12 pada interval , jika
terdiferensial pada , ∀ ∈ , ∈ , dan berlaku
= � . Diberikan
� ∈ yang dilengkapi dengan nilai awal ∈ , dengan
himpunan terbuka dan diberikan sistem persamaan diferensial = �
= . 2.15
= disebut solusi dari sistem 2.15 pada interval I jika
∈ dan =
.
2.5 Titik Ekuilibrium
Kategori