�
51
≥ 150 �
51
≤ 207 �
61
≥ 45 �
62
≤ 50 0,2401
�
12
+ 0,1864 �
22
≥ 8.032 0,966
�
12
+ �
22
≤ 54.720 �
12
= 26.500 �
22
≤ 9.000 �
42
= 228 + �
32
− 8.032 �
42
≥ 1.199 �
42
≤ 1.500 �
52
≥ 150 �
52
≤ 305 �
62
≥ 45 �
62
≤ 50 X
11
, X
21
, X
12
, X
22
, X
31
, X
41
, X
32
, X
42
, X
51
, X
52
, X
61
, X
62
≥ 0
5.2.5. Formulasi Model Linear Programming
Didalam menyelesaikan persoalan programa linier dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk standar, yaitu
bentuk yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1.
Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan bertanda = dengan ruas kanan yang nonnegatif.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2. Seluruh variabel harus merupakan variabel nonnegatif.
3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi.
Untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar kedalam bentuk standar ini dapat dilakukan dengan cara-cara sebagai berikut:
Fungsi Tujuan : ��� � = � 1.936.620�
11
+ 1.567.890 �
21
+ 1.895.290 �
12
+ 1.471.970 �
22
+ 369.174 �
31
+ 55.380 �
41
+ 403.575 �
32
+ 60.540 �
42
+ 4.697.520 �
51
+ 5.226.520 �
52
+ 20.243.679 �
61
+ 29.441.194 �
62
+ 0S
1
+0S
2
+0S
3
+ 0S
4
+0S
5
+ 0S
6
+ 0S
7
+0S
8
+ 0S
9
+ 0S
10
+ 0S
11
+ 0S
12
+ 0S
13
+0S
14
+ 0S
15
+ 0S
16
+MA
1
+MA
2
+MA
3
+ MA
4
+MA
5
, +MA
6
+ MA
7
+ MA
8
, +MA
9
+ MA
10
+ MA
11
+ MA
12
Fungsi Pembatas : 0,2422
�
11
+ 0,196 �
21
− �1 + �
1
= 5.272 0,978
�
11
+ �
21
+ �
2
= 53.280 �
11
+ �
2
= 20.195 �
21
+ �
3
= 4.501 �
31
− �
41
+ �
3
= 4.885 �
41
− �
4
+ �
4
= 875 �
41
+ �
5
= 1.500 �
51
− �
6
+ �
5
= 150 �
51
+ �
7
= 207
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
�
61
− �
8
+ �
6
= 45 �
61
+ �
9
= 50 0,2401
�
12
+ 0,1864 �
22
+ �
7
= 8.032 0,966
�
12
+ �
22
+ �
10
= 54.720 �
12
+ �
8
= 26.500 �
22
+ �
11
= 9.000 �
32
− �
42
+ �
9
= 7.804 �
42
− �
13
+ �
12
= 1.199 �
42
+ �
13
= 1.500 �
52
−�
14
+ �
11
= 150 �
52
+ �
15
= 305 �
62
−�
16
+ �
12
= 45 �
62
+ �
17
= 50 X
11
, X
21
, X
12
, X
22
, X
31
, X
41
, X
32
, X
42
, X
51
, X
52
, X
61
, X
62
, S
1
, S
2
, S
3
, S
4
, S
5
, S
6
, S
7
, S
8
, S
9
, S
10
, S
11
, S
12
, S
13
, S
14
, S
15
, S
16
, S
17
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
, A
7
, A
8
, A
9
, A
10
A
11
, A
12
≥ 0
5.2.6. Penyelesaian Fungsi Linear Programming dengan Software QM dan
LiPs
Penyelesaian fungsi linear programming metode simpleks ini diselesaikan dengan menggunakan software QM. Penyelesaian untuk triwulan 1 dapat dilihat
sebagai berikut :
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
a. Tabel Awal
Tabel 5.11. Tabel Awal
Minimize X
11
X
21
X
12
X
22
X
31
X
41
X
32
X
42
X
51
X
52
X
61
X
62
RHS 1.936.620 1.567.890 1.895.290 1.471.970 369.174 55.380 403.575 60.540 4.697.520 5.226.520 20.243.679 29.441.190
C
1
≥ 5.272
C 1
2
1 ≤ 53.280
C 1
3
= 20,195
C
4
1 ≤
4.501 C
5
1 -1
= 4.885
C
6
1 ≥
875 C
7
1 ≤
1.500 C
8
1 ≥
150 C
9
1 =
207 C
10
1 ≥
45 C
11
1 ≤
50 C
12
≥ 8.032
C
13
1 1
≤ 54.720 C
14
1 =
26.500 C
15
1 ≤
9.000 C
16
1 -1
= 7.804
C
17
1 ≥
1.199 C
18
1 ≤
1.500 C
19
1 ≥
150 C
20
1 ≤
305 C
21
1 ≥
45 C
22
1 ≤
50
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Solusi optimal dari software QM dapat dilihat pada Tabel 5.12.
Tabel 5.12. Solusi Optimal dengan Software QM Variable
Status Value
X Basic
11
20.195 X
Basic
21
1.942.709 X
Basic
12
26.500 X
Basic
22
8.955.741 X
Basic
31
5.760 X
Basic
41
875 X
Basic
32
9.003 X
Basic
42
1.199 X
Basic
51
150 X
Basic
52
150 X
Basic
61
45 X
Basic
62
45 surplus 1
NONBasic slack 2
Basic 36.626,58
artfcl 3 NONBasic
slack 4 Basic
2.558,291 artfcl 5
NONBasic surplus 6
NONBasic slack 7
Basic 625
surplus 8 NONBasic
slack 9 Basic
57 surplus 10
NONBasic slack 11
Basic 5
surplus 12 NONBasic
slack 13 Basic
23765,26 artfcl 14
NONBasic slack 15
Basic 44,25896
artfcl 16 NONBasic
surplus 17 NONBasic
slack 18 Basic
301 surplus 19
NONBasic slack 20
Basic 155
surplus 21 NONBasic
slack 22 Basic
5 Optimal Value
Z 114.258.100.000
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Berdasarkan perhitungan dengan menggunakan software QM dan LiPs maka nilai fungsi tujuan adalah sebesar Rp. 114.258.100.000
Linear programming merupakan metode matematis yang menghitung peristiwa-peristiwa linear, berikut ini beberapa metode penyelesaian masalah
linear programming dan hasil perhitungannya.
Tabel 5.13. Hasil Perhitungan dengan Menggunakan Metode-metode dalam Linear Programming
Dari model terdapat variable
X
11
,
X
21
, X
12
, dan X
22
saling mempengaruhi berdasarkan kendala pertama dan kedua belas sehingga persoalan menjadi sulit
dipecahkan. Untuk itu dilakukan relaksasi dengan menghapus kendala ini. Selain itu, dari 4 model nilai
X
21
dan
X
22
menunjukan nilai pecahan atau bilangan tidak bulat. Untuk memaksa nilai variabel tersebut menjadi bilangan bulat dilakukan
pengujian dengan menggunakan integer programming untuk melakukan relaksasi terhadap aturan bilangan bulat dalam linier programming. Untuk menyelesaikan
Variabel BIG M
N = 13 2-Phased
N = 13 Revised Simplex
Method N = 10
Integer Programming
N = 15 Dual Problem
N =13 Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s
X 20.195
11
1 20195
1 20.195
0.01 20.195
1 20195
1 X
1.942,71
21
1942.709 1.942,709
19.43 1942.709
X 26.500
12
26500 26.500
26.500 26500
X 8.955,74
22
8955,741 8.955,74
8.956 8955.741
X 5.760
31
5760 5.760
5.760 5760
X 875
41
875 875
875 875
X 9.003
32
9003 9.003
9.003 9003
X 1.199
42
1199 1.199
1.199 1199
X 150
51
150 150
150 150
X 150
52
150 150
150 150
X 45
61
45 45
45 45
X 45
62
45 45
45 45
Nilai Optimum
114.258.100.000 114.258.100.100
166.935.000.000 114.258.900.000
114.258.100.000
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
persoalan relaksasi ini dipilih metode branch and bound method. Penyelesaian dengan branch and bond method dapat dilihat sebagai berikut.
��� � = � 1.936.620�
11
+ 1.567.890 �
21
+ 1.895.290 �
12
+ 1.471.970 �
22
+ 369.174 �
31
+ 55.380 �
41
+ 403.575 �
32
+ 60.540 �
42
+ 4.697.520 �
51
+ 5.226.520 �
52
+ 20.243.679 �
61
+ 29.441.194 �
62
Fungsi Pembatas : 0,978
�
11
+ �
21
≤ 53.280 �
11
= 20.195 �
21
≤ 4.501 �
41
= 387 + �
31
− 5.272 �
41
≥ 875 �
41
≤ 1.500 �
51
≥ 150 �
51
≤ 207 �
61
≥ 45 �
61
≤ 50 0,966
�
12
+ �
22
≤ 54.720 �
12
= 26.500 �
22
≤ 9.000 �
42
= 228 + �
32
− 8.032 �
42
≥ 1.199
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
�
42
≤ 1.500 �
52
≥ 150 �
52
≤ 305 �
62
≥ 45 �
62
≤ 50 X
11
, X
21
, X
12
, X
22
, X
31
, X
41
, X
32
, X
42
, X
51
, X
51
, X
61
, X
62
≥ 0 Solusi optimum kontinyu dari masalah ini adalah
Tabel 5.14. Solusi Optimum Kontinyu Variable
Value
X 20.195
11
X 1.942.709
21
X 26.500
12
X 8.955.741
22
X 5.760
31
X 875
41
X 9.003
32
X 1.199
42
X 150
51
X 150
52
X 45
61
X 45
62
Dalam metode branch and bound nilai X
21
dan X
22
Tabel 5.15. Sub Problem Nilai X
yang memiliki solusi dalam bilangan pecahan. Maka terdapat 4 kemungkinan kombinasi bilangan bulat
terdekat keduanya yang menjadi kendala mutually exclusive yaitu :
21
dan X
22
X
21
X
22
≥1943 ≤8955
≥1943 ≥8956
≤1942 ≤8955
≤1942 ≥8956
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Dari keempat kombinasi ini dimasukan kedalam persamaan pembatas kemudian diolah di dalam software sehingga diperoleh hasil seperti tabel berikut ini
Tabel 5.16. Hasil Relaksasi Nilai Ketersediaan TBS Pihak Swasta
Sub Problem X
21
X
22
Output 1
≥1943 ≤8955
No Feasible Solution 2
≥1943 ≥8956
Feasible Solution 3
≤1942 ≤8955
No Feasible Solution 4
≤1942 ≥8956
No Feasibel Solution Maka jika digambarkan dalam bagan adalah sebagai berikut ini :
X
2
= 1942.709 X
4
= 8955.741 X
2
≥ 1943 X
4
≤ 8955
X
2
≥ 1943 X
4
≥ 8956
X
2
≤ 1942 X
4
≤ 8955
X
2
≤ 1942 X
4
≥ 8956
No Feasible Solution
No Feasible Solution
No Feasible Solution Feasible Solution
Gambar 5.1. Bagan Hasil Relaksasi Ketersediaan TBS Pihak Swasta
Kemudian dengan menggunakan software diperoleh nilai
X
2
dan
X
4
pada tabel 5.13.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB VI ANALISIS PEMECAHAN MASALAH
6.1. Analisis Hasil Pengolahan dengan Metode-metode Linear Programming
Dari hasil pengolahan dengan menggunakan beberapa metode yang dapat dilihat pada Tabel 6.1.
Tabel 6.1. Hasil Pengolahan dengan Menggunakan Metode-metode pada Linear Programming
ditunjukan bahwa penggunaan dengan menggunakan Revised Simpleks Method dalam software LiPS memberikan keefisienan yang lebih baik dengan jumlah
iterasi paling sedikit dan waktu penyelesaian paling cepat yaitu 0.01 s. selain itu
Variabel BIG M
N = 13 2-Phased
N = 13 Revised Simplex
Method N = 10
Integer Programming
N = 15 Dual Problem
N =13 Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s Nilai
Elapse Time
s
X 20.195
11
1 20195
1 20.195
0.01 20.195
1 20195
1 X
1.942,71
21
1942.709 1.942,709
19.43 1942.709
X 26.500
12
26500 26.500
26.500 26500
X 8.955,74
22
8955,741 8.955,74
8.956 8955.741
X 5.760
31
5760 5.760
5.760 5760
X 875
41
875 875
875 875
X 9.003
32
9003 9.003
9.003 9003
X 1.199
42
1199 1.199
1.199 1199
X 150
51
150 150
150 150
X 150
52
150 150
150 150
X 45
61
45 45
45 45
X 45
62
45 45
45 45
Nilai Optimum
114.258.100.000 114.258.100.100
166.935.000.000 114.258.900.000
114.258.100.000
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA