Solusi Numerik Persamaan Hidrodinamika
IV.7 Solusi Numerik Persamaan Hidrodinamika
Diskritisasi Persamaan hidrodinamika IV.33 – IV.35 digunakan metoda eksplisit beda pusat untuk turunan terhadap ruang dan beda maju untuk turunan terhadap waktu. Kestabilan numerik pada metoda ini ditentukan oleh kriteria stabilitas:
> U + gh ( + ζ
} max
..........................................................(IV.60)
Skema diskritisasi untuk komponen kecepatan u ij , , v ij , dan ζ diperlihatkan pada ij ,
Gambar IV.8.
Gambar IV.8 Skema Diskritisasi u ij , , v ij , dan ζ ij ,
Dengan menggunakan metoda beda hingga eksplisit, diperoleh hasil diskritisasi persamaan hidrodinamika sebagai berikut:
ij , − ζ ij , ( Dx i + 1, j u i + 1, j − Dx u ij , ij , )( Dy ij , + 1 v ij , + 1 − Dy v ij , ij , )
= 0 ...(IV.61) ∆ t
dengan:
ij , = ( h ij , + ζ ij , + h i − 1, j + ζ i − 1, j
n Dx
ij , = ( h ij , + ζ ij , + h ij , − 1 + ζ ij , − 1 )
n Dy
Persamaan momentum dalam arah-x:
u n + 1 ij , − θ u n ij , ( 1 − θ )
i + 1, j + i − 1, j + ij , + 1 + u ij , − 1 +
( i + 1, j ij , )( ij , i − 1, j ) ⎥ * n ( u ij , + 1 − u ij , − 1 )
⎦+ v ij ,
.....................(IV.62)
( ζ ij , − ζ i − 1, j )
ij , = ( v ij , + v ij , + 1 + v i − 1, j + v i − 1, j + 1 )
dengan: n v
{ ε ij , ( u i + 1, j − u ij , ) − ε i − 1, j ( u ij , − u i − 1, j ) }
M x ij , =
{ ε *, ij + 1 ( u ij , + 1 − u ij , ) − ε *, ij ( u ij , − u ij , − 1 ) }
*, ij = ( ε ij , + ε i − 1, j + ε ij , − 1 + ε i − 1, j − 1
1 ⎪ ⎧ S xx ij , − S xx i − 1, j S xy ij , + 1 + S xy i − 1, j + 1 − S xy ij , − 1 − S xy i − 1, j − 1 ⎪ ⎫ R x ij , =
2 ∆ () y
⎬ ρ H x ij , ⎪ ⎩
H x ij , = ( h ij n , + ζ ij , + h i n − 1, j + ζ i − 1, j ) 2
Persamaan momentum dalam arah-y: n + 1 v n
− θ v ij , ( 1 − θ ) n
v ij , + 1 + v ij , − 1 + v i + 1, j + v i − 1, j ) +
ij ,
1 )( ij , + v ij , − 1 )
i + 1, j − v i − 1, j
)( ij , + −
( ζ ij , − ζ ij , − 1 )
dengan, θ = parameter pada metode selisih hingga jenis lax-diffusive. Nilai θ harus ditentukan dengan hati-hati sehingga difusi menjadi realistik.
ij , = ( u ij , + u i + 1, j + u ij , − 1 + u i + 1, j − 1 )
{ ε ij , ( v ij , + 1 − v ij , ) − ε ij , − 1 ( v ij , − v ij , − 1 ) }
M y ij , =
{ ε * 1, i + j ( v i + 1, j − v ij , ) − ε *, ij ( v ij , − v i − 1, j ) }
ε *, ij = ( ε ij , + ε ij , − 1 + ε i − 1, j + ε i − 1, j − 1 )
1 ⎪ ⎧ S yy ij , − S yy ij , − 1 S xy i + 1, j + S xy i + 1, j − 1 − S xy i − 1, j − S xy i − 1, j − 1 ⎪ ⎫ R y ij , =
ρ () H y
ij ,
y ij , = ( h ij , + ζ ij , + h ij , − 1 + ζ ij , − 1 ) 2
IV.8 Solusi Numerik Persamaan Transport Sedimen dan Perubahan
Morfologi Dasar
Transport sedimen yang diakibat arus dan gelombang dihitung menggunakan persamaan (IV.49) sedangkan stress geser yang berkaitan dengan arus dan gelombang diselesaikan dengan menggunakan persamaan (IV.50). Dengan diketahuinya transport sedimen tersebut selanjutnya dapat dihitung perubahan morfologi dasar dengan memakai persaman (IV.51).
Skema diskritisasi untuk transport sedimen dan perubahan morfologi dasar dapat dilihat pada Gambar IV.9.
Gambar IV.9 Skema Diskritisasi q txi j , , q txi j , , dan ζ bi j ,
Penyelesaian numerik beda hingga eksplisit persamaan morfologi dasar adalah:
⎧ ⎪ ( q txi + 1, j − q txi j , )( q tyi + 1, j − q tyi j , ) ⎫ ⎪ ζ b = ζ b −∆ t ⎨
⎬ ..................................(IV.64) ⎪
dengan: ζ n+1
b = elevasi dasar saat t + ∆t ζ n
b = elevasi dasar saat t
IV.9 Diagram Alir Penelitian
Model Numerik arus akibat gelombang yang digunakan dalam penelitian ini adalah model hidrodinamika dua dimensi horizontal. Untuk menghitung transport sedimen dan perubahan morfologi dasar didasarkan pada formulasi pendekatan transport sedimen yang dilakukan oleh Koutitas (1988). Secara keseluruhan model dapat digambarkan dengan diagram alir penelitian yang diperlihatkan pada Gambar V.4.
Mulai
Input Batimetri Awal
Input Data Gelombang (H 0 , T, θ 0 ) Perhitungan Medan Gelombang
Perhitungan Medan Arus
Perhitungan Laju Transpor Sedimen
Perhitungan Perubahan Morfologi Dasar Laut
Tidak Batimetri Akhir
Ya Selesai
Gambar IV.10 Diagram Alir Penelitian