FUNGSI KOMPLEKS

4.7 Teorema Residu Dari teorema Cauchy telah diketahui bahwa nilai integral sekitar kontur tertutup 𝐶 nol jika fungsi

yang diintegralkan analitik di dalam kontur. Saat fungsi tidak analitik di dalam 𝐶, maka perlu dilakukan kajian lebih jauh.

Misalkan 𝑓(𝑧) berkutub 𝑚 di 𝑧 = 𝑧 0 , sehingga dapat diekspansi dengan deret Laurent disekitar 𝑧 0

Untuk integral 𝐼 dari 𝑓(𝑧) disekitar kontur tertutup 𝐶 yang mencakup 𝑧 = 𝑧 0 , namun tidak titik singular lain. Menggunakan teorema Cauchy, integral ini memiliki nilai sama untuk integral disekitar lingkaran 𝛾 dengan radius 𝜌 berpusat di 𝑧 = 𝑧 0 , karena 𝑓(𝑧) analitik di daerah antara 𝐶 dan

𝛾. Pada lingkaran diperoleh 𝑧 = 𝑧 𝑖𝜃

𝑑𝑧 = 𝑖𝜌𝑒 𝑖𝜃 𝑑𝜃, sehingga

Untuk setiap bagian dengan 𝑛 ≠ −1, didapatkan

namun untuk bagian 𝑛 = −1 didapatkan

Sehingga dapat dilihat hanya bagian ) (𝑧 − 𝑧 −1 0 berkontribusi pada nilai integral sekitar 𝛾, begitupun 𝐶, dan 𝐼 kemudian dapat dituliskan

Dari hasil ini didapatkan bahwa integral disekitar kontur tertutup dengan mengandung satu kutub berorde 𝑚, singularitas esensial, nilainya adalah 2𝜋𝑖 dikalikan residu dari 𝑓(𝑧) pada 𝑧 = 𝑧 0 .

Untuk kasus dimana 𝑓(𝑧) di dalam dan pada sebuah kontur tertutup 𝐶 dan analitik, kecuali untuk kutub dengan nilai berhingga, di dalam 𝐶, teorema residu memberikan

dengan ∑𝑅 𝑗 𝑗 adalah penjumlahan residu dari 𝑓(𝑧) pada masing-masing kutub di dalam 𝐶. Metode pembuktiannya dapat memperhatikan gambar 4.4. Pada (a) menunjukkan kontur 𝐶 dari

persamaan (𝟒. 𝟐𝟑) dan (b) menunjukkan kontur 𝐶 ′ dengan nilai yang sama untuk integralnya, karena

𝑓 analitik di 𝐶 dan 𝐶 ′ . Kontribusi dari integral untuk 𝐶 dari segitiga yang menghubungkan ketiga titik adalah nol, karena

𝑓 juga analitik di dalam 𝐶 ′ . Sehingga nilai keseluruhan integral diberikan oleh lingkarannya, sesuai (𝟒. 𝟐𝟐), setiap kontribusi ini adalah 2𝜋𝑖 dikalikan dengan

residu pada kutub yang dicakup. Kesemua lingkaran berputar pada arah positif jika 𝐶 berputar dan teorema residu berlaku. Secara formal, teorema residu Cauchy pada (𝟒. 𝟗) adalah kasus spesial dari (𝟒. 𝟐𝟑) untuk kontur 𝐶 tidak mengandung kutub.

4.8 Integrasi Kontur untuk Integral Tentu Ada beberapa bentuk fungsi untuk penerapan integrasi kontur. Salah satunya adalah integrasi

fungsi sinusoidal dengan bentuk

∫ 𝐹(cos 𝜃 , sin 𝜃)𝑑𝜃 .

Integral tersebut dapat diubah menjadi integral kontur dengan melakkan substitusi 𝑧=𝑒 𝑖𝜃 , dimana kemudian

Sebagi latihan, untuk

dengan substitusi 𝑖𝜃 𝑧𝑒 , 𝜃 akan memiliki batas 0 sampai 2𝜋, membentuk kurva tertutup berbentuk lingkaran berjari-jari 1. Melakukan substitusi nilai cos 𝜃 dan 𝑑𝜃 dari (𝟒. 𝟐𝟒),

5 + 2(𝑧 + 𝑧 ) 𝑖 5𝑧 + 2𝑧 +2 𝑖 (2𝑧 + 1)(𝑧 + 2) Terlihat fungsinya memiliki kutub di 𝑧 = −1/2 dan 𝑧 = −2. Namun, hanya titik 𝑧 = −1/2 yang

berada pada cakupan kurva tertutup. Residu dari fungsi di 𝑧 = −1/2, dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏𝟗), didapatkan

Dari teorema residu, (𝟒. 𝟐𝟐), didapatkan

nilai integral awal yang diinginkan.