KALKULUS VARIASI

5. KALKULUS VARIASI

Apakah jarak terpendek dari dua titik? Untuk suatu fungsi kalkulus biasa 𝑓(𝑥) misalnya, nilai minimum dan maksimum dapat dicari dengan ′ 𝑓 (𝑥) = 0. Hal ini dapat memberikan nilai minimum, maksimum, dan titik belok fungsi tersebut. Titik ini dikenal sebagai titik stasioner

fungsi, mencari nilai minimumnya berperan sebagai dasar pembahasan kalkulus variasi. Untuk menambah khasanah, misalkan cahaya dari titik 𝐴 = (𝑥 1 ,𝑦 2 ) menuju titik 𝐵 = (𝑥 2 ,𝑦 2 )

lewat pemantulan di titik 𝑃. Lintasan 𝐷 yang merupakan lintasan 𝐴𝐵 dapat dituliskan

Gambar 5.1 Cahaya dari titik 𝐴 ke titik 𝐵 melewati 𝑃.

Jarak terpendeknya, sesuai prinsip kalkulus, adalah

yang menunjukkan bahwa 𝜃 = 𝜙, persamaan dasar dari pantulan pada optik. Awal yang menarik untuk kalkulus variasi.

5.1 Persamaan Euler-Lagrange

Bentuk umum persamaan yang hendak dipecahkan dalam kalkulus variasi adalah

representasi fungsi- 𝑥 bernilai nol di 𝑥 1 dan 𝑥 2 , serta memiliki turunan kedua kontinu pada interval tersebut. Selanjutnya didefinisikan fungsi 𝑌(𝑥) dengan persamaan

dengan 𝑦(𝑥) adalah kurva ekstermal dan 𝜖 adalah sebuah parameter. Karena 𝜂(𝑥) dapat berupa apa saja, 𝑌(𝑥) merepresentasikan setiap kurva (dengan turunan kedua kontinu) sepanjang (𝑥 1 ,𝑦 1 ), dan (𝑥 2 ,𝑦 2 ).

Gambar 5.2 Kurva ekstermal 𝑦 dan kurva variasi 𝑌.

Gambar 5.3 Kurva bernilai nol di 𝑥 1 dan 𝑥 2 .

Dari kurva variasi didapatkan

dan kita menginginkan (𝑑/𝑑𝜖) 𝐼(𝜖) = 0 saat 𝜖 = 0. Perhatikan bahwa 𝑌 dan 𝑌 ′ merupakan fungsi dari 𝜖. Melakukan diferensiasi 𝐼 terhadap 𝜖,

atau, karena diinginkan jarak terpendek ( 𝑑𝐼/𝑑𝜖 = 0 di 𝜖 = 0, 𝑌 = 𝑦), maka

Mengasumsukan 𝑦 ′′ kontinu, baian kedua dapat diintegralkan secara parsial

Bagian teringtegrasi bernilai nol karena syarat 𝜂(𝑥) di 𝑥 1 dan 𝑥 2 . Hal ini membuat persamaannya

karena 𝜖 bernilai sembarang, diperoleh

Kesamaan ini disebut sebagai persamaan Euler (atau dikenal juga sebagai Euler-Lagrange). Dari tahapan tersebut, dapat dlihat, untuk setiap masalah pada kalkulus variasi diselesaikan dengan

menentukan integral yang akan dibuat stasioner, menuliskan fungsi dari 𝐹, substitusi ke persamaan Euler, dan menyelesaikan persamaan diferensial.

Menggunakan persamaan ini, dapat ditunjukkan bahwa kurva terdekat penghubung dua titik adalah sebuah garis lurus. Sebagai gambaran, misalkan dua titik, 𝐴 dan 𝐵, berada pada kordinat

(𝑎, 𝑦(𝑎)) dan (𝑏, 𝑦(𝑏)). Apapun bentuk yang diambil sebagai penghubung, panjang dari sebuah elemen lintasan 𝑑𝑠 adalah

Gambar 5.4 Kurva sembarang penghubung 𝐴 dan 𝐵.

dan total lintasannya sepanjang kurva, 𝐿, adalah

Lintasan terdekat dieroleh dengan menggunakan prinsip kalkulus variasi sehingga 𝐿 stasioner. Dapat dilihat bahwa 𝐹 = √1 + 𝑦 ′2 dan dari persamaan Euler-Lagrange

sehingga menyisakan

yang membuat

Dengan melakukan beberapa operasi sederhana, diperoleh

dimana, sesuai perkiraan, persamaannya adalah sebuah garis lurus dari 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐, dengan 𝑚 =

5.2 Penggunaan Persamaan Euler-Lagrange Sejauh ini telah digunakan variabel 𝑥 dan 𝑦 pada kordinat kartesian. Namun matematika tentuya

akan sama saja jika menggunakan variabel lain, seperti variabel 𝑟 dan 𝜃 pada kordinat bola. Bentuk persamaan yang akan dibuat stasioner adalah

Solusinya diperoleh dari persamaan Euler-Lagrange

Dalam penerapan fisis, eposisi dan waktu tidak bisa dipisahkan. Hal ini membuat penggunaan variabel 𝑥 sebagai posisi (dalam dimensi-1) dan 𝑡 sebagai waktu membuat persamaan yang hendak Dalam penerapan fisis, eposisi dan waktu tidak bisa dipisahkan. Hal ini membuat penggunaan variabel 𝑥 sebagai posisi (dalam dimensi-1) dan 𝑡 sebagai waktu membuat persamaan yang hendak

Sebagai penggunaan persamaan tersebut, misalkan sebuah sinar cahaya memberikan suatu lintasan, dimana indeks biasnya sebanding dengan −2 𝑟 , digunakan kordinat polar. Persamaan yang akan dibuat stasioner adalah ∫ 𝑛 𝑑𝑠, atau

∫𝑟 −2 𝑑𝑠 = ∫ 𝑟 𝑑𝑠 = ∫ 𝑟 √𝑑𝑟 2 2 +𝑟 −2 2 𝑑𝜃 =∫𝑟 √1 + 𝑟 2 𝜃 ′2 𝑑𝑟. Persamaan Euler dengan

2 𝐹=𝑟 ′2 √1 + 𝑟 𝜃 dapat ditelusuri untuk mencari solusi persamaan. Karena 𝜕𝐹/𝜕𝜃 = 0, tersisa

Melakukan sedikit perhitungan diperoleh

dimana dengan melakukan substitusi 𝑟 = sin 𝜃 / 𝑘, akan diperoleh

𝜃 = sin −1 𝑘𝑟 + 𝑐,

dengan 𝑐 adalah sebuah konstanta.

5.3 Persamaan Lagrange Suatu sistem tentu tidak hanya bergantung pada satu variabel saja. Pada kalkulus dasar ditemui

permasalahan suatu titik minimal pada 𝑧 = 𝑧(𝑥) adalah 𝑑𝑧/𝑑𝑥 = 0 dan untuk fungsi dengan dua variabel 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) diperlukan dua kondisi, 𝜕𝑧/𝜕𝑥 = 0 dan 𝜕𝑧/𝜕𝑦 = 0. Analogi yang sama ditemui pada kalkulus variasi. Misalkan suatu fungsi 𝐹 terdiri dari 𝑦, 𝑧, 𝑑𝑦/𝑑𝑥, 𝑑𝑧/𝑑𝑥, dan 𝑥, dan akan dicari dua kurva 𝑦 = 𝑦(𝑥) dan 𝑧 = 𝑧(𝑥) untuk membuat 𝐼 = ∫ 𝐹 𝑑𝑥 stasioner. Nilai dari integral 𝐼 begantung pada 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) dan dapat diperhatikan bahwa akan didapatkan dua persamaan Euler, satu untuk 𝑦 dan satu untuk 𝑧, katakanlah

Jika masih terdapat variabel bergantung (dengan hanya satu variabel bebas), maka persamaan Euler untuk setiap variabel bergantung harus dituliskan, tentu saja.

Terdapat banyak aplikasi penting dari persamaan (𝟓. 𝟕) pada mekanika. Pada fisika dasar, kaidah Newton pertama 𝐅 = 𝑚𝐚 adalah persamaan mendasar. Pada mekanika lebih lanjut, penjabaran persamaan gerak dimulai dari asumsi berbeda namun tetap berkesesuai dengan pendahulunya.

Asumsi ini dikenal dengan prinsip Hamilton. Prinsipnya mengakatan bahwa setiap partikel

ataukah sistem partikel selalu bergerak sedemikian rupa dengan 𝐼=∫𝐿 𝑡

1 𝑑𝑡 stasioner, dimana 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 disebut sebagai Lagrangian; 𝑇 sebagai energi kinetik, dan 𝑉 adalah energi potensial

dari partikel atau sistem partikel. Sebagai penerapan, misalkan sebuah partikel bergerak berada pada pengaruh gravitasi bumi

bermassa 𝑚. Menggunakan prsinsip Hamilton, persamaan geraknya dapat diperoleh. Pertama tentukan energi kinetik 𝑇 dan energi potensial 𝑉 dari partikel

dan Lagrangiannya

Perhatikan bahwa 𝑡 sebagai variabel bebas dan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sebagai variabel bergantung, sementara 𝐿 adalah 𝐹 pada awal pembahasan. Untuk membuat 𝐼 = ∫ 𝐿 𝑑𝑡 stasioner, dituliskan persamaan Euler untuk setiap variabel bergantung. Pada mekanika, persamaan Euler ini lebih dikenal dengan

persamaan Lagrange. 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿

Melakukan substitusi 𝐿 pada persamaan ini didapatkan 𝑑

Hal ini merupakan persamaan yang umum diperoleh pada kaidah Newton. Persamaannya menyatakan bahwa pada medan gravitasi di dekat permukaan bumi, kecepatan horizontalnya konstan dan percepatan vertikalnya adalah – 𝑔. Penerapan pada kasus ini mungkin terlihat sederhana. Namun pada kasus yang lebih kompleks, persamaan ini akan menunjukkan keunggulannya.

Penerapan lain adalah untuk menjabarkan gerak sebuah partikel pada kodinat polar dengan variabel 𝑟 sebagai jejari dan 𝜃 sebagai sudut. Elemen dari panjangnya adalah 𝑑𝑠 dimana

dan kecepatan partikel bergerak adalah 𝑑𝑠/𝑑𝑡, sehingga

Energi kinetic kita ketahui adalah

dengan 𝑉(𝑟, 𝜃) sebagai energi potensial partikel. Persamaan Lagranga pada 𝑟 dan 𝜃 adalah

Substitusi 𝐿 memberikan

Persamaan gerak untuk 𝑟 adalah

sementara untuk 𝜃 adalah

𝜕𝜃 → 𝑚 𝑟 𝜕𝜃 . Kuantitas −𝜕𝑉/𝜕𝑟 dan −(1/𝑟) (𝜕𝑉/𝜕𝜃) adalah komponen dari gaya, 𝐅 = −𝛁𝑉, pada partikel

pada arah 𝑟 dan 𝜃. Persamaan tersebut adalah komponen dari 𝑚𝐚 = 𝐅; komponen percepatannya adalah

Bagian kedua pada

𝑟 adalah percepatan sentripetal 𝑣 /𝑟 untuk 𝑣 = 𝑟𝜃̇ (tanda negatif menandakan menuju titik awal). Bagian kedua pada 𝑎 𝜃 disebut percepatan Coriolis.

5.4 Notasi Variasi Simbol 𝛿 telah diperkenalkan pada permulaan pembahasan kalkulus variasi sebagai indikasi

diferensial terhadap 𝜖. Maknanya serupa dengan simbol 𝑑 pada diferensial. Notasi 𝛿 kurang digunakan dalam matematika, namun pada penggunaan pada penerapan akan memperjelas maknanya. Kuantitas 𝛿𝐼 adalah sebuah diferensial

𝜖 = 0. Simbol 𝛿 (dibaca “variasi dari”) diperlakukan sama sebagai operator diferensial untuk

dengan dievaluasi pada

𝐹, 𝑦, dan 𝑦 ′ . Sehingga, mengacu pada pembahasan sebelumnya,

Maka makna dari 𝛿𝑦 adalah

hal ini mirip untuk diferensial 𝑑𝑌 jika 𝜖 sebagai variabel. Makna dari 𝛿𝑦 ′ adalah

Hal ini identic dengan

karena 𝑥 dan 𝜖 merupakan variabel bebas; dengan kata lain, 𝑑 dan 𝛿 komut. Makna dari 𝛿𝐹 adalah

ini merupakan diferensial total 𝑑𝐹 = (𝜕𝐹/𝜕𝜖) ′ 𝜖=0 𝑑𝜖 dari fungsi 𝐹[𝑥, 𝑌(𝑥, 𝜖), 𝑌 (𝑥, 𝜖)] pada 𝜖 =

0 dengan 𝜖 dianggap sebagai variabel satu-satunya. Maka variasi dari 𝐼 adalah

Hasil ini memberikan indikasi bahwa 𝛿𝐼 = 0, atau dengan kata lain variasi dari 𝐼 adalah nol.