BAB 2 LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab
selanjutnya.
2.1 Himpunan Sebelum mendefinisikan graf akan dijelaskan terlebih dahulu apa yang disebut dengan
himpunan berdasarkan definisi-definisi yang sudah ada mengenai himpunan, karena graf merupakan bagian dari himpunan.
Definisi 2.1 Objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Himpunan dinyatakan sebagai kumpulan dari elemen-elemennya.Rosen, 1999.
Ada beberapa cara untuk mendeskripsikan suatu himpunan. Salah satu caranya adalah dengan mendaftar anggota dari himpunan tersebut bila hal itu mungkin
dilakukan. Contoh 2.1
1. Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5 dari dapat ditulis dengan
Z = {1,2,3,4}. 2.
Himpunan bilangan bulat positif kurang dari 1000 dapat ditulis dengan Z = {1,2,3,....,999}.
Suatu himpunan mungkin saja memiliki anggota yang sama banyaknya, bahkan mungkin memiliki anggota yang sama.
Definisi 2.2 Duah buah himpunan disebut sama jika dan hanya jika memiliki elemen atau anggota yang sama.
Contoh 2.2 Himpunan {a,i,u,e,o} sama dengan himpunan {o,i,e,u,a}.
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.3 Himpunan A disebut subset dari B jika dan hanya jika setiap elemen di A juga merupakan elemen di B. Kita gunakan notasi A
B untuk menyatakan A subset dari B Rosen, 1999:41
Contoh 2.3: Misalkan himpunan A= {1,2,3,6} dan {1,2,3,4,5,6,7} maka himpunan A dapat
disebut sebagai subset dari himpunan B ditulis A .
Definisi 2.4 Misalkan S adalah suatu himpunan, jika terdapat tepat n buah elemen yang berbeda pada S dimana n adalah bilangan bulat tak negatif, dikatakan S adalah
himpunan berhingga dan n adalah banyaknya bilangan cardinality dari S. Cardinality himpunan S dinotasikan dengan |S| .Rosen, 1999
2.1.1. Beda Simetri
Misalkan terdapat dua buah himpunan A dan B. Maka beda simetri dari himpunan A dan B didefinisikan sebagai himpunan yang elemennya terdiri dari gabungan masing-
masing elemen himpunan A dan elemen himpunan B tetapi tidak memuat elemen yang terdapat pada himpunan A sekaligus terdapat pada himpunan B. Beda simetris
himpunan A dan B dapat dinotasikan dengan A Rosen, 1999
Karena beda simetri himpunan A dan B terdiri dari gabungan masing-masing elemen himpunan A dan elemen himpunan B tetapi tidak memuat elemen yang
terdapat pada himpunan A sekaligus terdapat pada himpunan B, maka beda simetri dapat dinyatakan dengan A
Pernyataan ini ekivalen dengan A\B
.Rosen, 1999 Contoh 2.4:
Misalkan himpunan A = {1,2,3,4,5,6,11,12,13} dan B = {2,6,7,8.9,10} maka A
B = {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13}. 2.2.
Pengertian Graf
Tulisan pertama tentang teori graf adalah karya Leonhard Eulerr pada tahun 1736. Tulisan ini menyajikan sebuah teori umum yang menyertakan sebuah solusi yang
sekarang lazim dikenal dengan masalah jembatan K igsberg. Dalam masalah ini
Universitas Sumatera Utara
terdapat dua pulau yang terhampar di sungai Pregel yang terletak di kota K igsberg
kota tua di Prusia Timur yang sekarang dikenal dengan Kaliningrad yang saling terhubung oleh tujuh buah jembatan. Permaasalahan yang muncul yaitu apakah ada
sebuah rute yang memungkinkan agar ketujuh jembatan tersebut dapat dilewati tepat satu kali. Konfigurasi dari jembatan tersebut dapat dimodelkan dengan sebuah graf,
yang pada akhirnya masalah tersebut terjawab bahwa tidak ada sebuah rute yang memungkinkan agar ketujuh jembatan tersebut dapat dilewati tepat satu kali.Rinaldi
Munir, 2007
Ada beberapa definisi mengenai graf diantaranya: Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan V,E, ditulis dengan notasi G=
V,E, yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul yang sering disebut vertices atau node, dan E adalah himpunan rusuk yang sering disebut
edges atau arcs yang menghubungkan sepasang simpul . Graf dapat digambarkan atau diilustrasikan dengan 3 cara, yaitu dengan
himpunan simpul dan sisi, matriks atau diagram. Jika digambarkan dalam bentuk diagram, simpul diwakili oleh titik atau noktah yang kita gambarkan sebagai
lingkaran kecil dan rusuk e= {u,v} diwakili oleh segmen garis atau kurva yang mengaitkan titik u dan titik v. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh graf G seperti
gambar 2.1.
e
4
v
1
e
5
v
3
e
1
e
2
e
6
v
2
e
3
v
4
e
7
e
8
v
5
Gambar 2.1 Graf G
Universitas Sumatera Utara
Pada Graf G ini, yang merupakan himpunan nodenya adalah
1 2
3 4
5
{ , , ,
, } V G
v v v v v =
, sedangkan himpunan edgenya
1 2
3 4
5 6
7 8
{ , , ,
, , ,
, } E G
e e e e e e e e =
. Jadi graf G pada Gambar 2.1 terdiri dari 5 node dan 8 edge.
Suatu edge e ditulis e={u,v} dapat juga ditulis dengan uv atau vu disebut sebagai garis penghubung antara simpul u dan v. Pada Gambar 2.1
1 1
2
{ , } e
v v =
,
2 1
2
{ , } e
v v =
,
3 2
5
{ , } e
v v =
merupakan beberapa contoh edge yang dapat juga disebut garis penghubung.
Suatu node u dan v disebut sebagai node ujung dari edge e, jika e merupakan garis penghubung dari node u dan v. Pada gambar 2.1
4
v dan
5
v adalah node yang merupakan simpul ujung dari edge
7
e . Pada graf-graf tertentu, terkadang sebuah edge terhubung ke node yang sama,
edge seperti ini dapat disebut sebagai loop. Pada gambar 2.2 graf G mempunyai 1 loop yaitu
7
e . Suatu graf dikatakan mempunyai edge ganda jika pada graf tersebut minimal
dua edge yang menghubungkan dua node yang berlainan. Pada Gambar 2.1,
1
e dan
2
e
merupakan edge ganda.
2.2.1 Istilah- istilah dalam graf
Pada suatu graf G node u dan v disebut sebagai node yang saling ajasen jika node u dan v merupakan node-node ujung atau node u dan v menempel pada edge yang sama.
Pada Gambar 2.1, node
1
v dan
2
v ,
1
v dan
3
v ,
3
v dan
4
v adalah pasangan node yang saling ajasen.
Edge
1
e dan
2
e didefinisikan sebagai edge yang saling ajasen jika salah satu node dari kedua edge tersebut sama. Pada Gambar 2.1 beberapa contoh edge yang
saling ajasen yaitu:
1
e dan
2
e ,
2
e dan
5
e ,
2
e dan
6
e ,
5
e dan
6
e ,
2
e dan
6
e .
Universitas Sumatera Utara
Node u dan edge e, node v dan edge dan rusuk e disebut berisiden, jika u dan v merupakan node ujung dari edge e. Pada Gambar 2.1,
3
v dan
8
e ,
4
v dan
8
e adalah contoh node dan edge yang berinsiden.
Misalkan terdapat suatu graf G. Maka node pada graf G disebut node terisolasi jika node tersebut tidak berajasen dengan edge manapun. Perhatikan Gambar 2.2,
dalam hal ini
3
v disebut node terisolasi.
v
3
v
2
v
4
v
1
v
5
Gambar 2.2 Simpul Terisolasi
Derajat degree dari suatu node v yang dinotasikan dengan GV adalah banyaknya edge pada graf G yang berinsiden dengan node v. Khusus pada loop
derajatnya dihitung dua kali. Suatu node v disebut berderajat n jika mempunyai derajat sebanyak n.
Contoh 2.4: Perhatikan Gambar 2.1
1.
3
v disebut berderajat 3 karena banyak edge yang berisiden dengan
3
v ada 3, yaitu
5
e
,
6
e
dan
8
e . 2.
5
v disebut berderajat 4 walaupun banyaknya edge yang berisiden dengan
5
v ada 3, yaitu
3
e
,
4
e dan
7
e , tetapi
4
e merupakan loop. Oleh karena itu, banyak derajatnya dihitung dua.
Universitas Sumatera Utara
Derajat minimum dari graf G dinotasikan dengan δG adalah jika banyaknya
edge yang berisiden dengan node v paling sedikit dari node lain pada graf G. Sebaliknya, jika node yang berisiden dengan node v tersebut paling banyak, maka
node v dikatakan mempunyai derajat maksimum dan biasa dinotasikan dengan ∆G.
Misalkan terdapat G, jalan walk pada graf G didefinisikan sebagai suatu barisan yang tak kosong dan berhingga yang suku-sukunya bergantian antara node
dan edge. Jalan boleh saja memuat edge dan node yang sama. Jalan dinyatakan dengan W. Pada Gambar 2.1,
{
1 5 3 6 2 6 3 8 4
v e v e v e v e v
}
merupakan contoh jalan, dan dapat ditulis dengan W =
{
1 5 3 6 2 6 3 8 4
v e v e v e v e v
}
. Karena jalan pada contoh ini dimulai dari node
1
v dan berakhir pada node
4
v , maka
1
v disebut sebagai node awal dan
4
v disebut sebagai node akhir, sedangkan node-node selain
1
v dan
4
v disebut node-node internal dari W. Selanjutnya, panjang dari suatu jalan dapat didefinisikan sebagai banyaknya edge
yang terdapat didalam suatu jalan.
Jejak trail pada suatu graf G didefinisikan sebagai suatu barisan yang tak kosong dan berhingga yang suku-sukunya bergantian antara node dan edge dan
masing-masing edge tidak boleh termuat lebih dari satu kali. Pada jejak, node boleh saja termuat lebih dari satu kali. Jejak dinyatakan dengan T. Pada Gambar 2.1
{
2 3 5 4 5 3 7 4
v e v e v v e v
}
adalah contoh jejak dan dapat ditulis T={
2 3 5 4 5 3 7 4
v e v e v v e v
}
. Selanjutnya jika pada suatu jejak node awal dan node akhirnya sama maka jejak
tersebut disebut jejak tertutup. Pada Gambar 2.1 T = {
1 5 3 6 2 2 1
v e v e v e v
}
adalah contoh jejak tertutup karena
1
v merupakan node awal sekaligus node akhir.
Jika pada suatu jejak tertutup node awal dan simpul internalnya berbeda, maka jejak tertutup tersebut dinamakan siklus cycle. Siklus dinotasikan dengan Cn dengan
n adalah banyaknya node yang termuat dalam suatu siklus. Pada Gambar 2.1 {
1 5 3 8 4 7 5 3 2 2 1
v e v e v e v e v e v
}
merupakan contoh siklus.
Universitas Sumatera Utara
Lintasan path dinotasikan dengan P, didefinisikan sebagai suatu barisan yang tak kosong yang suku-sukunya bergantian antara node dan edge, serta node- nodenya
berlainan tidak ada node yang termuat lebih dari satu kali. Pada Gambar 2.1 yang merupakan
contoh lintasan yaitu {
1 5 3 8 4 7 5
v e v e v e v
}
, sehingga dapat ditulis P = {
1 5 3 8 4 7 5
v e v e v e v
}.
Suatu graf dikatakan sebagai graf sederhana jika pada graf tersebut tidak mengandung edge ganda dan loop. Perhatikan Gambar 2.3, graf G bukanlah graf
sederhana, karena mengandung edge ganda
3
e dan
4
e serta mengandung loop yaitu
8
e , sedangkan Graf H merupakan contoh graf sederhana. Graf yang mengandung edge
ganda dan loop biasanya disebut sebagai graf ganda.
e
4
v
2
v
4
v
1
e
1
e
2
e
5
e
6
e
7
v
3
v
5
e
8
e
3
v
2
v
4
v
1
e
1
e
2
v
3
v
5
e
3
e
4
e
5
e
6
Graf 2.3a Graf G Graf 2.3bGraf
H Gambar 2.3a Graf sederhana dan bukan sederhana Gambar 2.3.b
Suatu graf G dikatakan sebagai graf kosong jika graf tersebut hanya terdiri dari himpunan simpul. Graf kosong yang terdiri dari n simpul dinotasikan dengan Nn.
Gambar 2.4 merupakan contoh graf kosong.
Universitas Sumatera Utara
N
1
N
2
N
3
N
4
Gambar 2.4 Graf Kosong
Suatu graf G dikatakan sebagai graf lengkap jika tiap node pada graf tersebut berajasen dengan tiap node lainnya. Suatu graf lengkap dengan n yang menyatakan
banyaknya node, dinotasikan dengan Nn. Gambar 2.5 merupakan contoh graf lengkap dengan 4 simpul.
v
1
e
1
v
3
e
2
v
2
e
4
v
4
e
3
Gambar 2.5 Graf lengkap dengan 4 simpul
Suatu graf G dikatakan sebagai graf berbobot jika setiap edgenya mempunyai nilai atau bobot tertentu. Bobot pada graf biasanya dinotasikan dengan wij dimana i
dan j sebagai node yang berisiden dengan edge yang memiliki bobot w tersebut. Pada Gambar 2.6 bobot dari e
1
atau
1 2
4
v v
W =
Universitas Sumatera Utara
v
1
4
v
2
v
3
13
9 v
4
Gambar 2.6 Graf Berbobot
2.2.2 Graf Bipartit
Graf Bipartit didefinisikan sebagai graf yang memiliki himpunan node V yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian X dan Y, sehingga masing-masing edgenya
memiliki titik ujung pada X dan titik ujung lainnya pada Y, dengan demikian {X,Y} dapat disebut sebagai bipartisi pada graf. Jika tiap node pada himpunan X berajasen
dengan semua node pada Y maka graf bipartit tersebut dinamakan graf bipartit lengkap.
Graf bipartit lengkap dengan banyaknya node pada X atau |X| = m dan banyaknya node pada Y atau |Y| = n, dinotasikan dengan Km,n.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
Gambar 2.7 Graf Bipartit lengkap
4,3
K
Universitas Sumatera Utara
Pada Gambar 2.7, dapat dilihat graf tersebut dapat dipartisi menjadi 2 himpunan bagian X dan Y dimana X =
1 2
3 4
{ , , , }
v v v v dan Y
5 6
7
{ , , }
v v v . Tiap-tiap node pada himpunan X berajasensi dengan semua node pada himpunan Y.
2.2.3 Spanning Subgraph
Subgraph dari G didefinisikan sebagai graf yang merupakan himpunan bagian dari himpunan node dan edge pada graf G. Sedangkan spanning subgraph dari graf G
adalah subgraph yang memuat semua node dari graf G. Graf H pada Gambar 2.8 merupakan salah satu contoh spanning subgraph dari graf G pada Gambar 2.1.
e
5
v
1
v
3
v
4
e
8
e
6
v
2
e
3
e
7
v
5
Gambar 2.8 Graf H Spanning subgraph dari graf G
Universitas Sumatera Utara
2.3. Matching graf
Kategori