2.3. Matching graf
Sebelum membahas lebih jauh mengenai optimal assignment problem dan cara penyelesaiannya, akan dibahas mengenai definisi matching dan matching pada graf
bipartit, karena penyelesaian optimal assignment problem akan menggunakan penerapan matching pada graf bipartit.
Misalkan G=V,E adalah graf sederhana dan bukan graf kosong. Maka, matching M didefinisikan sebagai himpunan bagian yang tidak kosong dari edge EG
sedemikian hingga tidak ada edge dari M yang saling ajasen di G. Selanjutnya node- node ujung dari matching M disebut matched di bawah M. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan Gambar 2.9. M =
1 6
7
{ , , }
e e e adalah salah satu contoh matching yang dapat
dibuat pada graf G.
v
1
e
1
v
2
e
2
e
3
v
4
e
5
v
5
e
6
e
4
e
7
e
8
v
6
v
5
Gambar 2.9 Contoh Matching
Jika M adalah suatu Matching, maka suatu node
i
v dikatakan saturated oleh matching M atau matching M saturates terhadap node
i
v jika ada sebuah edge dari matching M menempel pada node
i
v tersebut. Sebaliknya jika tidak ada maka node
i
v disebut unsaturated M. Perhatikan Gambar 2.9,
1
v dan
2
v disebut saturated oleh M, sebaliknya pada Gambar 2.10. ,
1
v disebut unsaturated karena tidak ada matching M yang menempel pada
1
v .
Universitas Sumatera Utara
v
1
Gambar 2.10 Contoh simpul unsaturated M
Matching M disebut matching sempurna jika setiap node pada G saturated oleh matching M. Pada Gambar 2.9 semua node saturated oleh matching M, maka
graf pada Gambar 2.9 merupakan contoh matching sempurna. Sedangkan pada Gambar 2.10 ada satu node yaitu
1
v yang tidak saturated oleh matching M, maka graf pada Gambar 2.10 bukan contoh matching sempurna.
Dari sebuah graf G, bisa saja diperoleh lebih dari satu matching M. Suatu matching M disebut matching maksimum jika untuk setiap matching pada graf G
tidak terdapat matching M dengan |M’| ≥|M|. Sehingga setiap matching sempurna
adalah matching maksimum. Namun sebaliknya, jika M adalah matching maksimum belum tentu M merupakan matching sempurna. Gambar 2.9 merupakan matching
sempurna sekaligus matching maksimum dan Gambar 2.10 merupakan contoh matching maksimum tetapi bukan matching sempurna.
Misalkan M adalah matching dan P adalah lintasan pada graf G. Lintasan P disebut M-alternating jika edge-edgenya pada P terbentang dalam M dan berada pada
EG\M, dengan kata lain edgenya bergantian antara M dan EG\M. Selanjutnya Lintasan P disebut M-augmenting jika lintasan ini M-alternating dan node awal serta
Universitas Sumatera Utara
node akhir dari Lintasan P merupakan M- unsaturated. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 2.11.
e
3
v
1
e
1
v
4
e
2
v
2
e
6
v
5
e
5
e7 v
3
e
8
v
7
v
8
e
9
v
9
e
4
Gambar 2.11 Contoh M-Augmenting dan M-Alternating
Pada Gambar 2.11, yang merupakan contoh lintasan M-alternating yaitu
4 2 2 3 6 6 5 7 3
{ }
v e v e v e v e v . Sedangkan
8 9 6 3 2 5 5 7 3 8 7
{ }
v e v e v e v e v e v merupakan contoh lintasan M-
augmenting karena node awalnya yaitu
8
v dan node akhirnya yaitu
7
v merupakan node yang berada pada EG\M dan unsaturated M.
Misalkan M adalah matching pada graf G, dan terdapat matching lain, sebut saja M’ dengan M
∆M’ menunjukkan perbedaan simetris M dan M’. Maka dapat diperoleh suatu graf H=GM
∆M’ yang merupakan graf yang direntang oleh edge M
∆M’ dengan menghapus semua edge M∩M’ dan edge G\M∩G\M’. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 2.5.
Contoh 2.5 Diberika graf G yang memuat matching M dan matching M’ seperti pada Gambar
2.12. Akan dicari H=GM ∆M’.
Universitas Sumatera Utara
v
1
v
7
v
2
v
3
v
4
v
5 v
6
v
8
v
9
v
10
v
11
Gambar 2.12 Graf G dengan matching M dan matching M’
Edge yang menghubungkan node v
5
dan node v
8
merupakan anggota-anggota matching M sekaligus anggota matching M’M
∩M’. Maka, edge tersebut dihapus. Edge yang menghubungkan node v
5
dan node v
11
serta edge yang menghubungkan node v
6
dan node v
8
bukan anggota matching M sekaligus bukan anggota matching M’G\M
∩G\M’, oleh karena itu dihapus. Selanjutnya diperoleh H=GM∆M’, seperti Gambar 2.13.
v
3
v
7
v
9
v
4
v
1
v
2
v
5
v
6
v
8
v
10
v
11
Gambar 2.13
H G M M
= ∆
Lemma 2.1 Misalkan M dan M’ adalah dua matching yang berbeda pada G, H = G
M ∆M’, dengan M∆M’ menunjukkan beda simetris dari M dan M’. Setiap komponen
dari H pasti berkaitan dengan salah satu dari ketiga bentuk dibawah ini:
1. Node terisolasi.
Universitas Sumatera Utara
2. Siklus M,M’-alternating dengan orde genap.
3. Lintasan M,M’-alternating.
Bukti: Misalkan V adalah himpunan node dan E adalah himpunan edge pada graf G
dengan M dan M’ adalah dua matching yang berbeda, maka akan terdapat tiga kasus: 1.
Node yang berisiden dengan edge M ∩M’ atau edgeG\M∩G\M’ tetapi
tidak berinsiden dengan matching M maupun M’, maka pada graf H node tersebut merupakan node terisolasi.
M’
M v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
8
v
9
v
10
v
11
Gambar 3.14 Contoh Graf G dengan matching M dan matching M’
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
8
v
9
v
10
v
11
Gambar 3.15
H G M M
= ∆
dari Graf
2. Andaikan P adalah komponen dari H. Dalam hal ini 1
≤ ∆P ≤2. Jika semua
node pada P mempunyai derajat dua, maka masing-masing nodenya berinsiden
Universitas Sumatera Utara
dengan satu edge pada M dan satu edge pada M’. Maka dapat disimpulkan bahwa siklus M, M’-alternating dengan orde genap.
3. Ada
x V P ∈
sedemikian hingga dengan Hx = 1. Maka terdapat paling sedikit satu node misalkan saja node y, dengan derajat satu selain node x.
Ketika ∆P≤2, P adalah lintasan yang menghubungkan x dan y. Node-node
internalnya jika ada merupakan node berderajat dua, maka P adalah lintasan M, M’-alternating.
Contoh 2.6:
1. Perhatikan Gambar 2.14 dan Gambar 2.15. Node
2 4
7
{ , , }
v v v pada graf G
menjadi node terisolasi pada graf H. 2.
Pada Gambar 2.15,
1 7 3 10
{ }
v v v v adalah lintasan M, M’-alternating.
3. Pada Gambar 2.15,
5 8 6 1 15
{ }
v v v v v
,
adalah siklus M,M’-alternating dengan orde genap.
Teorema 2.1Teorema Berge Matching M pada graf G adalah matching maksimum jika dan hanya jika G tidak mengandung lintasan M-augmenting.
Bukti: 1.
Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan M adalah matching maksimum pada graf G dan terdapat lintasan M-augmenting P. Dalam hal ini, P haruslah
memiliki jumlah edge yang ganjil, karena agar suatu lintasan P merupakan lintasan M-augmenting, setiap satu edge yang merupakan matching M harus
berajasen dengan dua rusuk lainnya yang bukan matching EG\M. Untuk lebih jelasnya, misalkan lintasan M-augmenting P= {
0 1 2 1
.....
v k
k
v v v v
−
}. Perhatikan bahwa k jumlah edge berjumlah ganjil, karena
v dan
k
v unsarated M, artinya
0 1
v v dan
1
k
v k
v −
harus bukan anggota matching M. Selanjutnya definisikan himpunan edge M’
⊆G dengan M’=
1
1 2 3 4
0 1 2 3
2
{ ,
..... }
{ ,
....... 1 }
k v
k
v k
k
M v v v v
v v v v v
v
−
−
− ∪
−
, maka M’ merupakan matching pada graf G dengan nilai |M’| = |M|+1. Hal ini kontradiksi dengan M
adalah matching maksimum. Oleh karena itu, jika M adalah matching maksimum pada graf G, maka G tidak mungkin memiliki lintasan M-augmenting.
Universitas Sumatera Utara
2. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan M bukan matching maksimum
dan M’ adalah matching maksimum di G. Akibatnya |M’| ≥
|M|. Definisikan, H=GM
∆M’ dengan M∆M’ menunjukkan beda simetri di M dan M’. Dari pembuktian lemma 2.1, diperoleh setiap node di H berderajat 1 atau 2,
karena setiap node di H berinsiden dengan paling banyak satu edge di M dan satu edge di M. Dengan demikian, komponen H adalah lintasan yang edgenya
bergantian di M dan M’atau siklus dengan banyak edgenya adalah genap. Karena M’ dimisalkan sebagai matching maksimum, dari penjelasan sebelumnya
diperoleh |M’| ≥|M|. Akibatnya, H mempunyai lebih banyak edge M dibandingkan
edge M. Sehingga lintasan P di H yang edge awal dan edge akhirnya adalah anggota dari M’. Dengan kata lain node awal serta node akhir dari lintasan P
merupakan M-unsaturated. Maka lintasan P adalah lintasan M-augmenting. Kita peroleh pernyataan, jika M bukan matching maksimum di G maka
mengandung lintasan M-augmenting. Pernyataan ini ekivalen dengan jika G tidak mengandung lintasan M-augmenting, maka M adalah matching maksimum di G.
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, algoritma Kuhn-Munkres dapat direpresentasikan dengan graf bipartit. Representasi algoritma Kuhn-Munkres
pada graf bipartit melibatkan penerapan matching, maka akan dibahas mengenai matching pada graf bipartit.
2.3.2 Matching Pada Graf Bipartit
Sebelum membahas lebih jauh mengenai matching pada graf bipartit, akan dijelaskan dulu mengenai himpunan persekitaran. Misalkan terdapat graf sebarang G=V,E,
dengan V adalah himpunan node pada G dan S merupakan subset dari VG, maka himpunan persekitaran dari S neighbour set of S adalah himpunan semua node yang
berajasen dengan node-node di S. Himpunan persekitaran biasanya dinotasikan dengan N
G
S. Teorema 2.2 Teorema Hall Misalkan G adalah graf bipartit dengan bipartisi {X,Y}.
Maka G mengandung sebuah matching yang saturates untuk setiap node di X jika dan hanya jika |S|
≤| N
G
S| untuk setiap S ⊆ X.
Bukti:
Universitas Sumatera Utara
1. Misalkan G mengandung matching M yang saturated pada tiap node di X dan
S adalah subset dari X. Karena tiap node pada S matched di bawah M dengan berbeda di | N
G
S|, maka diperoleh |S| ≤| N
G
S|. 2.
Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan G adalah graf bipartit yang memenuhi S|
≤| N
G
S| untuk setiap S ⊆X, tetapi G tidak mempunyai matching
yang saturated pada setiap node dari X. Misalkan M adalah matching maksimum pada G, maka akan terdapat node u di X yang merupakan
unsaturated M. Selanjutnya definisikan himpunan node di G dengan Z= {v
∈VG: terdapat lintasan Malternating dari u ke v}, dengan kata lain Z adalah himpunan
semua node yang terhubung ke u oleh lintasan M-alternating. Karena M adalah matching dan u unsaturated M, dari teorema 3.1 teorema Berge
diperoleh u adalah satu-satunya node yang unsaturated M pada Z. Misalkan S= Z
∩X dan T = Z∩Y. Maka diperoleh node pada S\{u} matched di bawah M dengan node pada T. Sehingga |T| = |S|-1 dari T subset dari N
G
S. Lebih tepat lagi N
G
S=T karena setiap node di N
G
S terhubung ke u oleh suatu lintasan M-alternating. Tetapi |T|=|S|-1 dan N
G
S = T, jadi diperoleh | N
G
S| = |S|-1 |S| hal ini kontradiksi dengan pernyataan |S|
≤| N
G
S|. Maka haruslah G memiliki matching yang saturates terhadap setiap node di X.
Akibat 1Teorema Marriage, Forbenius Graf bipartit G dengan bipartisi {X,Y}, memiliki matching sempurna jika dan hanya jika |X|=|Y| dan |S|
≤| N
G
S| untuk setiap S
⊆X atau Y. Akibat 2 König Jika G adalah graf bipartit k-reguler dengan k0, maka G
memiliki sebuah matching sempurna.
Bukti: Misalkan G adalah graf bipartit k- reguler dengan bipartisi {X,Y}. Karena G
adalah k-reguler, maka k|X|=k|Y|. Karena k0, maka |X| = |Y|. Misalkan S subset dari X, dengan E1 adalah himpunan edge yang berinsiden
dengan node di S dan E2 adalah himpunan node yang berinsiden dengan node di N
G
S. Maka berdasarkan definisi N
G
S diperoleh E1 subset dari E2 oleh
Universitas Sumatera Utara
karena itu diperoleh k| N
G
S| ≥|S|, maka berdasarkan Teorema2.2 Teorema
Hall diperoleh pernyataan bahwa G memiliki matching M yang saturates terhadap setiap simpul di X, dan karena |X|= |Y|, maka M adalah matching
sempurna.
Universitas Sumatera Utara
Bab 3
REPRESENTASI ALGORITMA KUHN-MUNKRES
3.1 Deskripsi Probem Assignment
Kategori