Titik Tetap Stabil Titik Tetap Takstabil Pelinearan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Analisis Kestabilan Titik Tetap

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial orde satu dengan persamaan dan buah fungsi yang tak diketahui dapat ditulis sebagai berikut: ̇ dengan . Jika linear maka sistem persamaan diferensial di atas disebut linear, sebaliknya jika tidak linear maka sistem persamaan diferensial di atas disebut taklinear. Jika tidak bergantung secara eksplisit pada , yaitu , maka disebut sistem persamaan diferensial mandiri. Sistem persamaan diferensial linear mandiri dapat ditulis sebagai berikut: ̇ , dengan adalah matriks koefisien berukuran dan adalah vektor koefisien berukuran . Jika maka sistem persamaan diferensial di atas disebut homogen. Solusi dari sistem persamaan diferensial linear mandiri homogen sebagai berikut: , disebut dengan solusi trivial. Jika tidak demikian disebut solusi nontrivial.

2.2 Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan

diferensial sebagai berikut: ̇ . Titik disebut titik tetap jika memenuhi . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Tu 1994

2.3 Titik Tetap Stabil

Misalkan titik adalah titik tetap sebuah sistem persamaan diferensial mandiri dan adalah solusi yang memenuhi kondisi awal dengan . Titik dikatakan titik tetap stabil jika dengan | | , maka | | . Verhulst 1990

2.4 Titik Tetap Takstabil

Misalkan titik adalah titik tetap sebuah sistem persamaan diferensial mandiri dan adalah solusi yang memenuhi kondisi awal dengan . Titik dikatakan titik tetap takstabil jika dengan | | , maka | | . Verhulst 1990

2.5 Pelinearan

Untuk suatu sistem persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial taklinear sebagai berikut: ̇ . 2.1 Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap , maka persamaan 2.1 dapat ditulis sebagai berikut: ̇ . 2.2 Persamaan tersebut merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan matriks Jacobi, [ ] dan suku berorde tinggi yang bersifat . Selanjutnya pada persamaan 2.2 disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan 2.2 yang dituliskan dalam bentuk ̇ . Tu 1994

2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan matriks berukuran . Suatu vektor taknol di disebut vektor eigen dari , jika untuk suatu skalar berlaku: . 2.3 Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks , maka persamaan 2.3 dapat ditulis sebagai berikut: , 2.4 dengan matriks identitas. Persamaan 2.4 memunyai solusi taknol jika dan hanya jika: . 2.5 Persamaan 2.5 disebut persamaan karakteristik dari matriks . Anton 1995

2.7 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan diberikan matriks berukuran sebagai berikut: , maka persamaan karakteristiknya menjadi , sedemikian sehingga diperoleh persamaan: , dengan , . Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut: √ Ada tiga kasus untuk nilai : Kasus I Jika maka kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda, sehingga titik tetap bersifat sadel. Kasus II i Jika dan maka kedua nilai eigen bernilai real dan positif, sehingga titik tetap bersifat simpul tak stabil. Jika maka kedua nilai eigen bernilai real dan negatif, sehingga titik tetap bersifat simpul stabil. ii Jika dan maka kedua nilai eigen bernilai kompleks dengan , √ , sehingga titik tetap bersifat spiral tak stabil. Jika maka kedua nilai eigen bernilai kompleks , sehingga titik tetap bersifat spiral stabil. Jika maka kedua nilai eigen imajiner murni , sehingga titik tetap bersifat center. iii maka kedua nilai eigen bernilai sama, sehingga pada kasus ini titik tetap bersifat simpul sejati. Kasus III Jika maka salah satu nilai eigen bernilai nol, titik tetap bersifat degenerate. Strogatz 1994 Analisis kestabilan titik tetap dapat juga dikaji berdasarkan kondisi Routh-Hurwitz. Misalkan 1 2 3 , , , , k a a a a adalah bilangan- bilangan real dengan j a  jika j k  . Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik 1 2 1 1 2 1 k k k k k p a a a a                memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks j M untuk setiap 1, 2,3, , j k  adalah positif. 1 3 5 2 1 2 4 2 2 1 3 2 3 1 j j j j a a a a a a a M a a a                     Menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk   2,3 k  berlaku bahwa titik tetap x stabil jika dan hanya jika . Keshet 1988

2.8 Penondimensionalan