, sedemikian sehingga diperoleh persamaan:
, dengan
, .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks
sebagai berikut:
√ Ada tiga kasus untuk nilai
: Kasus I
Jika maka kedua nilai eigen bernilai
real dan berbeda tanda, sehingga titik tetap bersifat sadel.
Kasus II
i Jika
dan maka kedua nilai eigen bernilai real dan positif,
sehingga titik tetap bersifat simpul tak stabil. Jika
maka kedua nilai eigen bernilai real dan negatif, sehingga titik
tetap bersifat simpul stabil. ii
Jika dan maka kedua
nilai eigen bernilai kompleks dengan
,
√
, sehingga titik tetap bersifat spiral tak stabil. Jika
maka kedua nilai eigen bernilai kompleks
, sehingga titik tetap bersifat spiral stabil. Jika
maka kedua nilai eigen imajiner murni
, sehingga titik tetap bersifat center. iii
maka kedua nilai eigen bernilai sama, sehingga pada kasus ini titik
tetap bersifat simpul sejati. Kasus III
Jika maka salah satu nilai eigen
bernilai nol, titik tetap bersifat degenerate. Strogatz 1994
Analisis kestabilan titik tetap dapat juga dikaji berdasarkan kondisi Routh-Hurwitz.
Misalkan
1 2
3
, ,
, ,
k
a a a a
adalah bilangan- bilangan real dengan
j
a
jika
j k
. Semua
nilai eigen
dari persamaan
karakteristik
1 2
1 1
2 1
k k
k k
k
p a
a a
a
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks
j
M
untuk setiap
1, 2,3, ,
j k
adalah positif.
1 3
5 2
1 2
4 2
2 1
3 2
3
1
j j
j j
a a
a a
a a
a M
a a
a
Menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk
2,3 k
berlaku bahwa titik tetap
x
stabil jika dan hanya jika
. Keshet 1988
2.8 Penondimensionalan
Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu persamaan
banyak parameter menjadi persamaan dengan lebih
sedikit parameter.
Biasanya penondimensionalan
mengelompokkan beberapa parameter dengan sebuah parameter
tunggal. Strogatz 1994
Contoh: Diberikan model mangsa pemangsa berikut:
̇ 2.7
̇ Persamaan 2.7 memiliki empat parameter,
yaitu , , , dan . Dengan memisalkan
, ,
, maka diperoleh model dengan satu parameter
yaitu, ̇ ,
̇ .
III PEMBAHASAN
3.1 Perumusan Model
Dalam karya ilmiah ini dibahas model mangsa-pemangsa
yang menggambarkan
suatu rantai makanan antara dua spesies pemangsa dan satu spesies mangsa dengan
adanya faktor kejenuhan memangsa dan persaingan antarpemangsa. Berikut ini adalah
sistem persamaan modelnya:
di mana
dengan : banyaknya populasi mangsa ;
ekor, : banyaknya populasi pemangsa I
; ekor, : banyaknya populasi pemangsa II
; ekor, : laju pertumbuhan intrinsik mangsa per
hari, : daya dukung lingkungan bagi mangsa,
: kemampuan maksimum pemangsa I dalam mencari mangsa per hari,
: kemampuan maksimum pemangsa II dalam mencari mangsa per hari,
: tingkat kejenuhan pemangsa I ekor, : tingkat kejenuhan pemangsa II ekor,
: tingkat persaingan pemangsa I, : tingkat persaingan pemangsa II,
: koefisien interaksi antara mangsa dan pemangsa I,
: koefisien interaksi antara mangsa dan pemangsa II,
: laju kematian pemangsa I per hari, : laju kematian pemangsa II per hari.
Besaran dan
merupakan suatu interaksi respon fungsional yang
menggambarkan laju
pemangsaan dan
ketersediaan makanan mangsa. Laju pertumbuhan intirinsik mangsa
dipengaruhi oleh laju pertumbuhan pemangsa dan , di mana tumbuh secara logistik.
Laju pertumbuhan
populasi pemangsa
dipengaruhi oleh interferensi antarpemangsa yaitu tingkat persaingan
dan kejenuhan yang dikurangi oleh laju kematian
populasi pemangsa , untuk
. Kedua faktor tersebut akan dianalisis untuk melihat
pengaruh kestabilan sistem. Untuk menyederhanakan model 3.1
maka dilakukan
penondimensionalan, sehingga skala parameter yang digunakan,
yaitu:
1 2
, ,
, X
AY A Z
y z
K RK
RK
x
dengan
, , dan . Sistem persamaan yang baru menjadi:
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
1 xy
xz dx
x x
b x m y
b x m z
dt dy
xy a
d y dt
b x m y
dz xz
a d z
dt b
x m z
bukti lihat Lampiran 1 Titik tetap pada persamaan 3.2 dapat
dinyatakan ke dalam bentuk dan
juga dapat diperoleh dengan menentukan ,
, dan , sehingga
persamaannya:
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
1 xy
xz x
x b
x m y b
x m z xy
a d y
b x m y
xz a
d z b
x m z
Dengan menyelesaikan sistem persamaan 3.3 diperoleh lima titik tetap yaitu
, ,
̅ ̅ , ̃ ̃ ,
dan .
bukti lihat Lampiran 2
3.2
3.3 .
.
3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap
