Tujuan Penulisan Sistematika Penulisan Sistem Persamaan Diferensial Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Makhluk hidup terdiri atas bermacam- macam spesies yang membentuk komunitas dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup lain. Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antarspesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa prey dan pemangsa predator. Tiap pemangsa akan bersaing dengan individu lain yang sejenis untuk memperoleh mangsanya guna mempertahankan hidup. Di dalam hubungan tersebut pemangsa juga berperan sebagai pengontrol populasi mangsa. Awalnya model mangsa-pemangsa berfokus hanya pada peran predasi, dengan interferensi antarpemangsa diabaikan. Di tahun 1975, Beddington-DeAngelis mem- perkenalkan suatu model mangsa-pemangsa dengan ditambahkan adanya interferensi antarapemangsa dengan jenis yang berbeda. Feng et al. 2010 Dalam sistem mangsa-pemangsa interferensi dapat diartikan sebagai adanya persaingan dalam memangsa. Manfaat persaingan antarpemangsa ialah untuk mengatur besarnya populasi dan memastikan ketersediaan makanan, ruang, dan sumber daya lain yang diperlukan untuk eksistensi dan reproduksi. Jadi, adanya persaingan di dalam sistem mangsa-pemangsa dapat memengaruhi kestabilan dinamika populasi. Selain itu, persaingan dapat berdampak positif pada kestabilan dan daya tahan jika tingkat persaingan antarpemangsa rendah, dan sebaliknya jika tingkat persaingan antarpemangsa tinggi maka populasi pemangsa semakin berkurang. Selain tingkat persaingan antarpemangsa, tingkat kejenuhan memangsa juga memengaruhi kestabilan sistem. Semakin besar tingkat kejenuhan pemangsa maka populasi pemangsa semakin berkurang. Dalam karya ilmiah ini, direkonstruksi model mangsa-pemangsa yang melibatkan tiga spesies hewan yang membentuk suatu rantai makanan, dengan dua spesies pemangsa dan satu spesies mangsa yang disusun oleh Feng et al. 2010. Dari model tersebut akan diteliti efek dari interferensi pemangsa dalam tingkatan yang berbeda berdasarkan tingkat kejenuhan dan tingkat persaingan antarpemangsa.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah: 1. Memelajari model mangsa-pemangsa Feng et al. 2010 dengan adanya interferensi antarpemangsa. 2. Melihat pengaruh tingkat kejenuhan dan persaingan antarpemangsa terhadap kestabilan sistem.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Bab ketiga berisi penjelasan model mangsa- pemangsa dengan adanya interferensi antarpemangsa. Dalam bab ini juga disajikan simulasi dinamika populasi mangsa maupun pemangsa dari pengaruh tingkat kejenuhan dan persaingan antarpemangsa. Bab keempat berisi simpulan dari keseluruhan penulisan. II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial orde satu dengan persamaan dan buah fungsi yang tak diketahui dapat ditulis sebagai berikut: ̇ dengan . Jika linear maka sistem persamaan diferensial di atas disebut linear, sebaliknya jika tidak linear maka sistem persamaan diferensial di atas disebut taklinear. Jika tidak bergantung secara eksplisit pada , yaitu , maka disebut sistem persamaan diferensial mandiri. Sistem persamaan diferensial linear mandiri dapat ditulis sebagai berikut: ̇ , dengan adalah matriks koefisien berukuran dan adalah vektor koefisien berukuran . Jika maka sistem persamaan diferensial di atas disebut homogen. Solusi dari sistem persamaan diferensial linear mandiri homogen sebagai berikut: , disebut dengan solusi trivial. Jika tidak demikian disebut solusi nontrivial.

2.2 Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan

diferensial sebagai berikut: ̇ . Titik disebut titik tetap jika memenuhi . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Tu 1994

2.3 Titik Tetap Stabil