– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
2. Bentuk bidang dalam demensi dua 1. Segitiga
Bentuk-bentuk segitiga Dilihat dari sisi dan sudutnya ada beberapa jenis segitiga, yaitu:
a. Segitiga lancip, semua sudutnya lebih kecil dari 90
b. Segitiga siku-siku, salah satu sudutnya 90
c. Segitiga tumpul, salah satu sudutnya lebih dari 90
d. Segitiga samakaki, ada dua sisi dan dua sudut yang sama
e. Segitiga sama sisi, ketiga sisinya mempunyai panjang yang sama.
Dalam setiap segitiga berlaku sifat-sifat sebagai berikut: a. Jumlah sudut dalamnya sama dengan 180
. + + = 180 b. Jumlaj sudut luar sama dengan 360
.
1
+
1
+
1
= 360 c. Hubungan antara sudut luar denga dalam
1
=. +
1
= +
1
= +
1
1 1
Segitiga sama dan sebangun
Dua buah segitiga disebut sama dan sebangun , jika: a.
Satu sisi dan dua sudut sama besar z z
\ .x . y \ x y
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
b. Dua sisi dan sudut antara dua sisi tersebut sama besar.
\\ 0 0
\ \ c. Ketiga sisinya sama
\ \ \ \
Segitiga sebangun Dua segitiga adalah sebagun, jika ketiga sudut yang seletak sama besar
C
D E A B
sebangun adalah
dan ABC
DEC CBA
CDE CAB
CDE ACB
DCE
Untuk segitiga sebangun berlaku perbandingan berikut lihat gambar
CB CE
CA CD
AB DE
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Luas daerah segitiga dan keliling segitiga C
b t a A B
c
Keliling segitiga s = a + b + c
2 2
c b
a s
c s
b s
a s
s L
tinggi x
alas L
Garis-garis istimewa pada segitiga a. Garis Berat
Garis berat adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga ke sisi segitiga dan membagi dua sama besar sisi dihadapannya
C \
D Z E \ zb \\
za zc A \ \ B
F
Ketiga garis berat segitiga berpotongan di satu titik Z dengan perbandingan ZA:ZE = 2: 1
ZB:ZD = 2:1 ZC:ZF = 2:1
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Panjang garis berat
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
c b
a zc
b c
a zb
a c
b za
c. Garis tinggi.
Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga sehingga tegak lurus dengan sisi dihadapannya.
C t
c
E D T
t
a
t
b
A B F
Ketiga garis berat segitiga berpotongan di satu titik T Perbandingannya t
a
: t
b
: t
c
= 1a : 1b : 1c Panjangnya:
. 2
2 .
2 2
. 2
2
L c
c s
b s
a s
s c
t L
b c
s b
s a
s s
b t
L a
c s
b s
a s
s a
t
c b
a
d. Garis bagi
Garis bagi adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut segitiga kesisi dihadapannya sedemikian hingga membagi dua sama besar sudut tersebut.
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
C
0 0
b I a I
a
I
b
A c
1
c
2
B c
Ketiga garis bagi sebuah segitiga berpotongan di satu titik I Perbandingannya:
c
1
: c
2
= b:a c
a ac
c b
a bc
c
2 1
dan Panjangnya:
2 1
2 1
2 1
c c
ab i
b b
ac i
a a
bc i
c b
a
Teorema Phytagoras pada segitiga Pada setiap segitiga siku-siku berlaku: kwadrat sisi miring sama dengan
jumlah kwadrat yang lain.
a c
b
c
2
= a
2
+ b
2
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Perbandingan seharga dalam segitiga
a e a e c c
b f b f d d
a : b = e : f a : a+b = c : f
e : e+f = c : d
Contoh Hitunglah x dari dua segitiga berikut:
C F
60
60 cm 60 15 cm
A 40 D E
x 8 cm
Jawab Dari ABC: BAC = 180
– 60 + 40
= 80 Dari DEF: DEF = 180
– 60 + 80
= 40 Berarti ABC dan DEF sebangun, sehingga berlaku:
cm x
x FE
CB x
32 8
. 60
15 15
60 8
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Contoh Soal
1. Sebuah baji yang simetris mempunyai panjang dari alas kepuncaknya 100 mm.
Lebar alasnya 20 mm. Bila baji tersebut ditempatkan pada celah yang lebarnya 8 mm, berapakah panjang baji tersebut dari celah
Penyelesaian: Misalkan panjang baji dari celah = x mm
20 mm 8 mm
x 100 - x 100 mm
100 : 100-x = 20 : 8 x = 60 mm
2. Sebuah kerucut mempunyai diameter 48 mm dengan tinggi 60 mm. Dari kerucut
ini dibentuk kerucut yang lebih kecil yang tingginya 20 mm. Hitung diameter dari kerucut yang lebih kecil tersebut.
Penyelesaian: A
20 20 D F
F 60
24 24
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
B G C 48
AFE AGC
8 24
3 1
24 60
20
FE X
FE FE
GC FE
AG AF
Jadi diameter kerucut yang lebih kecil 2.8 mm =16 mm Soal-soal tentang segitiga
1.
Sebuah segitiga mempunyai panjang sisi 15 mm, 24 mm, 36 mm, panjang sisi terpendek segitiga sebangunnya adalah 20 mm. Hitunglah panjang kedua sisi yang lainnya.
2. Sabuk penggerak bersilangan menghubungkan pully yang berdiameter 100 mm dan 240
mm. Hitung jarak di mana sabuk bersilangan diukur dari pusat pully yang terbesar. 240 mm
100 mm 400 mm
3.
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku 100 mm. Dua sisi lainnya mempunyai perbandimgan 5:1. Hitunglah panjang sisi terpendek.
4. Profil yang tidak mempunyai garis lurus seperti gambar.
R=120 R = 50
w
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Hitung lubang yang paling kecil dari frofil w 5.
Tiga kabel melalui lubang berbentuk lingkaran. Bila kabel berdiameter 8 mm. Tentukan kemungkinan terkecil diameter lubang D
Gambar. 6.
Dua buah lingkaran masing-masing berdiameter 78 mm dan 50 mm berpotongan pada A dan B. Jika tali busur AB mempunyai panjang 30 mm, sedangkan C dan D masing-
masing adalah lingkaran yang besar dan kecil . Hitunglah: a.
Jarak pusat lingkaran – lingkaran tersebut CD b.
Luas setiga CAD
2. Segiempat. Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu
dan menutup. D
C AB; CB; CD; dan DA sisi-sisi segiempat A
B 2.1.
Empat persegi panjang
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
D c C E
d b A a B
AB = CD dan AB CD AD = BC dan AD BC
A = B = C = D =90
o
AC dan BD diagonal Keliling = 2 panjang + lebar
Luas = panjang x lebar
2.2. Bujur Sangkar D a C
a E a A a B
AB = CD dan AB CD AD = BC dan AD BC
A = B = C = D =90
o
AC dan BD diagonal AC = BD AE=EC=DE=EB
DE AC
Keliling = 4a Luas = a
2
2.3.Jajaran Genjang Sifat-sifat jajaran genjang:
- Dua buah pasang sisinya sejajar
- Sudut yang berhadapan sama besar.
D C E
A B
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
AC = DC ; AD = BC
AE = EC ; DE = EB
A = C ; B = D Kll = AB + BC .2
Luas = alas x tinggi atau Luas = ½ hasil kali diagonal
Contoh: Sebuah jajaran genjang dengan panjang sisi yang berdekatannya masing-masing 5
mm dan 8 mm, sudut apitnya sebesar 60
. Hitunglah: a. Panjang diagonal-diagonalnya
b. Luas jajaran genjang c. Jarak antara garis-garis yang sejajar.
Penyelesaian: D C
60
A F B E G
a.
BE = ½ BC BE = ½ x 5 =2,5
CE = ½ 3x BC = 2,5 3.
mm BD
FB DF
BD mm
AC CE
AE AC
7 49
5 ,
2 8
3 5
, 2
36 ,
11 3
5 ,
2 5
, 2
8
2 2
2 2
2 2
2 2
b. Luas = alas x tinggi
L = AB x DF L = 8 x 2,5 3=34,64 mm
c. DF = 2,5 3 = 4,33 mm
BG = ½ AB = ½ . 8
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
= 4 mm
6,93mm 48
4 8
AG BG
AB AG
2 2
2 2
2.4. Belah Ketupat
Sifat-sifat belah ketupat -. Panjang semua sisi adalah sama
-. Sisi yang berhadapan adalah sejajar -. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar.
D C E
A B AB = BC = CD = DA
ABCD ADBC
DE AC Luas = ½ AC x BD
Luas = alas x tinggi
2.4. Trapesium
Sifat-sifat dari trapesium yaitu mempunyai satu pasang sisi yang sejajar. D C
A B ABCD
+ + + = 360 Kll = AB + BC + CD + DA
x tinggi 2
sejajar sisi
Jumlah Luas
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Trapesium siku-siku di titik A D C
A B
AD x
2 DC
AB Luas
Trapesium sama kaki D C
ABDC AD = BC
= =
A F B DF
x 2
DC AB
Luas
Contoh: 1.
Hitunglah luas belah ketupat dengan sisi 7,2 mm dan diagonal terpanjang 10,5 mm D
10,5
A C
7,2
B Penyelesaian: Metode 1.
Luas belah ketupat adalah jumlah luas 2 buah setiga ABC dengan panjang sisi 7,2, 7,2 dan 10,5
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
a = 7,2; b = 10,5 dan c = 7,2
2
87 ,
25 2
, 7
45 ,
12 5
, 10
45 ,
12 2
, 7
45 ,
12 45
, 12
Luas Luas
45 ,
12 2
2 ,
7 5
, 10
2 ,
7 2
mm ABC
c s
b s
a s
s ABC
c b
a s
Luas belah ketupat L = 2 x L. ABC L = 2 x 25,87 = 51,7 mm
2
Dengan metode 2 Dengan jajaran genjang.
Diagonal AD dan CB saling berpoyongan tegak lurus ditengah-tengah sehingga ABE segitiga siku-siku.
D A E C
7,2
B AB = 7,2
AE = ½ x AC = ½ x 10,5 = 5,25 AB
2
= AE
2
+ BE
2
7,2
2
= 5,25
2
+ BE
2
BE
2
= 51,84- 27,56 BE
2
= 24,28 BE = 4,93
Diagonal BC = 2 BE = 2 x 4,93 = 9,85 Luas belah ketupat = ½ hasil kali diagonal
Luas belah ketupat = ½ x 10,5 x 9,85 = 51,73 mm
2
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
2. Perbandingan garis sejajar sebuah trapesium 7 : 10. Jarak antaranya ½ kali sisi
terpanjang. Luas trapesium itu 170 mm
2
. Hitunglah panjang sisi-sisi trapesium tersebut.
Penyelesaian: D a C
c A E b B
20mm 1,7
680 b
1,7 170.4
b 170
b 2
1 .
2 b
b 10
7 170
.c 2
b a
b 2
1 c
dan b
10 7
a 10
7 b
a
2
a = 710 x 20 = 14 dan c = ½ x 20 = 10
3.
Segi Banyak.
3.1. Segi Banyak Tak Beraturan.
Segi n tak beraturan : Garis yang menghubungkan setiap dua titik sudut disebut diagonal. Jumlah titik sudut n pada segi n adalah = n
–2 x 180 . Banyak
diagonal yang ditarik dari titik sudut = n – 3.
Banyak diagonal seluruhnya = ½ n n – 3
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
D C
E B
A
3.2. Segi Banyak Beraturan.
Besar Sudut segi n beraturan menjadi n
180 x
2 -
n ; n adalah jumlah sisi segi
banyak. Lingkaran dapat dibuat segi banyak beraturan dengan segi tak berhingga.
Jumlah sisi Nama
3 4
5 6
7 8
10 12
Segi 3 Bujur sangkar Segi 5 pentagonal
Segi 6 hexagonal Segi 7 heptagonal
Segi 8 oktagonal Segi 10 dekagonal
Segi 12 dodekagonal
Contoh: Segi enam beraturan yang mempunyai panjang sisi 40 mm, maka luasnya dapat
dihitung sebagai berikut. 40
40 40
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
2
57 ,
41 40
60 40
60 40
60 60
6 c
- bs
- as
- ss
6 6
segi Luas
60 2
40 3.
s
mm
4. Lingkaran
Kategori