– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Dari grafik di atas didapat:
ctg ctg
tg tg
cos cos
sin sin
Jadi untuk sudut negatif hanya fungsi cosinus yang berharga positif dan yang lain berharga negatif.
Sudut-sudut yang lebih besar 360
Y
Px,y r
X
+ k.360
Titik Px,y membentuk sudut dengan sumbu X positif diputar k kali 360 pada arah
positif, titik P kembali keposisi semula , maka nilai fungsi untuk titik P akan sama dengan nilai fungsi semula. Sehingga untuk sudut yang lebih dari 360
akan berlaku:
positip bulat
bilangan adalah
360 .
360 .
cos 360
. cos
sin 360
. sin
k ctg
k ctg
tg k
tg k
k
4. Identitas.
Persamaan adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk nilai tertentu . Persamaan 4x – 2 =
14 hanya benar jika x = 4 dan persamaan persamaan x
2
– 4 = 0 hanya benar jika x = 2 atau x = -2. Variabel dalam identitas, akan berlaku untuk semua nilai .
cos sin
tg berlaku yntuk
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
setiap nilai berarti bentuk identitas. Dalam sigitiga siku-siku beberapa bentuk identitasnya adalah sebagai berikut:
C
a b B A
c
A c
CotgA c
a TgA
b c
A b
a A
cos sin
tgA c
a b
c b
a A
A cos
sin
Jadi tgA
A A
cos sin
Bentuk-bentuk identitas yang lain didapat dari segitiga phytagogras berikut. Menurut teorema Phytagoras: b
2
= a
2
+ c
2
……………1 Jika persamaan 1 dibagi a
2
didapat:
A g
A Co
2 2
cot 1
sec
Jika persamaan 1 dibagi c
2
didapat :
1
2 2
A tg
A Sec
Jika persamaan 1 dibagi b
2
didapat 1
cos sin
2 2
A A
Atau sin
2
A = 1 – cos
2
A dan cos
2
A = 1 – sin
2
A.
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Contoh: 1.
Sederhanakan sin
cos 1
cos 1
sin Penyelesaian:
ex cos
2 cos
1 sin
cos 1
2 cos
1 sin
cos 2
1 cos
sin cos
1 sin
cos cos
2 1
sin cos
1 sin
cos 1
sin sin
cos 1
cos 1
sin
2 2
2 2
2 2
2. Dalam bentuk simetri pada gambar berikut, tentukan jarak M.
6 cm 60
60 4cm 4 cm
M
Penyelesaian : r 30
x k
r = 2 cm k = r +x
tg30 r
x
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
3 2
3 3
1 2
x
k = 2 + 2 3 cm M = 2 k + 3
M = 2[2 + 2 3 + 3] = 10 + 4 3 cm
5. Aturan Sinus dan Cosinus .
Untuk mencari unsur-unsur dalam segitiga sebuah segitiga, dapat digunakan aturan sinus atau aturan cosinus.
Aturan sinus
Aturan sinus digunakan, jika diketahui : a.
Satu sisi dan dua sudut b.
Dua sisi dan satu sudut didepan sisi yang diketahui
Perhatikan segitiga ABC berikut dengan sudut lancip A
C
b a A D B
c
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
Dari ADC : CD = b sin A Dari DBC : CD = a sin B
Berarti b sin A = a sin B
Atau B
b A
a sin
sin Jika dibuat garis tinggi dari B ke AC, akan didapatkan
C c
A a
sin sin
Jadi dalam setiap segitiga ABC yang sisi-sisinya a, b, dan akan berlaku aturan sinus sebagai berikut:
C c
B b
A a
sin sin
sin Jika d adalah diameter lingkaran luar segitiga ABC maka berlaku:
C c
B b
A a
sin sin
sin = d
Aturan Cosinus.
Aturan cosinus digunakan, jika diketahui: a.
Dua sisi dengan sudut apitnya. b.
Ketiga sisinya.
C
b a A D B
c Dari BCD : CD = a sin B dan BD = a cos B
AD = c – BD
AD = c – a cos B
Menurut teorema Phytagoras: AC
2
= CD
2
+ AD
2
b
2
= a sin B
2
+ c – a cos B
2
b
2
= a
2
sin
2
B + c
2
– 2 ac cos B + a
2
cos
2
B
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
b
2
= a
2
sin
2
B + cos
2
B +c
2
– 2 ac cos B b
2
= a
2
+c
2
– 2 ac cos B Dengan cara yang sama, menggunakan pertolongan garis tinggi bisa didapatkan:
a
2
= b
2
+c
2
– 2 bc cos A c
2
= a
2
+b
2
– 2 ab cos C Sehingga dalam setiap segitiga ABC yang sisi-sisinya a, b, dan akan berlaku aturan
cosinus sebagai berikut: a
2
= b
2
+c
2
– 2 bc cos A atau bc
a c
b A
2 cos
2 2
2
b
2
= a
2
+c
2
– 2 ac cos B atau ac
b c
a B
2 cos
2 2
2
c
2
= a
2
+b
2
– 2 ab cos C atau ab
c b
a C
2 cos
2 2
2
Contoh: Tentukan diameter lingkaran luarsegitiga ABC, jika diketahui sisi-sisinya : a = 6 cm, b = 8
cm dan c = 12 cm Penyelesaian:
Ketiga sisinya diketahui, digunakan aturan cosinus a
2
= b
2
+c
2
– 2 bc cos A
8958 ,
cos 192
36 208
12 .
8 .
2 6
12 8
cos
2 2
2
A A
A = arc cos 0,8958 A = 26,4
o
sin26,4 6
sinA a
d d = 13,4 cm
– Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali
6. Penerapan Trigonometri untuk luas pada bidang datar.
