Bab 4 lecture note1
4. INTEGRAL FUNGSI
KOMPLEKS
Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :
Menghitung integral lintasan kompleks.
Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam perhitungan integral
Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral
(2)
4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil
Misalkan
F(t)adalah fungsi kompleks dari variabel riil
t
,
ditulis sebagai
F(t) u(t)i v(t)dengan
u(t)dan
v(t)adalah fungsi
riil. Jika
u(t)dan
v(t)kontinu pada interval tertutup
a t b,
maka
b
a
b a
b
a v t dt i
dt t u dt
t
F( ) ( ) ( )
.
Sifat-sifat
1. F t dt b
F t
dt ab
a
( ) Re ( )
Re
2. F t dt b
F t
dta b
a
( ) Im ( )
Im
3. k F t dt k b F t dt
a b
a
( ) ( )4. F t dt a F t dt
b b
a
( ) ( )5. F t dt b F t dt
a b
a
( ) ( )Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.
Bukti sifat 3 :
b
ab
a k u t iv t dt dt
t F
k ( ) [ ( ) ( )]
b
a
b
a k iv t dt dt
t u
k ( ) ( )
(sifat integral fungsi riil :
ba b
a k f(x)dx k f(x)dx
ba b
a u t dt k iv t dt
k ( ) ( )
b
a
b
a iv t dt dt
t u
k ( ) ( )
ba F t dt
k ( ) (terbukti). □
Bukti sifat 4 :
b
ab a
b
a v t dt i
dt t u dt
t
F( ) ( ) ( )
(sifat integral fungsi riil :
ab b
a f(x)dx f(x)dx
)
a
b
a
b v t dt i
dt t
u( ) ( )
a
b
a
b v t dt i
dt t
(3)
a
b u(t) i v(t) dt
ab F(t) dt
(terbukti).
□4.2 Lintasan
Jika
g
dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabelt
dalam interval tertutup a t b, maka himpunan titik-titik di bidangxy
dapatdinyatakan dalam bentuk parametrik xg(t), yh(t), a t b. Oleh karena itu, himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik.
Definisi
4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil
xg(t) , yh(t), t
sedemikian sehingga g'(t)
dt dx
dan h'(t)
dt dy
ada dan kontinu dalam interval t.
Contoh
1
Kurva dengan bentuk parametrik 2
3 0
, sin 2 , cos
2
t y t t
x merupakan kurva mulus. □
Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
g t y h t t x ( ) , ( ), maka
titik pada C yang berpadanan dengan
t
disebut titik awal C. titik pada C yang berpadanan dengan t disebut titik akhir C.
Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,
n
C C
C
C 1 2
dengan C1,C2,,Cn merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.
Catatan :
1. C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik awal C.
2. C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C.
(4)
3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.
4. C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
Contoh
2
C1 C2C3 a. Lintasan tertutup
C2 1
C C3 b. Lintasan terbuka
c. Lintasan sederhana d. Lintasan berganda
Teorema
4.1
(
Kurva
Jordan )
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu
1. kurva C.
2. bagian dalam C, ditulis Int(C), yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.
3. bagian luar C, ditulis Ext(C), yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.
Kurva C merupakan batas dari himpunan Int(C) dan )
(C Ext .
□
4.3 Integral Garis
Misalkan kurva mulus C disajikan dengan xg(t), y h(t),
b t
a
.
g(t) dan h(t) kontinu di a t b.
g'(t) dan h'(t) kontinu di a t b. Kurva
C mempunyai arah dari titik awal A(g(a),h(a)) ke titik akhir B(g(b),h(b))dan P(x,y)suatu fungsi yang terdefinisi di C.Teorema
4.2
1. Jika P(x,y)kontinu di C, maka
C P(x,y)dx dan
C P(x,y)dy ada dan
ba
C P(x, y)dx P[g(t),h(t)]g'(t)dt
ba
C P(x,y)dy P[g(t),h(t)]h'(t)dt
2.
B
A
A
B P x y dx
dx y x
P( , ) ( , )
3. Jika P(x,y)dan Q(x, y) kontinu di C, maka
(5)
C P(x,y)dx C Q(x,y)dx C P(x,y)dx Q(x,y)dx .
□
Teorema
4.3
Jika P(x,y)dan Q(x,y) serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup
R
yang dibatasi lintasan tertutup C, maka
dxdyy P x Q dy
Q dx P
R
C
.
□
Contoh 3
Tentukan integral garis fungsi M(x,y)xy sepanjang lintasan CK dengan
C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan
K
: garis dari (2,0) ke (2,2). Penyelesaian :(2,2) C : y 0 , 0x2
K
K : x2 , 0y2Pada kurva C : dy0 dan pada kurva
K
:0
dx .
(0,0) C (2,0)
C
K K
C C
dx y x
dx y x M dx
y x M dx
y x M
) (
) , ( )
, ( )
, (
20 x dx
= 2. □
K
K K
C C
dy y x
dy y x M dy
y x M dy
y x M
) (
) , ( )
, ( )
, (
2 0 (2 y) dx
= 6. □
4.4 Integral Lintasan Kompleks
Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik xg(t), yh(t) dengan a t b
.
g(t) dan h(t) kontinu di a t b.
g'(t) dan) ( ' t
h kontinu di a t b
. Jika
z xiy, maka titik-titik
z
terletak
C. Arah
pada kurva
C (g(a),h(a)) ke (g(b),h(b))atau dariz
sampai
(6)
Definisi
4.2
Diberikan fungsi f(z)u(x,y)iv(x,y) dengan
u
danv
fungsi darit
yang kontinu sepotong-potong padab t
a
.
Integral fungsi f(z) sepanjang lintasan Cdengan arah dari
z
sampai z adalah
b
a f g t ih t g t ih t dt
dz z
f( ) ( ) ( ) '( ) '( )
Sifat-sifat
1.
f z dz
dz z
f( ) ( )
2.
C
C k f(z)dz k f(z)dz 3.
C C
C f(z) g(z) dz f(z)dz g(z)dz
Contoh 4
Hitung
zez2 dzjika
: garis lurus dari z0 1 ke z1 2i. Penyelesaian :1
0
z z1 2i
(0,1) (2,1)
Persamaan garis
: y 1 dan mempunyai bentuk parametrik :1 ) (
) (
t h y
t t g x
, t[0,2] ( 4.1 ) Dari (4.1) diperoleh :
i t t h i t g
z ( ) ( )
dz
g'(t)ih'(t)
dt 1.dtKarena 2
) (z zez
f maka f
g(t)ih(t)
f(ti)(ti)e(ti)2.Sehingga,
2 0
)
( 1
)
( 2
2
dt e
i t dz
e
z z t i
t i e t i dt
2
0
)
( 2
)
( (gunakan subtitusi : u(ti))
3 4 1
2
1
e i e . □
4.5 Pengintegralan Cauchy
Teorema 4.4
( Teorema
Cauchy)
Jika f(z) analitik dan f'(z) kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, maka
C f(z)dz 0.
□
Cf(z) analitik dan f'(z)kontinu
Contoh 4
(7)
1. 2
) (z z
f
C z dz 0
2
.
□ 2. f(z)1
C dz 0
.
□Teorema 4.5
( Teorema
Cauchy-Goursat)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C, maka
C f(z)dz 0.
□
Cf(z) analitik
Contoh 5
Diketahui C : z 1. Hitunglah
C f(z)dz jika 3 1 ) (
z z
f .
Penyelesaian :
2 ) 3 (
1 )
( '
z z
f , f(z) tidak analitik di z 3 dan z 3terletak di luar C. Oleh karena itu, f(z) analitik di dalam dan pada lintasan
C, sehingga 0
) 3 (
1
dzz
C . □
Teorema 4.6
(Bentuk lain
Teorema
Cauchy
Goursat )
Jika fungsi f(z)
analitik di seluruh domain
terhubung sederhana
D
, maka untuk setiap
lintasan tertutup
Cdi dalam
D
, berlaku
C f(z)dz 0
. □
Teorema 4.7
(Teorema
Cauchy
Goursat
yang
diperluas)
Diberikan suatu lintasan tertutup C, sedangkan n
C C
C1, 2,, adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak di interior C sedemikian sehingga
n
C C
C1, 2,, tidak saling berpotongan. Jika fungsi )
(z
f analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C, kecuali titik-titik interior C1,C2,,Cn, maka
C C C Cn
dz z f dz
z f dz
z f dz
z f
1 2
) ( )
( )
( )
( .
□
C
C1 f(z) tidak analitik f(z) analitik
(8)
Hitung
C zdz ) 3
( , jika C : z 2 2.
Penyelesaian :
3 1 ) (
z z
f tidak analitik di z3 yang berada di dalam interior C. Dibuat lintasan tertutup C1 di dalam C berpusat di z 3 yaitu
2 1 3 :
1 z
C . Diperoleh z eit
2 1 3
, 0t 2 dan dz eit dt
2 1
.
Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,
C C z
dz z
dz
1 ( 3)
) 3 (
20 2 1 2 1
t i t i
e
dt
e
i
20 dt
i
2 i. □
4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi f analitik di dalam domain terhubung sederhana
D
,maka
zz f d
z F
0
) ( )
( mempunyai turunan untuk setiap titik
z
di dalamD
dengan F'(z) f(z), asalkan lintasan pengintegralan dari z0 kez
seluruhnya terletak di dalamD
. Jadi F(z) juga analitik di dalamD
.Teorema 4.8
Jika
dan di dalamD
, maka
f(z)dz F() F()
. □
D
f(z)
analitik
Contoh 7
i i
i z
dz z
i
i 2 2
2 2 1
2 2
.
(Karena f(z)zmerupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana
D
yang memuat lintasan pengintegralan dariz
i
kei
z2 ). □
4.7 Rumus Integral Cauchy
Teorema
4.9
(Rumus
Jika f(z)
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
(9)
Integral
Cauchy )
C z z dzz f i z f 0 0 ) ( 2 1 ) (
atau
( ) 2 . ( 0) 0 z f i dz z z z f
C
. □
C
z0
f(z)
analitik
Turunan
Fungsi
Analitik
C
z
z
dz
z
f
i
z
f
2 0 0)
(
)
(
2
1
)
(
'
) ( ' . 2 ) ( ) ( 0 2 0 z f i dz z z z fC
C
z
z
dz
z
f
i
z
f
3 0 0)
(
)
(
2
!
2
)
(
''
) ( '' . ! 2 2 ) ( ) ( 0 3 0 z f i dz z z z f C
C n ndz
z
z
z
f
i
n
z
f
1 0 0)
(
)
(
2
!
)
(
) ( . ! 2 ) ( ) ( 0 1 0 z f n i dz z z z f n C n
Contoh 8
1. Hitung
C z
dz
3 dengan C : z 2 2.
Penyelesaian :
Diambil : f(z) 1 ( f(z) analitik di dalam dan pada C) z0 3 di dalam C.
f(z0)f(3)1
Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh
i i z f i z dz
C 3 2 . ( 0)2 .12
. □2. Hitung
C z z
dz
2
3 ( 2) dengan C : z 3 2.
Penyelesaian :
Diambil : ( ) 13
z z
f ( f(z) analitik di dalam dan pada C) z0 2 di dalam C.
(10)
'( ) 34
z z
f
16 3 ) 2 ( ' ) (
' z0 f
f .
Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh
i i
z f i z
z dz
C
8 3 ) 16
3 .( 1 2 ) ( . ! 1 2 ) 2
( 2 0
3
. □4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville
Teorema
4.10
(Teorema
Morera)
Jika f(z) kontinu dalam domain terhubung
D
dan untuk setiap lintasan tertutup C dalamD
berlaku
C f(z) dz 0, maka f(z) analitik di seluruh
D
.□
Teorema
4.11
(Teorema
Lionville)
Jika f(z) analitik dan f(z) terbatas di seluruh bidang
kompleks, maka f(z) adalah suatu fungsi konstan.
□
4.9 Teorema Modulus Maksimum
Jika f(z) analitik dan
M
nilai maksimum dari f(z) untukz
di dalamdaerah D
z: z z0 r
, dan jika f(z0) M , maka f(z) konstan di seluruhdaerah
D
. Akibatnya, jika f(z) analitik dan tidak konstan padaD
, makaM z
f( 0)
.
Prinsip
Modulus
Maksimum
Jika fungsi tak konstan f(z) analitik di z0, maka di setiap kitar dari z0, terdapat titik
z
dan) ( )
(z0 f z
f .
Teorema
4.12
(Teorema
Modulus
Maksimum)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, dan f(z) tidak konstan, maka f(z)
mencapai nilai maksimum di suatu titik pada C, yaitu pada perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior.
□
Teorema
4.13
(Ketaksamaa
n Cauchy)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : z z0 r, dan f(z) terbatas pada C,
C z M z
f( ) , maka
, 2 , 1 , 0 , ! )
( 0 n
r M n z
f n n
□
.Ringkasan
Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi
(11)
(12)
Soal-soal
1. Hitung
zez2 dzjika
: kurva y x2 dari 00
z ke z1 1i.
2. Hitung
C f(z)dz jika3
) (z z
f dengan C: setengan lingkaran z 2
dari z 2i ke z 2i .
3. Hitung integral fungsi f(z) sepanjang lintasan tertutup C berikut :
a. 2
) 4
( ) (
i z
e z z
f z
, C : z 1 (counterclockwise).
b.
) 4 ( ) 1 ( )
( 2 2
2
z z
e z
f
z
, C : ellips x2 4y2 4 (counterclockwise).
c. ( 1)2 cos ) 3 ( ) (
z
z z
Ln z
f , C : segiempat dengan titik-titik sudut
z
2
dan z 2i (counterclockwise).d. 2
3 ) 1 (
3 2 ) (
i z z
z z
f
, C : terdiri dari z 2 (counterclockwise) dan
z 1 (clockwiswe).
e. (2 1)2 sin ) 1 ( ) (
z z z z
f , C : z i 2 (counterclockwise).
f. 2
) 2 ( ) (
2
i z z
e z
f
z
, C : segiempat dengan titik-titik sudut z33i
(counterclockwise) dan z 1 (clockwiswe).
g. 3
3 ) (
sin )
(
i z
z z
z f
, C : segitiga dengan titik-titik sudut z2, z2i (counterclockwise).
(1)
1. 2
) (z z
f
C z dz 02
.
□ 2. f(z)1
C dz 0
.
□Teorema 4.5
( Teorema
Cauchy-Goursat)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C, maka
C f(z)dz 0. □
C
f(z) analitik
Contoh 5
Diketahui C : z 1. Hitunglah
C f(z)dz jika 3 1 ) (
z z
f .
Penyelesaian :
2 ) 3 (
1 )
( '
z z
f , f(z) tidak analitik di z 3 dan z 3terletak di luar C. Oleh karena itu, f(z) analitik di dalam dan pada lintasan
C, sehingga 0
) 3 (
1
dzz
C . □
Teorema 4.6
(Bentuk lain
Teorema
Cauchy
Goursat )
Jika fungsi f(z)
analitik di seluruh domain
terhubung sederhana
D
, maka untuk setiap
lintasan tertutup
Cdi dalam
D
, berlaku
C f(z)dz 0
. □
Teorema 4.7
(Teorema
Cauchy
Goursat
yang
diperluas)
Diberikan suatu lintasan tertutup C, sedangkan
n
C C
C1, 2,, adalah lintasan-lintasan tertutup yang
terletak di interior C sedemikian sehingga
n
C C
C1, 2,, tidak saling berpotongan. Jika fungsi )
(z
f analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C, kecuali titik-titik interior C1,C2,,Cn, maka
C C C Cn
dz z f dz
z f dz
z f dz
z f
1 2
) ( )
( )
( )
( .
□
C
C1 f(z) tidak analitik
f(z) analitik
Contoh 6
(2)
Hitung
C z
dz
) 3
( , jika C : z 2 2.
Penyelesaian :
3 1 ) (
z z
f tidak analitik di z3 yang berada di dalam interior C. Dibuat lintasan tertutup C1 di dalam C berpusat di z 3 yaitu
2 1 3 :
1 z
C . Diperoleh z eit
2 1 3
, 0t 2 dan dz eit dt 2 1
.
Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,
C C z
dz z
dz
1 ( 3) )
3 (
2 02 1 2 1
t i t i
e
dt
e
i
2 0 dt i2 i. □
4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi f analitik di dalam domain terhubung sederhana
D
,maka
zz f d
z F
0 ) ( )
( mempunyai turunan untuk setiap titik
z
di dalamD
dengan F'(z) f(z), asalkan lintasan pengintegralan dari z0 kez
seluruhnya terletak di dalam
D
. Jadi F(z) juga analitik di dalamD
.Teorema 4.8
Jika
dan di dalamD
, maka
f(z)dz F() F()
. □
D
f(z)
analitik
Contoh 7
i i
i z
dz z
i
i 2 2
2 2 1
2 2
.
(Karena f(z)zmerupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana
D
yang memuat lintasan pengintegralan dariz
i
kei
z2 ). □
4.7 Rumus Integral Cauchy
Teorema
4.9
Jika f(z)
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
Cdan
z0sebarang titik di dalam
C, maka
(3)
Integral
Cauchy )
C z z dzz f i z f 0 0 ) ( 2 1 ) (
atau
( ) 2 . ( 0) 0 z f i dz z z z f
C
. □
C
z0
f(z)
analitik
Turunan
Fungsi
Analitik
C
z
z
dz
z
f
i
z
f
2 0 0)
(
)
(
2
1
)
(
'
) ( ' . 2 ) ( ) ( 0 2 0 z f i dz z z z fC
C
z
z
dz
z
f
i
z
f
3 0 0)
(
)
(
2
!
2
)
(
''
) ( '' . ! 2 2 ) ( ) ( 0 3 0 z f i dz z z z f C
C n ndz
z
z
z
f
i
n
z
f
1 0 0)
(
)
(
2
!
)
(
) ( . ! 2 ) ( ) ( 0 1 0 z f n i dz z z z f n C n
Contoh 8
1. Hitung
C z
dz
3 dengan C : z 2 2.
Penyelesaian :
Diambil : f(z) 1 ( f(z) analitik di dalam dan pada C) z0 3 di dalam C.
f(z0)f(3)1
Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh i i z f i z dz
C 3 2 . ( 0)2 .12
. □2. Hitung
C z z
dz 2
3 ( 2) dengan C : z 3 2.
Penyelesaian :
Diambil : ( ) 13
z z
f ( f(z) analitik di dalam dan pada C) z0 2 di dalam C.
(4)
'( ) 34
z z
f
16 3 ) 2 ( ' ) (
' z0 f
f .
Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh
i i
z f i z
z dz
C
8 3 ) 16
3 .( 1 2 ) ( . ! 1 2 ) 2
( 2 0
3
. □4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville
Teorema
4.10
(Teorema
Morera)
Jika f(z) kontinu dalam domain terhubung
D
dan untuk setiap lintasan tertutup C dalamD
berlaku
C f(z) dz 0, maka f(z) analitik di seluruh
D
. □Teorema
4.11
(Teorema
Lionville)
Jika f(z) analitik dan f(z) terbatas di seluruh bidang kompleks, maka f(z) adalah suatu fungsi konstan.
□
4.9 Teorema Modulus Maksimum
Jika f(z) analitik dan
M
nilai maksimum dari f(z) untukz
di dalam daerah D
z: z z0 r
, dan jika f(z0) M , maka f(z) konstan di seluruh daerahD
. Akibatnya, jika f(z) analitik dan tidak konstan padaD
, makaM z
f( 0)
.
Prinsip
Modulus
Maksimum
Jika fungsi tak konstan f(z) analitik di z0, maka di
setiap kitar dari z0, terdapat titik
z
dan )( )
(z0 f z
f .
Teorema
4.12
(Teorema
Modulus
Maksimum)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, dan f(z) tidak konstan, maka f(z) mencapai nilai maksimum di suatu titik pada C, yaitu pada perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior.
□
Teorema
4.13
(Ketaksamaa
n Cauchy)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : z z0 r, dan f(z) terbatas pada C,
C z M z
f( ) , maka
, 2 , 1 , 0 , ! )
( 0 n
r M n z
f n n
□
.Ringkasan
Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi
(5)
(6)
Soal-soal
1. Hitung
zez2 dzjika
: kurva y x2 dari 0 0 z ke z1 1i. 2. Hitung
C f(z)dz jika3
) (z z
f dengan C: setengan lingkaran z 2 dari z 2i ke z 2i .
3. Hitung integral fungsi f(z) sepanjang lintasan tertutup C berikut :
a. 2
) 4
( ) (
i z
e z z
f z
, C : z 1 (counterclockwise).
b.
) 4 ( ) 1 ( )
( 2 2
2
z z
e z
f
z
, C : ellips x2 4y2 4 (counterclockwise).
c. ( 1)2
cos ) 3 ( ) (
z
z z
Ln z
f , C : segiempat dengan titik-titik sudut
z
2
dan z 2i (counterclockwise).d. 2
3 ) 1 (
3 2 ) (
i z z
z z
f
, C : terdiri dari z 2 (counterclockwise) dan z 1 (clockwiswe).
e. (2 1)2
sin ) 1 ( ) (
z z z z
f , C : z i 2 (counterclockwise).
f. 2
) 2 ( ) (
2
i z z
e z
f
z
, C : segiempat dengan titik-titik sudut z33i (counterclockwise) dan z 1 (clockwiswe).
g. 3
3 ) (
sin )
(
i z
z z
z f
, C : segitiga dengan titik-titik sudut z2, z2i (counterclockwise).