3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya
sendiri. 4.
C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
Contoh 2
1
C
2
C
3
C
a. Lintasan tertutup
2
C
1
C
3
C
b. Lintasan terbuka
c. Lintasan sederhana d. Lintasan berganda
Teorema 4.1
Kurva
Jordan
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu
1. kurva C . 2. bagian dalam C , ditulis
C Int
, yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.
3. bagian luar C , ditulis
C Ext
, yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.
Kurva C merupakan batas dari himpunan
C Int
dan
C Ext
.
□
4.3 Integral Garis
Misalkan kurva mulus C disajikan dengan
t g
x
,
t h
y
,
b t
a
.
t g
dan
t h
kontinu di
b t
a
.
t g
dan
t h
kontinu di
b t
a
. Kurva
C mempunyai arah dari titik awal
, a
h a
g A
ke titik akhir
, b
h b
g B
dan
, y
x P
suatu fungsi yang terdefinisi di C .
Teorema 4.2
1. Jika
, y
x P
kontinu di C , maka
C
dx y
x P
,
dan
C
dy y
x P
,
ada dan
b a
C
dt t
g t
h t
g P
dx y
x P
] ,
[ ,
b a
C
dt t
h t
h t
g P
dy y
x P
] ,
[ ,
2.
B A
A B
dx y
x P
dx y
x P
, ,
3. Jika
, y
x P
dan
, y
x Q
kontinu di C , maka
41
C C
C
dx y
x Q
dx y
x P
dx y
x Q
dx y
x P
, ,
, ,
.
□
Teorema 4.3
Jika
, y
x P
dan
, y
x Q
serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup
R
yang dibatasi lintasan tertutup C , maka
dy dx
y P
x Q
dy Q
dx P
R C
.
□
Contoh 3
Tentukan integral garis fungsi
y x
y x
M
,
sepanjang lintasan K
C dengan
C : garis dari 0,0 ke 2,0 dan
K
: garis dari 2,0 ke 2,2. Penyelesaian :
2,2
2 ,
:
x y
C
K
2 ,
2 :
y
x K
Pada kurva C :
dy
dan pada kurva
K
:
dx .
0,0 C 2,0
C
K K
C C
dx y
x dx
y x
M dx
y x
M dx
y x
M ,
, ,
2
dx x
= 2. □
K
K K
C C
dy y
x dy
y x
M dy
y x
M dy
y x
M ,
, ,
2
2 dx
y
= 6. □
4.4 Integral Lintasan Kompleks
Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik
t g
x
,
t h
y
dengan
b t
a
.
t g
dan
t h
kontinu di
b t
a
.
t g
dan
t h
kontinu di
b t
a
. Jika
y i
x z
, maka titik-titik
z
terletak
C . Arah
pada kurva
C
, a
h a
g
ke
, b
h b
g
atau dari
z
sampai
z
dengan
, a
h a
g
dan
, b
h b
g
.
42
Definisi 4.2
Diberikan fungsi
, ,
y x
v i
y x
u z
f
dengan
u
dan
v
fungsi dari
t
yang kontinu sepotong-potong pada
b t
a
.
Integral fungsi
z f
sepanjang lintasan C dengan arah dari
z
sampai
z
adalah
b a
dt t
h i
t g
t h
i t
g f
dz z
f
Sifat-sifat
1.
dz z
f dz
z f
2.
C C
dz z
f k
dz z
f k
3.
C C
C
dz z
g dz
z f
dz z
g z
f
Contoh 4
Hitung
dz e
z
z
2
jika
: garis lurus dari
1
z
ke i
z
2
1
. Penyelesaian :
1
z
i z
2
1
0,1 2,1 Persamaan garis
:
1
y
dan mempunyai bentuk parametrik :
1
t
h y
t t
g x
,
] 2
, [
t
4.1 Dari 4.1 diperoleh :
i t
t h
i t
g z
dt dt
t h
i t
g dz
. 1
Karena
2
z
e z
z f
maka
2
i t
e i
t i
t f
t h
i t
g f
.
Sehingga,
2
1
2 2
dt e
i t
dz e
z
i t
z
dt e
i t
i t
2
2
gunakan subtitusi :
i t
u
1 4
3
2 1
e e
i
. □
4.5 Pengintegralan Cauchy
