Definisi 4.2
Diberikan fungsi
, ,
y x
v i
y x
u z
f
dengan
u
dan
v
fungsi dari
t
yang kontinu sepotong-potong pada
b t
a
.
Integral fungsi
z f
sepanjang lintasan C dengan arah dari
z
sampai
z
adalah
b a
dt t
h i
t g
t h
i t
g f
dz z
f
Sifat-sifat
1.
dz z
f dz
z f
2.
C C
dz z
f k
dz z
f k
3.
C C
C
dz z
g dz
z f
dz z
g z
f
Contoh 4
Hitung
dz e
z
z
2
jika
: garis lurus dari
1
z
ke i
z
2
1
. Penyelesaian :
1
z
i z
2
1
0,1 2,1 Persamaan garis
:
1
y
dan mempunyai bentuk parametrik :
1
t
h y
t t
g x
,
] 2
, [
t
4.1 Dari 4.1 diperoleh :
i t
t h
i t
g z
dt dt
t h
i t
g dz
. 1
Karena
2
z
e z
z f
maka
2
i t
e i
t i
t f
t h
i t
g f
.
Sehingga,
2
1
2 2
dt e
i t
dz e
z
i t
z
dt e
i t
i t
2
2
gunakan subtitusi :
i t
u
1 4
3
2 1
e e
i
. □
4.5 Pengintegralan Cauchy
Teorema 4.4 Teorema
Cauchy
Jika
z f
analitik dan
z f
kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana
C , maka
C
dz z
f
.
□
C
z f
analitik dan
z f
kontinu
Contoh 4
Misalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.
43
1.
2
z z
f
C
dz z
2
.
□ 2.
1
z f
C
dz
.
□
Teorema 4.5 Teorema
Cauchy- Goursat
Jika
z f
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka
C
dz z
f
.
□
C
z f
analitik
Contoh 5
Diketahui
1 :
z
C
. Hitunglah
C
dz z
f
jika 3
1
z
z f
. Penyelesaian :
2
3 1
z
z f
,
z f
tidak analitik di 3
z
dan 3
z
terletak di luar C . Oleh karena itu,
z f
analitik di dalam dan pada lintasan C
, sehingga
3 1
dz z
C
. □
Teorema 4.6 Bentuk lain
Teorema Cauchy
Goursat
Jika fungsi
z f
analitik di seluruh domain terhubung sederhana D , maka untuk setiap
lintasan tertutup
C
di dalam D , berlaku
C
dz z
f
. □
Teorema 4.7 Teorema
Cauchy Goursat
yang diperluas
Diberikan suatu lintasan tertutup C , sedangkan
n
C C
C ,
, ,
2 1
adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak di interior
C sedemikian sehingga
n
C C
C ,
, ,
2 1
tidak saling berpotongan. Jika fungsi
z f
analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C , kecuali
titik-titik interior
n
C C
C ,
, ,
2 1
, maka
C C
C C
n
dz z
f dz
z f
dz z
f dz
z f
1 2
.
□
C
1
C
z f
tidak analitik
z f
analitik
Contoh 6
44
Hitung
C
z dz
3
, jika
2 2
:
z
C
.
Penyelesaian :
3 1
z z
f tidak analitik di
3
z yang berada di dalam interior C .
Dibuat lintasan tertutup
1
C di dalam C berpusat di 3
z
yaitu 2
1 3
:
1
z C
. Diperoleh
t i
e z
2 1
3
,
2
t
dan dt
e dz
t i
2 1
.
Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,
C C
z dz
z dz
1
3 3
2
2 1
2 1
t i
t i
e dt
e i
2
dt i
i
2
. □
4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi
f
analitik di dalam domain terhubung sederhana
D
, maka
z z
d f
z F
mempunyai turunan untuk setiap titik
z
di dalam
D
dengan
z f
z F
, asalkan lintasan pengintegralan dari
z
ke
z
seluruhnya terletak di dalam
D
. Jadi
z F
juga analitik di dalam
D
.
Teorema 4.8
Jika
dan
di dalam
D , maka
F F
dz z
f
. □ D
z f
analitik
Contoh 7
i i
i z
dz z
i i
2 2
2 2
1
2 2
.
Karena
z z
f
merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana
D
yang memuat lintasan pengintegralan dari
i z
ke i
z
2
. □
4.7 Rumus Integral Cauchy
Teorema 4.9
Rumus
Jika
z f
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
C
dan
z
sebarang titik di dalam
C
, maka
45
Integral Cauchy
C
dz z
z z
f i
z f
2 1
atau
. 2
z f
i dz
z z
z f
C
. □
C
z z
f
analitik
Turunan Fungsi
Analitik
C
dz z
z z
f i
z f
2
2 1
. 2
2
z f
i dz
z z
z f
C
C
dz z
z z
f i
z f
3
2 2
. 2
2
3
z f
i dz
z z
z f
C
C n
n
dz z
z z
f i
n z
f
1
2
. 2
1
z f
n i
dz z
z z
f
n C
n
Contoh 8
1. Hitung
C
z dz
3 dengan
2 2
:
z
C
.
Penyelesaian : Diambil :
1
z f
z f
analitik di dalam dan pada C
3
z
di dalam C .
1 3
f z
f
Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh i
i z
f i
z dz
C
2
1 .
2 .
2 3
. □
2. Hitung
C
z z
dz
2 3
2
dengan
2 3
:
z
C
.
Penyelesaian :
Diambil :
3
1 z
z f
z f
analitik di dalam dan pada C
2
z
di dalam C .
46
4
3 z
z f
16 3
2
f z
f .
Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh
i i
z f
i z
z dz
C
8 3
16 3
. 1
2 .
1 2
2
2 3
. □
4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville
