4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil Misalkan
t F
adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis sebagai
t v
i t
u t
F
dengan
t u
dan
t v
adalah fungsi riil. Jika
t u
dan
t v
kontinu pada interval tertutup
b t
a
, maka
b a
b a
b a
dt t
v i
dt t
u dt
t F
.
Sifat-sifat
1.
dt t
F dt
t F
b a
b a
Re
Re
2.
dt t
F dt
t F
b a
b a
Im
Im
3.
dt t
F k
dt t
F k
b a
b a
4.
dt t
F dt
t F
a b
b a
5.
dt t
F dt
t F
b a
b a
Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil. Bukti sifat 3 :
b a
b a
dt t
v i
t u
k dt
t F
k ]
[
b a
b a
dt t
v i
k dt
t u
k
sifat integral fungsi riil :
b a
b a
dx x
f k
dx x
f k
b a
b a
dt t
v i
k dt
t u
k
b a
b a
dt t
v i
dt t
u k
b a
dt t
F k
terbukti. □
Bukti sifat 4 :
b a
b a
b a
dt t
v i
dt t
u dt
t F
sifat integral fungsi riil :
a b
b a
dx x
f dx
x f
a b
a b
dt t
v i
dt t
u
a b
a b
dt t
v i
dt t
u
39
a b
dt t
v i
t u
a b
dt t
F
terbukti.
□
4.2 Lintasan
Jika
g
dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel
t
dalam interval tertutup
b t
a
, maka himpunan titik-titik di bidang
xy
dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik
t g
x
,
t h
y
,
b t
a
. Oleh karena itu, himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat
dinyatakan dalam bentuk parametrik.
Definisi 4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus smooth curve jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil
t t
h y
t g
x ,
,
sedemikian sehingga t
g dt
dx
dan t
h dt
dy
ada dan kontinu dalam interval
t
.
Contoh 1
Kurva dengan
bentuk parametrik
2 3
, sin
2 ,
cos 2
t
t y
t x
merupakan kurva mulus. □
Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
t t
h y
t g
x ,
,
maka titik pada C yang berpadanan dengan
t
disebut titik awal C .
titik pada C yang berpadanan dengan
t
disebut titik akhir C .
Selanjutnya, C disebut lintasan path bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,
n
C C
C C
2 1
dengan
n
C C
C ,
, ,
2 1
merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang
pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.
Catatan :
1. C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik
awal C . 2.
C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C .
40
3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya
sendiri. 4.
C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
Contoh 2
1
C
2
C
3
C
a. Lintasan tertutup
2
C
1
C
3
C
b. Lintasan terbuka
c. Lintasan sederhana d. Lintasan berganda
Teorema 4.1
Kurva
Jordan
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu
1. kurva C . 2. bagian dalam C , ditulis
C Int
, yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.
3. bagian luar C , ditulis
C Ext
, yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.
Kurva C merupakan batas dari himpunan
C Int
dan
C Ext
.
□
4.3 Integral Garis
Kategori