Matematika Dasar 2

Kalkulus 2
Kuliah 1

Materi Kuliah: Integral
• Antiturunan (Integral Tak Tentu)
• Pendahuluan Persamaan Diferensial

13/1/2015

Yanita, Matematika FMIPA Unand

2

Anti-turunan
Definisi
� disebut sebagai antiturunan pada interval �
=
pada �, yaitu jika � ′
=
jika
�

untuk semua dalam �.
13/1/2015

Yanita, Matematika FMIPA Unand

3

Contoh 1
Carilah antiturunan fungsi

=

pada −∞, ∞ .

Penyelesaian:
Cari suatu fungsi � yang memenuhi � ′
=
untuk semua
=
∈ ℝ. Berdasarkan teori differensial, diperoleh �

=
. Tetapi �
=
adalah antiturunan untuk
bukanlah satu-satunya antiturunan untuk
=
. Oleh
=
+ adalah antiturunan untuk
=
karena itu �
, dengan adalah konstanta sebarang.
13/1/2015

Yanita, Matematika FMIPA Unand

4

Integral Tak Tentu
Keluarga fungsi anti-turunan dari

dan dilambangkan dengan

�

Jadi

dengan
13/1/2015

disebut integral tak tentu dari

konstanta sebarang.

� =

+

Yanita, Matematika FMIPA Unand

5

13/1/2015

Yanita, Matematika FMIPA Unand

6

Aturan-aturan Pada Integral Tak Tentu
1. (Aturan pangat) Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali − , maka
+

� =

2. (Integral tak tentu sin dan cos ) :
sin � = − cos +

+

dan

3. (Kelinieran integral tak tentu): Jika dan
tak tentu) dan � adalah konstanta, maka:
•

•

�

� =�

±

� =

�

� +

+

cos � = sin +

mempunyai anti turunan (integral

�

4. (Aturan pangkat yang digeneralisir): Jika
adalah suatu fungsi yang
terdifferensial dan adalah suatu bilangan rasional yang bukan − , maka:
13/1/2015

� =

+

+

+

7

Contoh
1. Carilah anti-turunan dari
= .
2. Dengan menggunakan sifat kelinieran
a.
+
�
−

b.
c.

+

3. Hitunglah:
a.
+

b.

13/1/2015

sin

+

�

�
cos

, hitunglah:

�

+

c.
d.

Yanita, Matematika FMIPA Unand

+

+

�

+

�
8

Pendahuluan Persamaan Diferensial
Jika � ′

atau
Jika � ′

Sehingga

=

=
��

, maka
, maka
= �′

��

=

� =�

� =

�

� =�

+

+

∗

Persamaan ∗ merupakan contoh persamaan diferensial.

13/1/2015

Yanita, Matematika FMIPA Unand

9

Contoh 1. soal persamaan diferensial:
Carilah persamaandari kurva yang melalui titik , dan yang
kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah sama dengan dua
kali absis (koordinat- ) titik itu.
Penyelesaian:
Misalkan persamaan kurva tersebut adalah
=
.
Maka
berdasarkan yang disyaratkan (tulisan biru) diperoleh:
�
�

13/1/2015

=

atau � =

� (masing-masing ruas dikali dengan � )

Integralkan kedua ruas, yaitu � =
� , maka diperoleh
+ =
+
=
+ − , atau
=
+ dengan =
−
Yanita, Matematika FMIPA Unand

10

Persamaan =
+ merupakan keluarga kurva
yang mempunyai turunan
di titik , .

Selanjutnya, dicari anggota keluarga kurva yang melalui titik , .
(subtitusi nilai = dan = pada =
+ , untuk mendapatkan
+ , diperoleh = .
nilai , yaitu =
Jadi persamaan kurva yang dicari adalah =
+ .
13/1/2015

Yanita, Matematika FMIPA Unand

11

Contoh 2 soal persamaan diferensial
Selesaikan persamaan diferensial
�
�

=

+

atau

.

Kemudian
carilah penyelesaian yang
memenuhi = jika = .
Penyelesaian:
�

+

Persamaan
=
�
� .
� = +
Integralkan kedua ruas
Diperoleh

atau
13/1/2015

� =

+

=

dengan
atau

setara dengan

+

+

�
+

=
=

=

=

+
−

+

+

+

+

+

−

#

Untuk menghitung konstanta , digunakan
syarat = jika = (subtitusi nilai ini
pada persamaan # , diperoleh
atau =
.
=
Jadi persamaan yang diinginkan adalah
=

Yanita, Matematika FMIPA Unand

+

+

12

Contoh 3
=
Percepatan
suatu objek yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat diberikan oleh �
−
+
dalam meter per detik kuadrat. Jika kecepatan pada saat = adalah meter per
detik, carilah kecepatan detik kemudian.
Penyelesaian:
Misalkan
adalah kecepatan (dalam waktu )
Persamaan diferensial untuk soal ini adalah
Integralkan kedua ruas,

�
�

Diperoleh
=

Selanjutnya subtitusi nilai =

=
+ −
−

dan

� =

Pada saat = , diperoleh kecepatan

+

=

Jadi persamaan yang diinginkan adalah

13/1/2015

−

+

=

atau � =
=

atau

−

−

�
+

+

�
$

pada persamaan $ , diperoleh

=

=

−

+

−

+

+

−

atau
+

+

=

meter per detik.

Yanita, Matematika FMIPA Unand

13

Contoh 4 (masalah benda jatuh)
kaki per detik
Percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah
kuadrat (asumsikan hambatan udara dapat diabaikan). Jika suatu
benda dilempar ke atas dari suatu ketinggian 1000 kaki dengan
kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya detik
kemudian.
Penyelesaian:
Misalkan
adalah kecepatan dalam waktu , adalah jarak dari
pusat bumi dan � adalah percepatan dalam waktu .
�
�

Maka =
adalah positif
(tarikan grafitasi).

Berdasarkan yang diketahui

13/1/2015

�
�

(

naik) tetapi � =

=−

Yanita, Matematika FMIPA Unand

�
�

adalah negatif

14

�
�

=−

atau � = −

�

Integralkan kedua ruas,
� =−
�
^
Diperoleh = −
+
Subtitusi nilai^ =
dan = pada
persamaan
, diperoleh:
=− .
+ atau = .
Jadi persamaan untuk kecepatan adalah
=−
+
Sementara

=

�
�
�
�

, jadi

=−

+

atau
+
� = −

13/1/2015

�

Integralkan kedua ruas,
� = −
Diperoleh = −
+

+

+�

�

^^

Diketahui =
, = , subtitusi nilai ini
pada ^^ , diperoleh
=−
+
+�
atau � =
.
Persamaan untuk jarak adalah
=−
+
+
Pada saat = , diperoleh
=−
+
= − kaki per detik
Dan
=−
+
+
=
kaki
Yanita, Matematika FMIPA Unand

15

Latihan 1
1. Hitunglah
•
+
•

+

�

�

2. Carilah integral tak tentu

sin

+

(petunjuk: andaikan
13/1/2015

cos

= sin

+

+

Yanita, Matematika FMIPA Unand

)

+

�

16

3. Carilah penyelesaian khusus dan umum untuk persamaan
diferensial berikut:

•
•

�
�
�
�

=

=

−

+ ;
−

;

=

pada
=

=

pada =

4. Carilah persamaandari kurva yang melalui
,
dengan kemiringan pada sebarang titik adalah tiga kali
koordinat- nya.
5. Berapakah percepatan tetap yang akan menyebabkan
sebuah mobil menambah kecepatannya dari 45 ke 60 mil
per jam dalam waktu 10 detik?
13/1/2015

selesai 8/2/2015

17