3.1.2 Analisis Model II Titik tetap sistem persamaan 12
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
= dt
dH
, sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu
,
2
= T
. [Lihat Lampiran 3].
Konstruksi Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks
Jacobi :
2
0 1 2
1 - J
RH R
β β β
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− +
⎣ ⎦
. 16 Analisis Kestabilan
Jika ,
2
= T
disubstitusikan pada
16 maka diperoleh:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
β -
1 1
2
J
. Untuk memperoleh nilai eigen maka
det
2
= − I
J
λ
, yaitu :
1 det
2 2
2 2
+ −
− =
− λ
β λ
λI J
17
atau dapat dituliskan kembali
.
2 2
2 2
2
= ∆
+ −
λ τ
λ
18 Dari persamaan 18 terlihat bahwa
trace
β τ
− =
=
2 2
J
det
1
2 2
= ∆
= J
dan diperoleh
2 1,2
4 2
2 β
β λ
− = − ±
. Berdasarkan teori kestabilan, jika
a.
2 β
, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul taksejati stabil.
b.
2 β −
, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul taksejati takstabil.
c.
2 β
, maka titik tetap
2
T
merupakan spiral stabil. d.
2 −
β
, maka titik tetap
2
T
merupakan spiral takstabil. e.
2 =
β
, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul sejati stabil. f.
2 −
= β
dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul sejati takstabil.
Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2
dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon
kebahagiaan. [Lihat Lampiran 4]. Contoh Kasus
β
Gambar 18 Dinamika Kebahagiaan
Model II Kasus I
Gambar 19 Respon Kebahagiaan
Model II Kasus I
5 .
2 =
β 3
= β
4 =
β 5
= β
6 =
β
10 20
30 40
t
-0.04 -0.02
0.02 0.04
H
10 20
30 40
t
-0.1 -0.05
0.05 0.1
R
β
Gambar 20 Dinamika Kebahagiaan
Model II Kasus I
Gambar 21 Respon Kebahagiaan
Model II Kasus I
2 −
= β
3 −
= β
4 −
= β
Analisis
Contoh kasus I pada model II di atas
menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter
kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan
ini cepat hilang cepat menuju keseimbangan, dan ketika parameter besar
maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang lama menuju
keseimbangan. Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik
yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter
membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan berosilasi.
Amplitudo dan periode osilasi akan semakin besar jika nilai parameternya semakin
menjauhi nol.
3.2 Pengaruh Luar Dipertimbangkan