Tujuan Penulisan 0, tMaksimum 0, tMaksimum , H , PlotStyle 0, tMaksimum , R , PlotStyle

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Menurut sebagian orang, pencarian kebahagiaan merupakan tujuan utama dalam hidup dan banyak buku yang telah ditulis untuk masalah tersebut. Kebahagiaan merupakan perwujudan emosi diantaranya kegembiraan, kesenangan, keriangan, kesukaan, ketenangan, pemenuhan kebutuhan dan kepuasan hati Orsucci, 2001 sehingga kebahagiaan merupakan proses yang dinamis. Kebahagiaan dibedakan berdasarkan suasana hati yang dapat dipengaruhi oleh pengaruh luar lingkungan sekitar Goleman, 2003. Penggunaan model matematika jarang diaplikasikan pada dinamika model kebahagiaan, namun beberapa model dinamika cinta telah dibuat, terilhami oleh model Strogatz 1994. Strogatz menyusun model dinamika cinta dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Dengan ide yang hampir sama model kebahagiaan ini akan disusun dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu juga. Tugas akhir ini membahas perilaku dinamis model kebahagiaan dan respon kebahagiaan seseorang yang dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah menganalisis perilaku dinamis model kebahagiaan dan respon kebahagiaan seseorang.

1.3 Sistematika Penulisan

Bab I menjelaskan tentang pendahuluan yang berisikan latar belakang dan tujuan penulisan tugas akhir. Bab II mengenai landasan teori berisikan definisi-definisi yang menjadi dasar untuk membahas dan menganalisis model dinamika kebahagiaan. Sedangkan bab III menjelaskan tentang pemodelan yang telah dimodifikasi beserta pembahasannya yang dilengkapi oleh gambar-gambar dan akhirnya bab IV berisikan simpulan dari permasalahan. II LANDASAN TEORI Definisi Sistem Persamaan Diferensial Linear : Jika suatu sistem persamaan diferensial SPD dinyatakan sebagai : , 0 , n x x b x x x = + = ∈ℜ A 1 dengan A adalah matriks koefisien nxn dan vektor konstan n b ℜ ∈ , maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde satu dengan kondisi awal x x = . Sistem 1 disebut homogen jika = b dan nonhomogen jika ≠ b . [ Tu, 1994 ] Definisi Sistem Persamaan Diferensial Mandiri : SPD : n j x f x dt dx j j j ,......., 2 , 1 , = = = 2 dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu disebut SPD mandiri autonomous jika tidak memuat waktu t secara eksplisit di dalamnya. [ Tu, 1994 ] Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran nxn , dan SPD homogen berikut : , 0 x x x x = = A 3 Suatu vektor tak nol x dalam ruang n ℜ disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar λ berlaku : x x λ = A . 4 Nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai λ dari matriks A, maka persamaan 4 dapat ditulis kembali sebagai : x λ − = A I 5 dengan I matriks diagonal satuan. Persamaan 5 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika det | | 0 p λ λ λ = − = − = A I I I . 6 Persamaan 6 disebut persamaan karakteristik dari matriks A. [ Kreyszig, 1998] Definisi Titik Tetap : Diberikan SPD x f x dt dx = = n x ℜ ∈ . 7 Titik x disebut titik tetap, jika = x f . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. [ Kreyszig, 1993] Definisi Titik Tetap Stabil : Misalkan x adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan t x adalah solusi SPD mandiri dengan nilai awal dengan x x ≠ . Titik x dikatakan titik tetap stabil jika untuk sembarang radius , terdapat sehingga jika posisi awal x memenuhi r x x − | | , maka solusi t x memenuhi ε − | | x t x untuk ∀t . Selain kondisi ini, disebut titik tetap tak stabil. [ Verhulst, 1990 ] Definisi Matriks Jacobi : Misalkan , , y x g y y x f x = = andaikan , y x adalah titik tetap dari persamaan diatas, maka , = y x f dan , = y x g . Misalkan, x x u − = dan y y v − = , maka didapatkan x u = , v y u x f + + = , , , 2 2 uv v u y f v x f u y x f Ο + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = , , 2 2 uv v u y f v x f u Ο + ∂ ∂ + ∂ ∂ = y v = , v y u x g + + = 2 2 , , , g g g x y u v u v uv x y ∂ ∂ = + + + Ο ∂ ∂ , , 2 2 uv v u y g v x g u Ο + ∂ ∂ + ∂ ∂ = . Dalam bentuk matriks ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ x g x f v u , , 2 2 uv v u v u y g y f Ο + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ . Matriks , f f x y A x y g g x y ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎢ ⎥ = ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ disebut matriks Jacobi pada titik tetap , y x . Karena , , 2 2 → Ο uv v u maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear : f f u u x y v g g v x y ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ . 8 [ Strogatz, 1994 ] x x = ε r Definisi Kestabilan Titik Tetap : Misalkan diberikan matriks A berukuran 2x2 sebagai berikut : A ⎢ ⎣ ⎡ = c a ⎥ ⎦ ⎤ d b dengan persamaan karakteristik det λ − = A I , I adalah matriks identitas dan λ adalah nilai eigen, maka persamaan karakteristiknya menjadi : ⎢ ⎣ ⎡ − c a λ det = ⎥ ⎦ ⎤ − λ d b , sedemikian sehingga diperoleh persamaan dengan dan Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah . 2 4 2 2 , 1 ∆ − ± = τ τ λ 2 1,2 4 2 τ τ λ ± − ∆ = Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh dari matriks A akan diperlihatkan kasus sebagai berikut: 1. Jika ∆ , nilai eigen mempunyai akar real yang berbeda tanda, maka titik tetap bersifat titik sadel saddle point dan tidak stabil. lihat gambar 1. 2. Jika ∆ dan memenuhi kondisi 4 2 ∆ − τ , berarti nilai eigen mempunyai akar real dengan tanda yang sama. i. Jika τ maka titik tetap merupakan simpul taksejati node takstabil. ii. Jika τ maka titik tetap tersebut adalah simpul taksejati stabil. lihat gambar 2 dan gambar 3. 3. Jika ∆ , dan memenuhi kondisi 4 2 ∆ − τ , berarti nilai eigennya merupakan complex conjugat nilai eigennya berbentuk bi a + dan bi a − . i. Jika τ maka titik tetapnya merupakan spiral takstabil. ii. Jika τ maka titik tetapnya merupakan spiral stabil . lihat gambar 4 dan gambar 5. 4. Jika , 4 2 = ∆ − τ τ , dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap bersifat simpul sejati star node takstabil. Jika τ maka titik tetap tersebut adalah simpul sejati stabil. lihat gambar 6 dan gambar 7. 2 = ∆ + − τλ λ trace a d τ = = + A det ad bc ∆ = = − A 5. Jika , 4 2 = ∆ − τ τ , dan ada 1 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap tersebut degenerate node takstabil. Jika τ maka titik tetap bersifat degenerate node stabil. lihat gambar 8. 6. Jika = τ , nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center yang selalu stabil. lihat gambar 9. 7. Jika = ∆ setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol. Maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi. Ada satu garis dimana semua titik pada garis tersebut adalah titik tetap seperti pada gambar 10. Gambar 10. Titik tetap tak terisolasi [ Strogatz, 1994 ] Definisi Limit cycle : Limit cycle adalah orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya tidak tertutup. Orbit tersebut menuju atau menjauhi limit cycle. Berdasarkan arah orbit di sekelilingnya, limit cycle tersebut terbagi menjadi 3, yaitu: 1. Limit cycle stabil Gambar 11 Limit cycle stabil 2. Limit cycle takstabil Gambar 12 Limit cycle takstabil 3. Limit cycle metastabil Gambar 13 Limit cycle metastabil [ Strogatz, 1994] III PEMBAHASAN Dinamika model kebahagiaan yang digunakan adalah model yang ditulis oleh [Sprott, 2005]. Dengan mengasumsikan laju perubahan respon kebahagiaan yang menyatakan tingkat kebahagiaan dan laju perubahan kebahagiaan berbanding terbalik dengan parameter, maka model ini dapat dituliskan sebagai berikut : t F R H dt dH H dt dR + − − = = β 9 Model I dan 1 2 t F R H R dt dH H dt dR + − − − = = β 10 Model II dengan dR dt : Laju perubahan respon kebahagiaan yang menyatakan tingkat kebahagiaan pada waktu t . dt dH : Laju perubahan kebahagiaan pada waktu t . t R : Tingkat respon kebahagiaan pada waktu t. t F : Forcing function; sesuatu yang terjadi pada seseorang pengaruh luar pada waktu t . β : Parameter yang berpengaruh terhadap kebahagiaan. Dalam tulisan ini akan ditinjau dinamika kedua model terhadap perubahan perilaku parameter. 3.1. Pengaruh Luar Diabaikan Dalam hal ini diasumsikan = t F . Jika = t F disubstitusikan ke dalam persamaan 9-10 diperoleh: R H dt dH H dt dR − − = = β 11 dan R H R dt dH H dt dR − − − = = 1 2 β . 12 3.1.1 Analisis Model I Titik tetap sistem persamaan 11 diperoleh dengan menentukan = dt dR dan = dt dH , sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu , 1 = T . [Lihat Lampiran 1]. Konstruksi Matriks Jacobi Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi : . 13 Analisis Kestabilan Jika , 1 = T disubstitusikan pada matriks Jacobi 13, diperoleh : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = β - 1 1 1 J . Untuk memperoleh nilai eigen maka det 1 = − I J λ , yaitu : 1 det 1 2 1 1 + − − = − λ β λ λI J 14 atau dapat dituliskan kembali . 1 1 1 2 1 = ∆ + − λ τ λ 15 Dari persamaan 15 terlihat bahwa trace β τ − = = 1 1 J det 1 1 1 = ∆ = J dan diperoleh 2 1,2 4 2 2 β β λ − = − ± . Berdasarkan teori kestabilan, jika a. 2 β , maka titik tetap 1 T merupakan simpul taksejati stabil. b. 2 − β , maka titik tetap 1 T merupakan simpul taksejati takstabil. 0 1 1 - J β ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ c. 2 β , maka titik tetap 1 T merupakan spiral stabil. d. 2 − β , maka titik tetap 1 T merupakan spiral takstabil. e. 2 = β , maka titik tetap 1 T merupakan simpul sejati stabil. f. 2 − = β dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap 1 T merupakan simpul sejati takstabil. Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat Lampiran 2]. Contoh Kasus ƒ β Gambar 14 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus I Gambar 15 Respon Kebahagiaan Model I Kasus I 5 . 2 = β 3 = β 4 = β 5 = β 6 = β ƒ β Gambar 16 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus I Gambar 17 Respon Kebahagiaan Model I Kasus I 5 . 2 − = β 3 − = β 4 − = β 5 − = β 6 − = β Analisis Contoh kasus I pada model I di atas menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan ini cepat hilang cepat menuju keseimbangan, dan ketika parameter besar maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang lama menuju keseimbangan. Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan semakin cepat membesar. 10 20 30 40 t -0.04 -0.02 0.02 0.04 H 10 20 30 40 t -0.1 -0.05 0.05 0.1 R 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t -4 -2 2 4 H 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t -4 -2 2 4 R

3.1.2 Analisis Model II Titik tetap sistem persamaan 12

diperoleh dengan menentukan = dt dR dan = dt dH , sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu , 2 = T . [Lihat Lampiran 3]. Konstruksi Matriks Jacobi Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi : 2 0 1 2 1 - J RH R β β β ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − + ⎣ ⎦ . 16 Analisis Kestabilan Jika , 2 = T disubstitusikan pada 16 maka diperoleh: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = β - 1 1 2 J . Untuk memperoleh nilai eigen maka det 2 = − I J λ , yaitu : 1 det 2 2 2 2 + − − = − λ β λ λI J 17 atau dapat dituliskan kembali . 2 2 2 2 2 = ∆ + − λ τ λ 18 Dari persamaan 18 terlihat bahwa trace β τ − = = 2 2 J det 1 2 2 = ∆ = J dan diperoleh 2 1,2 4 2 2 β β λ − = − ± . Berdasarkan teori kestabilan, jika a. 2 β , maka titik tetap 2 T merupakan simpul taksejati stabil. b. 2 β − , maka titik tetap 2 T merupakan simpul taksejati takstabil. c. 2 β , maka titik tetap 2 T merupakan spiral stabil. d. 2 − β , maka titik tetap 2 T merupakan spiral takstabil. e. 2 = β , maka titik tetap 2 T merupakan simpul sejati stabil. f. 2 − = β dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap 2 T merupakan simpul sejati takstabil. Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat Lampiran 4]. Contoh Kasus ƒ β Gambar 18 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus I Gambar 19 Respon Kebahagiaan Model II Kasus I 5 . 2 = β 3 = β 4 = β 5 = β 6 = β 10 20 30 40 t -0.04 -0.02 0.02 0.04 H 10 20 30 40 t -0.1 -0.05 0.05 0.1 R ƒ β Gambar 20 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus I Gambar 21 Respon Kebahagiaan Model II Kasus I 2 − = β 3 − = β 4 − = β Analisis Contoh kasus I pada model II di atas menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan ini cepat hilang cepat menuju keseimbangan, dan ketika parameter besar maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang lama menuju keseimbangan. Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan berosilasi. Amplitudo dan periode osilasi akan semakin besar jika nilai parameternya semakin menjauhi nol.

3.2 Pengaruh Luar Dipertimbangkan

Dalam hal ini diasumsikan ≠ t F . Misalkan, a t F = dengan a adalah konstanta. Dengan mengasumsikan H dt dR = maka diperoleh sistem persamaan: a R H dt dH H dt dR + − − = = β 19 Model I dan . 1 2 a R H R dt dH H dt dR + − − − = = β 20 Model II 3.2.1 Analisis Model I Titik tetap sistem persamaan 19 diperoleh dengan menentukan = dt dR dan = dt dH , sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu , 1 a T = . [Lihat Lampiran 5]. Konstruksi Matriks Jacobi Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi : 0 1 1 - J β ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ . 21 Analisis Kestabilan Jika , 1 a T = disubstitusikan pada matriks Jacobi 21 : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = β - 1 1 1 J . Untuk memperoleh nilai eigen maka det 1 = − I J λ , yaitu : 1 det 1 2 1 1 + − − = − λ β λ λI J 22 atau dituliskan kembali . 1 1 1 2 1 = ∆ + − λ τ λ 23 Dari persamaan 23 terlihat bahwa 10 20 30 40 t -6 -4 -2 2 4 6 H 10 20 30 40 t -3 -2 -1 1 2 3 R trace β τ − = = 1 1 J det 1 1 1 = ∆ = J dan diperoleh 2 1,2 4 2 2 β β λ − = − ± . Berdasarkan teori kestabilan, jika a. 2 β , maka titik tetap 1 T merupakan simpul taksejati stabil. b. 2 − β , maka titik tetap 1 T merupakan simpul taksejati takstabil. c. 2 β , maka titik tetap 1 T merupakan spiral stabil. d. 2 − β , maka titik tetap 1 T merupakan spiral tak stabil. e. 2 = β , maka titik tetap 1 T merupakan simpul sejati stabil. f. 2 − = β dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap 1 T merupakan simpul sejati takstabil. Dengan menggunakan software Mathematica 5.2 dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat lampiran 6]. Contoh Kasus ƒ 1 = a dan β : Gambar 22 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II Gambar 23 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II 2 = β 3 = β 4 = β 5 = β 6 = β ƒ 1 = a dan β : Gambar 24 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II 2 4 6 8 10 t -0.4 -0.2 0.2 0.4 H 2 4 6 8 10 t -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 R 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 H Gambar 25 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II 2 − = β 3 − = β 4 − = β 5 − = β 6 − = β ƒ 1 − = a dan β : Gambar 26 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II Gambar 27 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II 2 = β 3 = β 4 = β 5 = β 6 = β ƒ 1 − = a dan β : Gambar 28 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II Gambar 29 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II 2 − = β 3 − = β 4 − = β 5 − = β 6 − = β Analisis Contoh kasus II pada model I di atas menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan ini cepat hilang cepat menuju keseimbangan, dan ketika parameter besar maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang lama menuju keseimbangan. Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 R 2 4 6 8 10 t -0.4 -0.2 0.2 0.4 H 2 4 6 8 10 t -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 R 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 H 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 R membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan semakin cepat membesar.

3.2.2 Analisis Model II

Titik tetap sistem persamaan 20 diperoleh dengan menentukan = dt dR dan = dt dH , sehingga diperoleh titik tetap yaitu , 2 a T = . [Lihat Lampiran 7]. Konstruksi Matriks Jacobi Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi: 2 0 1 2 1 J RH R β β β ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − − + ⎣ ⎦ . 24 Analisis Kestabilan Jika , 2 a T = disubstitusikan pada 24 maka diperoleh: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = β β 2 2 1 1 a J . Untuk memperoleh nilai eigen maka det 2 = − I J λ , yaitu : 2 2 2 2 2 det 1 J I a λ λ β β λ − = − − + 25 atau dapat dituliskan kembali . 2 2 2 2 2 = ∆ + − λ τ λ 26 Dari persamaan 26 terlihat bahwa trace β β τ − = = 2 2 2 a J det 1 2 2 = ∆ = J dan diperoleh 2 2 2 1,2 1 4 1 2 2 a a β β λ − − − = ± . Berdasarkan teori kestabilan, jika a. 2 1 2 − a β , maka titik tetap 2 T merupakan simpul taksejati takstabil. b. 2 1 2 − − a β , maka titik tetap 2 T merupakan simpul taksejati stabil. c. 2 1 2 − a β , maka titik tetap 2 T merupakan spiral takstabil. d. 1 2 2 − − a β , maka titik tetap 2 T merupakan spiral stabil. e. 2 1 2 = − a β , maka titik tetap 2 T merupakan simpul sejati takstabil. f. 2 1 2 − = − a β dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap 2 T merupakan simpul sejati stabil. Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2 dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon kebahagiaan. [Lihat lampiran 8]. Gambar 30 Perubahan Kestabilan sistem dalam sumbu a dan β -3 -2 -1 1 2 3 a -4 -2 2 4 y β Simpul taksejati takstabil Simpul taksejati takstabil Spiral stabil Spiral stabil Simpul taksejati stabil Simpul taksejati stabil Spiral takstabil Spiral takstabil Simpul taksejati stabil Simpul taksejati takstabil Contoh Kasus ƒ 2 − β : Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai berikut: simpul stabil spiral takstabil simpul takstabil spiral takstabil simpul stabil. Gambar 31 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II Gambar 32 Respon Kebahagiaan Model II kasus II 4 − = a 5 . 1 − = a 5 . = a 1 = a 3 = a ƒ 2 − β : Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai berikut: simpul stabil spiral takstabil simpul takstabil spiral takstabil simpul stabil. Gambar 33 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II Gambar 34 Respon Kebahagiaan Model II Kasus II 4 − = a 5 . 1 − = a 5 . = a 1 = a 3 = a 10 20 30 40 t -4 -2 2 4 H 10 20 30 40 t -4 -2 2 4 R 10 20 30 40 t -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 H 10 20 30 40 t -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 R ƒ 2 β : Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai berikut: simpul takstabil spiral stabil simpul stabil spiral stabil simpul takstabil. Gambar 35 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II Gambar 36 Respon Kebahagiaan Model II Kasus II 4 − = a 5 . 1 − = a 5 . = a 1 = a 3 = a ƒ 2 β : Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai berikut: simpul takstabil spiral stabil simpul stabil spiral stabil simpul takstabil. Gambar 37 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II Gambar 38 Respon Kebahagiaan Model II Kasus II 4 − = a 5 . 1 − = a 5 . = a 1 = a 3 = a -20 -15 -10 -5 t -4 -2 2 4 H -20 -15 -10 -5 t -4 -2 2 4 R -10 -8 -6 -4 -2 t -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 H -10 -8 -6 -4 -2 t -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 R IV SIMPULAN Dinamika kebahagiaan dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Model ini menganalisis perilaku dinamis kebahagiaan dan respon kebahagiaan seseorang. Perilaku dinamis ini dipengaruhi oleh suatu parameter yang mencerminkan pengaruh internal dan juga dipengaruhi oleh pengaruh luar. Ketika pengaruh internal ini kecil dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan besar, namun kebahagiaan ini akan cepat hilang cepat menuju keseimbangan. Dan ketika pengaruh internal ini besar dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan ini akan lama hilang lama menuju keseimbangan atau dengan kata lain seseorang dapat mempertahankan kebahagiaannya lebih lama. Ketika pengaruh internal ini membesar dengan nilai negatif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan semakin cepat membesar. Dan pengaruh luar juga mempengaruhi perilaku dinamis ini. Jika pengaruh luar ada, ketika pengaruh luar kecil dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan berosilasi, namun kebahagiaan akan lama hilang atau dengan kata lain seseorang dapat mempertahankan kebahagiaannya lebih lama dan ketika pengaruh luar besar dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan ini akan cepat hilang atau dengan kata lain seseorang akan kehilangan kebahagiaannya. Ketika pengaruh luar ini membesar dengan nilai negatif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan semakin cepat mengecil. DAFTAR PUSTAKA Goleman, D. 2003. Destructive emotions: A scientific dialogue with the Dalai Lama. Bantun, New York. Kreyszig, M. 1993. Matematika Tehnik Lanjutan. Edisi ke-6, Buku I. Terjemahan Sumantri, B. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Orsucci, F. 2001. Happiness and deep ecology: On noise, harmony, and beauty in the mind. Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, 5, 65-76. Sprott, J. C. 2005. Dynamical Models of Happiness. Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 9, No. 1. Strogatz, S. H. 1994. Nonlinear Dynamics And Chaos with Application to Physic, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley, Reading, Massachusetts Menlo Park, California. Tu, P. N. V. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer - Verlag. Heidelberg. Germany. Verhulst, F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System. Springer-Verlag . Heidelberg. Germany. Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan 11. Diketahui : . R H dt dH H dt dR − − = = β 11 Menentukan titik tetap 1 T : Titik tetap , 1 1 H R diperoleh dengan menentukan = dt dR dan , = dt dH dengan mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 11 didapatkan : = H 27 . = − − R H β 28 Sehingga : 1 = H 29 dengan mensubstitusikan persamaan 29 ke persamaan 28 diperoleh : . 1 = R 30 Dari persamaan 30 dan 29 diperoleh titik tetap 1 T sebagai berikut : . , 1 = T Lampiran 2 ƒ Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan pada kasus I untuk sistem persamaan 11 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. model:={R[t] H[t],H[t] - β H[t]- R[t],R[0] 0.1,H[0] 0.1} β=2.5; tMaksimum=40; sol=NDSolve[model,{H,R},{t,0,tMaksimum}] gambar1=Plot[H[x].sol[[1,1]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,H},PlotStyle- {Hue[0.9]}, PlotRange →{-0.05,0.05}] gambar2=Plot[R[x].sol[[1,2]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,R},PlotStyle- {Hue[0.9]}, PlotRange →{-0.15,0.15}] ƒ Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan serta medan arah dan orbit kestabilan pada kasus I untuk sistem persamaan 11 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. Reset Parameter DynSys intreset; plotreset; Deklarasi Sistem setstate [{R, H}]; slopevec = {H, R H − − β }; setparm [{ β }]; parmval = {1}; Cari Titik Tetap eqpoints = findpolyeq { {0, 0} } classify [eqpoints[ [1] ] ] strictly stable Integral initvec = {-1, 0}; t0 = 0. 0; tMax = 40; h = 0.1; nsteps h tMax = ; firstsol = integrate [initvec, t0, h, nsteps]; Plotting time asprat = 1; timeplot [firstsol, { 1 }]; timeplot [firstsol, {2}]; Plotting diagram fasa display = False; fasa = phaseplot [firstsol, 1, 2]; Plotting medan arah display = False; eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03; dotgraph = dots [eqpoints]; plrange = {{ -4, 4}, {-4, 4}}; graph5 = dirfield; Plotting semua display = True; show [ fasa, dotgraph, graph5]; Lampiran 3 Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan 12. Diketahui : . 1 2 R H R dt dH H dt dR − − − = = β 12 Menentukan titik tetap 2 T : Titik tetap , 2 2 H R diperoleh dengan menentukan = dt dR dan , = dt dH dengan mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 12 didapatkan : = H 31 . 1 2 = − − − R H R β 32 Sehingga : 2 = H 33 dengan mensubstitusikan persamaan 33 ke persamaan 32 diperoleh : . 2 = R 34 Dari persamaan 34 dan 33 diperoleh titik tetap 2 T sebagai berikut : . , 2 = T Lampiran 4 ƒ Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan pada kasus I untuk sistem persamaan 12 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. ƒ Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan serta medan arah dan orbit kestabilan pada kasus I untuk sistem persamaan 12 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. Reset Parameter DynSys intreset; plotreset; Deklarasi Sistem setstate [{R, H}]; slopevec = {H, R H R − − − 2 1 β }; setparm [{ β }]; parmval = {1}; Cari Titik Tetap eqpoints = findpolyeq { {0, 0} } classify [eqpoints[ [1] ] ] strictly stable model : = 9 R t D H t D , H t D −β I 1 − R t D 2 M H t D − R t D , R D

0.1, H

D 0.1 = β = − 2; tMaksimum = 40; sol = NDSolve model, 8

H, R ,

8

t, 0, tMaksimum

D gambar1 = Plot H x D ê . sol 1, 1 DD , 8

x, 0, tMaksimum ,

AxesLabel − 8

t, H , PlotStyle

− 8 Hue 0.9 D , PlotRange → 8−

6, 6

D gambar2 = Plot R x D ê . sol 1, 2 DD , 8

x, 0, tMaksimum ,

AxesLabel − 8

t, R , PlotStyle

− 8 Hue 0.9 D , PlotRange → 8−

3, 3

D Integral initvec = {-1, 0}; t0 = 0. 0; tMax = 20; h = 0.1; nsteps h tMax = ; firstsol = integrate [initvec, t0, h, nsteps]; Plotting time asprat = 1; timeplot [firstsol, { 2 }]; Plotting diagram fasa display = False; fasa = phaseplot [firstsol, 2]; Plotting medan arah display = False; eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03; dotgraph = dots [eqpoints]; plrange = {{ -4, 4}, {-4, 4}}; graph5 = dirfield; Plotting semua display = True; show [ fasa, dotgraph, graph5]; Lampiran 5 Penentuan Titik Tetap Kasus II untuk sistem persamaan 19. Diketahui : . a R H dt dH H dt dR + − − = = β 19 Menentukan titik tetap 1 T : Titik tetap , 1 1 H R diperoleh dengan menentukan = dt dR dan , = dt dH dengan mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 19 didapatkan : = H 35 . = + − − a R H β 36 Sehingga : 1 = H 37 dengan mensubstitusikan persamaan 37 ke persamaan 36 diperoleh : . 1 a R = 38 Dari persamaan 38 dan 37 diperoleh titik tetap 1 T sebagai berikut : . , 1 a T = Lampiran 6 ƒ Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan pada kasus II untuk sistem persamaan 19 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. model:={R[t] H[t],H[t] - β H[t]- R[t]+a,R[0] 0.1,H[0] 0.1} a=1; β=2; tMaksimum=10; sol=NDSolve[model,{H,R},{t,0,tMaksimum}] gambar1=Plot[H[x].sol[[1,1]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,H},PlotStyle- {Hue[0.1]}, PlotRange →{-0.5,0.5}] gambar2=Plot[R[x].sol[[1,2]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,R},PlotStyle- {Hue[0.1]}, PlotRange →{-1,1}] ƒ Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan serta medan arah pada kasus II untuk sistem persamaan 19 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. Reset Parameter DynSys intreset; plotreset; Deklarasi Sistem setstate [{R, H}]; slopevec = {H, 1 + − − R H β }; setparm [{ β }]; parmval = {1}; Cari Titik Tetap eqpoints = findpolyeq { {1, 0} } classify [eqpoints[ [1] ] ] strictly stable Integral initvec = {1, 1}; t0 = 0. 0; tMax = 20; h = 0.1; nsteps h tMax = ; firstsol = integrate [initvec, t0, h, nsteps]; Plotting time asprat = 1; timeplot [firstsol, { 1 }]; timeplot [firstsol, { 2 }]; Plotting diagram fasa display = False; fasa = phaseplot [firstsol, 1, 2]; Plotting medan arah display = False; eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03; dotgraph = dots [eqpoints]; plrange = {{ -4, 4}, {-4, 4}}; graph5 = dirfield; Plotting semua display = True; show [ fasa, dotgraph, graph5]; Lampiran 7 Penentuan Titik Tetap Kasus II untuk sistem persamaan 20. Diketahui : . 1 2 a R H R dt dH H dt dR + − − − = = β 20 Menentukan titik tetap 2 T : Titik tetap , 2 2 H R diperoleh dengan menentukan = dt dR dan , = dt dH dengan mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 20 didapatkan : = H 39 . 1 2 = + − − − a R H R β 40 Sehingga : 2 = H 41 dengan mensubstitusikan persamaan 41 ke persamaan 40 diperoleh : . 2 a R = 42 Dari persamaan 42 dan 41 diperoleh titik tetap 2 T sebagai berikut : . , 2 a T = Lampiran 8 ƒ Program untuk memeperoleh gambar perubahan kestabilan system dalam sumbu a dan β . Graphics`ImplicitPlot` ImplicitPlot[y2x2-12 4,{x,-3,3},AxesLabel-{x,y}] ƒ Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan pada kasus II untuk sistem persamaan 20 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. ƒ Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan serta medan arah pada kasus II untuk sistem persamaan 20 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2. Reset Parameter DynSys intreset;