I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Menurut sebagian orang, pencarian
kebahagiaan merupakan tujuan utama dalam hidup dan banyak buku yang telah ditulis
untuk masalah tersebut. Kebahagiaan merupakan perwujudan emosi diantaranya
kegembiraan, kesenangan, keriangan, kesukaan, ketenangan, pemenuhan
kebutuhan dan kepuasan hati Orsucci, 2001 sehingga kebahagiaan merupakan
proses yang dinamis. Kebahagiaan
dibedakan berdasarkan suasana hati yang dapat dipengaruhi oleh pengaruh luar
lingkungan sekitar Goleman, 2003. Penggunaan model matematika jarang
diaplikasikan pada dinamika model kebahagiaan, namun beberapa model
dinamika cinta telah dibuat, terilhami oleh model Strogatz 1994. Strogatz menyusun
model dinamika cinta dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Dengan ide
yang hampir sama model kebahagiaan ini akan disusun dalam bentuk sistem
persamaan diferensial orde satu juga.
Tugas akhir ini membahas perilaku dinamis model kebahagiaan dan respon
kebahagiaan seseorang yang dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial
orde satu.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah menganalisis perilaku dinamis model
kebahagiaan dan respon kebahagiaan seseorang.
1.3 Sistematika Penulisan
Bab I menjelaskan tentang pendahuluan yang berisikan latar belakang dan tujuan
penulisan tugas akhir. Bab II mengenai landasan teori berisikan definisi-definisi
yang menjadi dasar untuk membahas dan menganalisis model dinamika kebahagiaan.
Sedangkan bab III menjelaskan tentang pemodelan yang telah dimodifikasi beserta
pembahasannya yang dilengkapi oleh gambar-gambar dan akhirnya bab IV
berisikan simpulan dari permasalahan.
II LANDASAN TEORI
Definisi Sistem Persamaan Diferensial Linear :
Jika suatu sistem persamaan diferensial SPD dinyatakan sebagai :
, 0 ,
n
x x b x
x x =
+ =
∈ℜ A
1 dengan A adalah matriks koefisien
nxn
dan vektor konstan
n
b ℜ
∈
, maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde satu
dengan kondisi awal
x x
=
. Sistem 1
disebut homogen jika
= b
dan nonhomogen jika
≠ b
.
[ Tu, 1994 ] Definisi Sistem Persamaan Diferensial
Mandiri : SPD :
n j
x f
x dt
dx
j j
j
,......., 2
, 1
, =
= =
2
dengan
f
fungsi kontinu bernilai real dari
x
dan mempunyai turunan parsial kontinu disebut SPD mandiri autonomous jika
tidak memuat waktu
t
secara eksplisit di dalamnya.
[ Tu, 1994 ]
Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Diberikan matriks koefisien konstan A
berukuran
nxn
, dan SPD homogen berikut :
, 0 x
x x x
= =
A
3
Suatu vektor tak nol
x
dalam ruang
n
ℜ
disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar
λ
berlaku :
x x
λ
= A
. 4
Nilai skalar
λ
dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai
λ
dari matriks A, maka persamaan 4 dapat ditulis kembali
sebagai :
x λ
− =
A I
5
dengan I matriks diagonal satuan.
Persamaan 5 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
det |
| 0 p
λ λ
λ =
− = −
= A
I I
I
. 6
Persamaan 6 disebut persamaan
karakteristik dari matriks A. [ Kreyszig, 1998]
Definisi Titik Tetap : Diberikan SPD
x f
x dt
dx =
=
n
x ℜ
∈
. 7
Titik
x
disebut titik tetap, jika
= x
f
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.
[ Kreyszig, 1993] Definisi Titik Tetap Stabil :
Misalkan
x
adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan
t x
adalah solusi SPD mandiri dengan nilai awal
dengan
x x
≠
. Titik
x
dikatakan titik tetap stabil jika untuk sembarang radius
, terdapat sehingga jika
posisi awal
x
memenuhi
r x
x −
| |
, maka solusi
t x
memenuhi
ε −
| |
x t
x
untuk
∀t
. Selain kondisi ini, disebut titik tetap tak stabil.
[ Verhulst, 1990 ] Definisi Matriks Jacobi :
Misalkan
, ,
y x
g y
y x
f x
= =
andaikan
, y
x
adalah titik tetap dari persamaan diatas, maka
, =
y x
f
dan
, =
y x
g
. Misalkan,
x x
u −
=
dan
y y
v −
=
, maka didapatkan
x u
= ,
v y
u x
f +
+ =
, ,
,
2 2
uv v
u y
f v
x f
u y
x f
Ο +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
= ,
,
2 2
uv v
u y
f v
x f
u Ο
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= y
v =
, v
y u
x g
+ +
=
2 2
, ,
, g
g g x y
u v
u v uv x
y ∂
∂ =
+ +
+ Ο ∂
∂
, ,
2 2
uv v
u y
g v
x g
u Ο
+ ∂
∂ +
∂ ∂
=
. Dalam bentuk matriks
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
∂ ∂
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ x
g x
f v
u ,
,
2 2
uv v
u v
u y
g y
f Ο
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
∂ ∂
∂ ∂
.
Matriks ,
f f
x y
A x y
g g
x y
∂ ∂
⎡ ⎤
⎢ ⎥
∂ ∂
⎢ ⎥
= ∂
∂ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ∂
∂ ⎣
⎦ disebut matriks Jacobi pada titik tetap
, y
x
. Karena
, ,
2 2
→ Ο
uv v
u
maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear :
f f
u u
x y
v g
g v
x y
∂ ∂
⎡ ⎤
⎢ ⎥
∂ ∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ∂
∂ ⎢
⎥ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎢
⎥ ∂
∂ ⎣
⎦ . 8
[ Strogatz, 1994 ]
x x
=
ε
r
Definisi Kestabilan Titik Tetap : Misalkan diberikan matriks A berukuran 2x2
sebagai berikut :
A
⎢ ⎣
⎡ =
c a
⎥ ⎦
⎤ d
b
dengan persamaan karakteristik
det λ
− =
A I
, I adalah matriks
identitas dan
λ
adalah nilai eigen, maka persamaan karakteristiknya menjadi :
⎢ ⎣
⎡ − c
a λ
det =
⎥ ⎦
⎤ −
λ d
b
, sedemikian sehingga diperoleh persamaan
dengan dan
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari
A adalah
. 2
4
2 2
, 1
∆ −
± =
τ τ
λ
2 1,2
4 2
τ τ
λ
± − ∆
=
Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh dari matriks A akan diperlihatkan kasus sebagai
berikut: 1.
Jika
∆
, nilai eigen mempunyai akar real yang berbeda
tanda, maka titik tetap bersifat titik sadel saddle point dan tidak
stabil. lihat gambar 1.
2. Jika
∆
dan memenuhi kondisi
4
2
∆ −
τ
, berarti nilai eigen mempunyai akar real dengan tanda
yang sama. i. Jika
τ
maka titik tetap merupakan simpul taksejati
node takstabil. ii. Jika
τ
maka titik tetap tersebut adalah simpul taksejati
stabil. lihat gambar 2 dan gambar 3.
3. Jika
∆
, dan memenuhi kondisi
4
2
∆ −
τ
, berarti nilai eigennya merupakan complex conjugat nilai
eigennya berbentuk
bi a
+
dan
bi a
−
. i. Jika
τ
maka titik tetapnya merupakan spiral takstabil.
ii. Jika
τ
maka titik tetapnya merupakan spiral stabil . lihat
gambar 4 dan gambar 5.
4. Jika
, 4
2
= ∆
− τ
τ
, dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka
titik tetap bersifat simpul sejati star node takstabil. Jika
τ
maka titik tetap tersebut adalah simpul sejati stabil. lihat gambar 6
dan gambar 7.
2
= ∆
+ −
τλ λ
trace a
d τ =
= + A
det ad
bc ∆ =
= −
A
5. Jika
, 4
2
= ∆
− τ
τ
, dan ada 1 vektor eigen bebas linear,
maka titik tetap tersebut degenerate node
takstabil. Jika
τ
maka titik tetap bersifat degenerate node
stabil. lihat gambar 8.
6. Jika
=
τ
, nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap
bersifat center yang selalu stabil. lihat gambar 9.
7. Jika
= ∆
setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol.
Maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi. Ada satu garis
dimana semua titik pada garis tersebut adalah titik tetap seperti
pada gambar 10.
Gambar 10. Titik tetap tak terisolasi [ Strogatz, 1994 ]
Definisi Limit cycle : Limit cycle
adalah orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di
sekelilingnya tidak tertutup. Orbit tersebut menuju atau menjauhi limit cycle.
Berdasarkan arah orbit di sekelilingnya, limit cycle
tersebut terbagi menjadi 3, yaitu: 1.
Limit cycle stabil Gambar 11 Limit cycle stabil
2. Limit cycle takstabil
Gambar 12 Limit cycle takstabil
3. Limit cycle metastabil
Gambar 13 Limit cycle metastabil
[ Strogatz, 1994]
III PEMBAHASAN
Dinamika model kebahagiaan yang digunakan adalah model yang ditulis oleh
[Sprott, 2005]. Dengan mengasumsikan laju perubahan respon kebahagiaan yang
menyatakan tingkat kebahagiaan dan laju perubahan kebahagiaan berbanding terbalik
dengan parameter, maka model ini dapat dituliskan sebagai berikut :
t F
R H
dt dH
H dt
dR +
− −
= =
β
9 Model I
dan
1
2
t F
R H
R dt
dH H
dt dR
+ −
− −
= =
β
10 Model II
dengan
dR dt
: Laju perubahan respon kebahagiaan yang menyatakan tingkat
kebahagiaan pada waktu
t
.
dt dH
: Laju perubahan kebahagiaan pada waktu
t
.
t R
: Tingkat respon kebahagiaan pada waktu t.
t F
: Forcing function; sesuatu yang terjadi pada seseorang pengaruh
luar pada waktu
t
.
β
: Parameter yang berpengaruh terhadap kebahagiaan.
Dalam tulisan ini akan ditinjau dinamika kedua model terhadap perubahan
perilaku parameter. 3.1.
Pengaruh Luar Diabaikan
Dalam hal ini diasumsikan
= t
F
.
Jika
= t
F
disubstitusikan ke dalam persamaan 9-10 diperoleh:
R H
dt dH
H dt
dR −
− =
= β
11
dan
R H
R dt
dH H
dt dR
− −
− =
= 1
2
β
. 12
3.1.1 Analisis Model I
Titik tetap sistem persamaan 11
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
= dt
dH
, sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu
,
1
= T
. [Lihat Lampiran 1].
Konstruksi Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks
Jacobi :
. 13 Analisis Kestabilan
Jika
,
1
= T
disubstitusikan pada
matriks Jacobi 13, diperoleh :
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
β -
1 1
1
J
. Untuk memperoleh nilai eigen maka
det
1
= − I
J
λ
, yaitu :
1 det
1 2
1 1
+ −
− =
− λ
β λ
λI J
14
atau dapat dituliskan kembali
.
1 1
1 2
1
= ∆
+ −
λ τ
λ
15 Dari persamaan 15 terlihat bahwa
trace
β τ
− =
=
1 1
J
det
1
1 1
= ∆
= J
dan diperoleh
2 1,2
4 2
2 β
β λ
− = − ±
. Berdasarkan teori kestabilan, jika
a.
2 β
, maka titik tetap
1
T
merupakan simpul taksejati stabil.
b.
2 −
β
, maka titik tetap
1
T
merupakan simpul taksejati takstabil.
0 1 1 -
J β
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
c.
2 β
, maka titik tetap
1
T
merupakan spiral stabil. d.
2 −
β
, maka titik tetap
1
T
merupakan spiral takstabil. e.
2 =
β
, maka titik tetap
1
T
merupakan simpul sejati stabil. f.
2 −
= β
dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap
1
T
merupakan simpul sejati takstabil.
Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2
dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon
kebahagiaan. [Lihat Lampiran 2].
Contoh Kasus
β
Gambar 14 Dinamika Kebahagiaan
Model I Kasus I
Gambar 15 Respon Kebahagiaan
Model I Kasus I
5 .
2 =
β 3
= β
4 =
β 5
= β
6 =
β
β
Gambar 16 Dinamika Kebahagiaan
Model I Kasus I
Gambar 17 Respon Kebahagiaan Model I Kasus I
5 .
2 −
= β
3 −
= β
4 −
= β
5 −
= β
6 −
= β
Analisis Contoh kasus I pada model I di atas
menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter
kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan
ini cepat hilang cepat menuju keseimbangan, dan ketika parameter besar
maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang lama menuju
keseimbangan. Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik
yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter
membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan semakin cepat
membesar.
10 20
30 40
t
-0.04 -0.02
0.02 0.04
H
10 20
30 40
t
-0.1 -0.05
0.05 0.1
R 0.5
1 1.5
2 2.5
3 t
-4 -2
2 4
H
0.5 1
1.5 2
2.5 3
t
-4 -2
2 4
R
3.1.2 Analisis Model II Titik tetap sistem persamaan 12
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
= dt
dH
, sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu
,
2
= T
. [Lihat Lampiran 3].
Konstruksi Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, diperoleh matriks
Jacobi :
2
0 1 2
1 - J
RH R
β β β
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− +
⎣ ⎦
. 16 Analisis Kestabilan
Jika ,
2
= T
disubstitusikan pada
16 maka diperoleh:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
β -
1 1
2
J
. Untuk memperoleh nilai eigen maka
det
2
= − I
J
λ
, yaitu :
1 det
2 2
2 2
+ −
− =
− λ
β λ
λI J
17
atau dapat dituliskan kembali
.
2 2
2 2
2
= ∆
+ −
λ τ
λ
18 Dari persamaan 18 terlihat bahwa
trace
β τ
− =
=
2 2
J
det
1
2 2
= ∆
= J
dan diperoleh
2 1,2
4 2
2 β
β λ
− = − ±
. Berdasarkan teori kestabilan, jika
a.
2 β
, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul taksejati stabil.
b.
2 β −
, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul taksejati takstabil.
c.
2 β
, maka titik tetap
2
T
merupakan spiral stabil. d.
2 −
β
, maka titik tetap
2
T
merupakan spiral takstabil. e.
2 =
β
, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul sejati stabil. f.
2 −
= β
dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik tetap
2
T
merupakan simpul sejati takstabil.
Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2
dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon
kebahagiaan. [Lihat Lampiran 4]. Contoh Kasus
β
Gambar 18 Dinamika Kebahagiaan
Model II Kasus I
Gambar 19 Respon Kebahagiaan
Model II Kasus I
5 .
2 =
β 3
= β
4 =
β 5
= β
6 =
β
10 20
30 40
t
-0.04 -0.02
0.02 0.04
H
10 20
30 40
t
-0.1 -0.05
0.05 0.1
R
β
Gambar 20 Dinamika Kebahagiaan
Model II Kasus I
Gambar 21 Respon Kebahagiaan
Model II Kasus I
2 −
= β
3 −
= β
4 −
= β
Analisis
Contoh kasus I pada model II di atas
menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter
kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan
ini cepat hilang cepat menuju keseimbangan, dan ketika parameter besar
maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang lama menuju
keseimbangan. Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik
yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter
membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan berosilasi.
Amplitudo dan periode osilasi akan semakin besar jika nilai parameternya semakin
menjauhi nol.
3.2 Pengaruh Luar Dipertimbangkan
Dalam hal ini diasumsikan
≠ t
F
.
Misalkan,
a t
F =
dengan
a
adalah
konstanta. Dengan mengasumsikan
H dt
dR =
maka diperoleh sistem persamaan:
a R
H dt
dH H
dt dR
+ −
− =
= β
19 Model I
dan
. 1
2
a R
H R
dt dH
H dt
dR +
− −
− =
= β
20 Model II
3.2.1 Analisis Model I Titik tetap sistem persamaan 19
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
= dt
dH
, sehingga diperoleh satu titik tetap yaitu
,
1
a T
=
. [Lihat Lampiran 5].
Konstruksi Matriks Jacobi Dengan melakukan pelinearan pada
sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi :
0 1 1 -
J β
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− ⎣
⎦
. 21
Analisis Kestabilan
Jika
,
1
a T
=
disubstitusikan pada
matriks Jacobi 21 :
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
β -
1 1
1
J
. Untuk memperoleh nilai eigen maka
det
1
= − I
J
λ
, yaitu :
1 det
1 2
1 1
+ −
− =
− λ
β λ
λI J
22
atau dituliskan kembali
.
1 1
1 2
1
= ∆
+ −
λ τ
λ
23 Dari persamaan 23 terlihat bahwa
10 20
30 40
t
-6 -4
-2 2
4 6
H
10 20
30 40
t
-3 -2
-1 1
2 3
R
trace
β τ
− =
=
1 1
J
det
1
1 1
= ∆
= J
dan diperoleh
2 1,2
4 2
2 β
β λ
− = − ±
. Berdasarkan teori kestabilan, jika
a.
2 β
, maka titik tetap
1
T
merupakan simpul taksejati stabil.
b.
2 −
β
, maka titik tetap
1
T
merupakan simpul taksejati takstabil.
c.
2 β
, maka titik tetap
1
T
merupakan spiral stabil.
d.
2 −
β
, maka titik tetap
1
T
merupakan spiral tak stabil.
e.
2 =
β
, maka titik tetap
1
T
merupakan simpul sejati stabil.
f.
2 −
= β
dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka titik
tetap
1
T
merupakan simpul sejati
takstabil.
Dengan menggunakan software Mathematica 5.2
dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon
kebahagiaan. [Lihat lampiran 6].
Contoh Kasus
1 =
a
dan
β
:
Gambar 22 Dinamika Kebahagiaan
Model I Kasus II
Gambar 23 Respon Kebahagiaan
Model I Kasus II
2 =
β 3
= β
4 =
β 5
= β
6 =
β
1 =
a
dan
β
:
Gambar 24 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II
2 4
6 8
10 t
-0.4 -0.2
0.2 0.4
H 2
4 6
8 10
t
-1 -0.75
-0.5 -0.25
0.25 0.5
0.75 1
R
0.5 1
1.5 2
2.5 3
t
-10 -7.5
-5 -2.5
2.5 5
7.5 10
H
Gambar 25 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II
2 −
= β
3 −
= β
4 −
= β
5 −
= β
6 −
= β
1 −
= a
dan
β
:
Gambar 26 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II
Gambar 27 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II
2 =
β 3
= β
4 =
β 5
= β
6 =
β
1 −
= a
dan
β
:
Gambar 28 Dinamika Kebahagiaan Model I Kasus II
Gambar 29 Respon Kebahagiaan Model I Kasus II
2 −
= β
3 −
= β
4 −
= β
5 −
= β
6 −
= β
Analisis Contoh kasus II pada model I di atas
menggunakan nilai awal yang sama dan parameter yang berbeda. Ketika parameter
kecil nilainya positif maka dinamika kebahagiaannya besar namun kebahagiaan
ini cepat hilang cepat menuju keseimbangan, dan ketika parameter besar
maka dinamika kebahagiaannya kecil namun kebahagiaan ini lama hilang lama menuju
keseimbangan. Dengan cara yang sama respon kebahagiaan memiliki karakteristik
yang sama dengan dinamika kebahagiaannya. Dan ketika parameter
0.5 1
1.5 2
2.5 3
t
-10 -7.5
-5 -2.5
2.5 5
7.5 10
R
2 4
6 8
10 t
-0.4 -0.2
0.2 0.4
H
2 4
6 8
10 t
-2 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 2
R 0.5
1 1.5
2 2.5
3 t
-10 -7.5
-5 -2.5
2.5 5
7.5 10
H
0.5 1
1.5 2
2.5 3
t
-10 -7.5
-5 -2.5
2.5 5
7.5 10
R
membesar nilainya negatif maka dinamika dan respon kebahagiaan akan semakin cepat
membesar.
3.2.2 Analisis Model II
Titik tetap sistem persamaan 20
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
= dt
dH
, sehingga diperoleh titik tetap yaitu
,
2
a T
=
. [Lihat Lampiran 7].
Konstruksi Matriks Jacobi Dengan melakukan pelinearan pada
sistem persamaan di atas, diperoleh matriks Jacobi:
2
0 1 2
1 J
RH R
β β β
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− − +
⎣ ⎦
. 24
Analisis Kestabilan
Jika
,
2
a T
=
disubstitusikan pada
24 maka diperoleh:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
=
β β
2 2
1 1
a J
. Untuk memperoleh nilai eigen maka
det
2
= − I
J
λ
, yaitu :
2 2
2 2
2
det 1
J I
a λ
λ β β λ
− =
− −
+
25
atau dapat dituliskan kembali
.
2 2
2 2
2
= ∆
+ −
λ τ
λ
26 Dari persamaan 26 terlihat bahwa
trace
β β
τ −
= =
2 2
2
a J
det
1
2 2
= ∆
= J
dan diperoleh
2 2
2 1,2
1 4
1 2
2 a
a β
β λ
− −
− =
± .
Berdasarkan teori kestabilan, jika a.
2 1
2
− a
β
, maka titik tetap
2
T merupakan simpul
taksejati takstabil. b.
2 1
2
− −
a β
, maka titik tetap
2
T merupakan simpul
taksejati stabil. c.
2 1
2
− a
β
, maka titik tetap
2
T merupakan spiral
takstabil. d.
1 2
2
− −
a β
, maka titik tetap
2
T merupakan spiral
stabil. e.
2 1
2
= −
a β
, maka titik tetap
2
T merupakan simpul sejati
takstabil. f.
2 1
2
− =
− a
β
dan ada 2 vektor eigen bebas linear, maka
titik tetap
2
T merupakan simpul sejati stabil.
Dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2
dan nilai awal 0.1, 0.1 diperoleh gambar dinamika dan respon
kebahagiaan. [Lihat lampiran 8].
Gambar 30 Perubahan Kestabilan sistem
dalam sumbu a dan
β
-3 -2
-1 1
2 3
a
-4 -2
2 4
y
β Simpul
taksejati takstabil
Simpul taksejati
takstabil
Spiral stabil
Spiral stabil
Simpul taksejati
stabil Simpul
taksejati stabil
Spiral takstabil
Spiral takstabil
Simpul taksejati
stabil
Simpul taksejati
takstabil
Contoh Kasus
2 −
β
: Perubahan nilai a dari negatif ke positif
akan berakibat sistem berubah sebagai berikut:
simpul stabil spiral takstabil simpul takstabil spiral takstabil simpul
stabil.
Gambar 31 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II
Gambar 32 Respon Kebahagiaan
Model II kasus II
4 −
= a
5 .
1 −
= a
5 .
= a
1 =
a 3
= a
2 −
β
:
Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah
sebagai berikut: simpul stabil spiral takstabil simpul
takstabil spiral takstabil simpul stabil.
Gambar 33 Dinamika Kebahagiaan
Model II Kasus II
Gambar 34 Respon Kebahagiaan
Model II Kasus II
4 −
= a
5 .
1 −
= a
5 .
= a
1 =
a 3
= a
10 20
30 40
t
-4 -2
2 4
H
10 20
30 40
t
-4 -2
2 4
R 10
20 30
40 t
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
H
10 20
30 40
t
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
R
2 β
:
Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai
berikut: simpul takstabil spiral stabil simpul
stabil spiral stabil simpul takstabil.
Gambar 35 Dinamika Kebahagiaan
Model II Kasus II
Gambar 36 Respon Kebahagiaan Model II Kasus II
4 −
= a
5 .
1 −
= a
5 .
= a
1 =
a 3
= a
2 β
:
Perubahan nilai a dari negatif ke positif akan berakibat sistem berubah sebagai
berikut: simpul takstabil spiral stabil simpul
stabil spiral stabil simpul takstabil.
Gambar 37 Dinamika Kebahagiaan Model II Kasus II
Gambar 38 Respon Kebahagiaan Model II Kasus II
4 −
= a
5 .
1 −
= a
5 .
= a
1 =
a 3
= a
-20 -15
-10 -5
t
-4 -2
2 4
H
-20 -15
-10 -5
t
-4 -2
2 4
R -10
-8 -6
-4 -2
t
-8 -6
-4 -2
2 4
6 8
H
-10 -8
-6 -4
-2 t
-8 -6
-4 -2
2 4
6 8
R
IV SIMPULAN
Dinamika kebahagiaan dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial
orde satu. Model ini menganalisis perilaku dinamis kebahagiaan dan respon
kebahagiaan seseorang. Perilaku dinamis ini dipengaruhi oleh suatu parameter yang
mencerminkan pengaruh internal dan juga dipengaruhi oleh pengaruh luar.
Ketika pengaruh internal ini kecil dengan nilai positif maka perubahan kebahagiaan
dan responnya akan besar, namun kebahagiaan ini akan cepat hilang cepat
menuju keseimbangan. Dan ketika pengaruh internal ini besar dengan nilai
positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan
ini akan lama hilang lama menuju keseimbangan atau dengan kata lain
seseorang dapat mempertahankan kebahagiaannya lebih lama. Ketika pengaruh
internal ini membesar dengan nilai negatif maka perubahan kebahagiaan dan responnya
akan semakin cepat membesar. Dan pengaruh luar juga mempengaruhi
perilaku dinamis ini. Jika pengaruh luar ada, ketika pengaruh luar kecil dengan nilai
positif maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan berosilasi, namun
kebahagiaan akan lama hilang atau dengan kata lain seseorang dapat mempertahankan
kebahagiaannya lebih lama dan ketika pengaruh luar besar dengan nilai positif
maka perubahan kebahagiaan dan responnya akan kecil, namun kebahagiaan ini akan
cepat hilang atau dengan kata lain seseorang akan kehilangan kebahagiaannya. Ketika
pengaruh luar ini membesar dengan nilai negatif maka perubahan kebahagiaan dan
responnya akan semakin cepat mengecil.
DAFTAR PUSTAKA
Goleman, D. 2003. Destructive emotions:
A scientific dialogue with the Dalai Lama.
Bantun, New York.
Kreyszig, M. 1993. Matematika Tehnik
Lanjutan. Edisi ke-6, Buku I.
Terjemahan Sumantri, B. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
Orsucci, F. 2001. Happiness and deep
ecology: On noise, harmony, and beauty in the mind. Nonlinear Dynamics,
Psychology, and Life Sciences, 5, 65-76.
Sprott, J. C. 2005. Dynamical Models of
Happiness. Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences,
Vol. 9, No. 1.
Strogatz, S. H. 1994. Nonlinear Dynamics
And Chaos with Application to Physic, Biology, Chemistry, and Engineering.
Addison Wesley, Reading, Massachusetts Menlo Park, California.
Tu, P. N. V. 1994. Dynamical System, An
Introduction with Application in Economics and Biology.
Springer - Verlag. Heidelberg. Germany.
Verhulst, F. 1990. Nonlinear Differential
Equation and Dynamical System. Springer-Verlag . Heidelberg. Germany.
Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan 11.
Diketahui :
. R
H dt
dH H
dt dR
− −
= =
β
11 Menentukan titik tetap
1
T
:
Titik tetap
,
1 1
H R
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
, =
dt dH
dengan
mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 11 didapatkan :
= H
27
. =
− −
R H
β
28
Sehingga :
1
= H
29 dengan mensubstitusikan persamaan 29 ke persamaan 28 diperoleh :
.
1
= R
30 Dari persamaan 30 dan 29 diperoleh titik tetap
1
T
sebagai berikut :
. ,
1
= T
Lampiran 2
Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan pada kasus I untuk sistem persamaan 11 dengan menggunakan bantuan software Mathematica
5.2.
model:={R[t] H[t],H[t] -
β H[t]- R[t],R[0] 0.1,H[0] 0.1} β=2.5;
tMaksimum=40; sol=NDSolve[model,{H,R},{t,0,tMaksimum}]
gambar1=Plot[H[x].sol[[1,1]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,H},PlotStyle- {Hue[0.9]}, PlotRange
→{-0.05,0.05}] gambar2=Plot[R[x].sol[[1,2]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,R},PlotStyle-
{Hue[0.9]}, PlotRange →{-0.15,0.15}]
Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan serta medan arah dan orbit kestabilan pada kasus I untuk sistem persamaan 11 dengan
menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.
Reset Parameter DynSys intreset;
plotreset; Deklarasi Sistem
setstate [{R, H}]; slopevec = {H,
R H
− −
β
}; setparm [{
β
}]; parmval = {1};
Cari Titik Tetap eqpoints = findpolyeq
{ {0, 0} } classify [eqpoints[ [1] ] ]
strictly stable Integral
initvec = {-1, 0};
t0 = 0. 0; tMax = 40;
h = 0.1;
nsteps
h tMax
=
; firstsol = integrate [initvec, t0, h, nsteps];
Plotting time asprat = 1;
timeplot [firstsol, { 1 }]; timeplot [firstsol, {2}];
Plotting diagram fasa display = False;
fasa = phaseplot [firstsol, 1, 2]; Plotting medan arah
display = False; eqpoints = findpolyeq;
ptsize = 0. 03; dotgraph = dots [eqpoints];
plrange = {{ -4, 4}, {-4, 4}}; graph5 = dirfield;
Plotting semua display = True;
show [ fasa, dotgraph, graph5]; Lampiran 3
Penentuan Titik Tetap Kasus I untuk sistem persamaan 12. Diketahui :
. 1
2
R H
R dt
dH H
dt dR
− −
− =
= β
12
Menentukan titik tetap
2
T
:
Titik tetap
,
2 2
H R
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
, =
dt dH
dengan
mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 12 didapatkan :
= H
31
. 1
2
= −
− −
R H
R β
32
Sehingga :
2
= H
33 dengan mensubstitusikan persamaan 33 ke persamaan 32 diperoleh :
.
2
= R
34 Dari persamaan 34 dan 33 diperoleh titik tetap
2
T
sebagai berikut :
. ,
2
= T
Lampiran 4
Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan pada kasus I
untuk sistem persamaan 12 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.
Program untuk memperoleh grafik dinamika dan respon kebahagiaan serta medan arah dan orbit kestabilan pada kasus I untuk sistem persamaan 12 dengan
menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.
Reset Parameter DynSys intreset;
plotreset; Deklarasi Sistem
setstate [{R, H}];
slopevec = {H,
R H
R −
− −
2 1
β
}; setparm [{
β
}]; parmval = {1};
Cari Titik Tetap eqpoints = findpolyeq
{ {0, 0} } classify [eqpoints[ [1] ] ]
strictly stable
model :
= 9
R t
D
H t
D
, H
t
D −β I
1
−
R t
D
2
M
H t
D −
R t
D
, R
D
0.1, H
D
0.1
= β = −
2; tMaksimum
=
40; sol
=
NDSolve model,
8
H, R ,
8
t, 0, tMaksimum
D
gambar1
=
Plot H
x
D ê
. sol 1, 1
DD
,
8
x, 0, tMaksimum ,
AxesLabel
− 8
t, H , PlotStyle
− 8
Hue 0.9
D
, PlotRange
→ 8−
6, 6
D
gambar2
=
Plot R
x
D ê
. sol 1, 2
DD
,
8
x, 0, tMaksimum ,
AxesLabel
− 8
t, R , PlotStyle
− 8
Hue 0.9
D
, PlotRange
→ 8−
3, 3
D
Integral
initvec = {-1, 0};
t0 = 0. 0; tMax = 20;
h = 0.1;
nsteps
h tMax
=
; firstsol = integrate [initvec, t0, h, nsteps];
Plotting time asprat = 1;
timeplot [firstsol, { 2 }]; Plotting diagram fasa
display = False; fasa = phaseplot [firstsol, 2];
Plotting medan arah display = False;
eqpoints = findpolyeq; ptsize = 0. 03;
dotgraph = dots [eqpoints]; plrange = {{ -4, 4}, {-4, 4}};
graph5 = dirfield; Plotting semua
display = True; show [ fasa, dotgraph, graph5];
Lampiran 5 Penentuan Titik Tetap Kasus II untuk sistem persamaan 19.
Diketahui :
. a
R H
dt dH
H dt
dR +
− −
= =
β
19 Menentukan titik tetap
1
T :
Titik tetap ,
1 1
H R
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
, =
dt dH
dengan
mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 19 didapatkan :
= H
35
. =
+ −
− a
R H
β
36
Sehingga :
1
= H
37 dengan mensubstitusikan persamaan 37 ke persamaan 36 diperoleh :
.
1
a R
=
38 Dari persamaan 38 dan 37 diperoleh titik tetap
1
T sebagai berikut :
. ,
1
a T
=
Lampiran 6
Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan
pada kasus II untuk sistem persamaan 19 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.
model:={R[t] H[t],H[t] -
β H[t]- R[t]+a,R[0] 0.1,H[0] 0.1} a=1;
β=2; tMaksimum=10;
sol=NDSolve[model,{H,R},{t,0,tMaksimum}] gambar1=Plot[H[x].sol[[1,1]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,H},PlotStyle-
{Hue[0.1]}, PlotRange
→{-0.5,0.5}] gambar2=Plot[R[x].sol[[1,2]],{x,0,tMaksimum},AxesLabel-{t,R},PlotStyle-
{Hue[0.1]}, PlotRange →{-1,1}]
Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan
serta medan arah pada kasus II untuk sistem persamaan 19 dengan menggunakan bantuan software Mathematica 5.2.
Reset Parameter DynSys intreset;
plotreset; Deklarasi Sistem
setstate [{R, H}]; slopevec = {H,
1 +
− −
R H
β
}; setparm [{
β
}]; parmval = {1};
Cari Titik Tetap eqpoints = findpolyeq
{ {1, 0} } classify [eqpoints[ [1] ] ]
strictly stable Integral
initvec = {1, 1};
t0 = 0. 0; tMax = 20;
h = 0.1;
nsteps
h tMax
=
; firstsol = integrate [initvec, t0, h, nsteps];
Plotting time asprat = 1;
timeplot [firstsol, { 1 }]; timeplot [firstsol, { 2 }];
Plotting diagram fasa display = False;
fasa = phaseplot [firstsol, 1, 2]; Plotting medan arah
display = False; eqpoints = findpolyeq;
ptsize = 0. 03; dotgraph = dots [eqpoints];
plrange = {{ -4, 4}, {-4, 4}}; graph5 = dirfield;
Plotting semua display = True;
show [ fasa, dotgraph, graph5]; Lampiran 7
Penentuan Titik Tetap Kasus II untuk sistem persamaan 20. Diketahui :
. 1
2
a R
H R
dt dH
H dt
dR +
− −
− =
= β
20 Menentukan titik tetap
2
T :
Titik tetap ,
2 2
H R
diperoleh dengan menentukan
= dt
dR
dan
, =
dt dH
dengan
mensubstitusikan persamaan tersebut ke persamaan 20 didapatkan :
= H
39
. 1
2
= +
− −
− a
R H
R β
40
Sehingga :
2
= H
41 dengan mensubstitusikan persamaan 41 ke persamaan 40 diperoleh :
.
2
a R
=
42 Dari persamaan 42 dan 41 diperoleh titik tetap
2
T sebagai berikut :
. ,
2
a T
=
Lampiran 8
Program untuk memeperoleh gambar perubahan kestabilan system dalam sumbu a dan
β
.
Graphics`ImplicitPlot` ImplicitPlot[y2x2-12 4,{x,-3,3},AxesLabel-{x,y}]
Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan pada kasus II untuk sistem persamaan 20 dengan menggunakan bantuan software
Mathematica 5.2.
Program untuk memperoleh grafik respon kebahagiaan dan dinamika kebahagiaan serta medan arah pada kasus II untuk sistem persamaan 20 dengan menggunakan
bantuan software Mathematica 5.2.
Reset Parameter DynSys intreset;