Kovariansi pada waktu independen terhadap sampel waktu jika
dengan suatu konstan. Hal ini mengimplikasikan
dimana adalah fungsi impuls waktu kontinu. Hal ini memperlihatkan
ekuivalensi antara derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret dan waktu kontinu. Pengaruh derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret
akan sama dengan pengaruhnya pada sistem waktu kontinu jika
Menulis sama artinya dengan mengatakan bahwa
E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu
Misalkan terdapat sistem waktu kontinu yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Selanjutnya misalkan terdapat sistem hasil diskretisasi dengan sampel waktu . Diperoleh
Matriks-matriks pada sistem waktu diskret dihitung sebagai berikut:
Maktriks gain filter Kalman untuk sistem ini adalah
Kovariansi error pendugaan menjadi
Untuk nilai yang kecil, persamaan tersebut menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Substitusi diperoleh
Kemudian dengan mengurangkan dan kedua ruas dibagi , diperoleh
Dengan mengambil limit ketika dan mengingat kembali bahwa
diperoleh
Persamaan ini disebut Persamaan diferensial Riccati dan dapat digunakan untuk menghitung kovariansi pendugaan untuk filter Kalman waktu kontinu.
Pada bagian sebelumnya, telah diperoleh persamaan filter Kalman untuk yaitu
Dengan asumsi bahwa kecil, persamaan pembaruan pengukuran dapat ditulis
Selanjutnya substitusi dari
diperoleh
Dengan mengurangkan di kedua ruas dan dibagi , lalu diambil
limit ketika , diperoleh
Atau dapat juga ditulis
Filter Kalman waktu kontinu dapat diringkas sebagai berikut 1.
Sistem dinamis dengan waktu kontinu dan persamaan pengukuran adalah
dimana dan adalah proses derau putih waktu kontinu. 2.
Persamaan filter Kalman waktu kontinu adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 3.3
Misalkan akan dicari suatu konstan dengan derau pengukuran waktu kontinu sebagai berikut:
Jelas bahwa ,
, dan . Persamaan diferensial untuk
kovariansi error penduganya adalah
dengan . Dari sini diperoleh
Selanjutnya diperoleh Kalman gain yaitu
Persamaan pembaruan keadaan yaitu
Hal ini menunjukkan bahwa setelah diperoleh pengukuran yang tak hingga banyaknya atas suatu konstan, pendugaan terhadap nilai konstan
tersebut menjadi sempurna, dan pengukuran tambahan tidak bisa lagi membuat pendugaan menjadi lebih baik. Kalman gain juga menuju nol ketika
waktunya semakin membesar, yang artinya pengukuran tambahan diabaikan karena pendugaan telah sempurna. Selanjutnya kovariansi juga menuju nol,
menunjukkan tingkat ketidakpercayaan atas pendugaan sama dengan nol, sama saja dengan mengatakan bahwa hasil pendugaan sempurna pada waktu
tak hingga. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Linearisasi Filter Kalman
