Gambar 2.2 a Pendugaan kuadrat terkecil berbobot b error pendugaan
Meskipun dengan hasil pengukuran yang sama, kedua gambar menampilkan plot yang berbeda. Pada gambar 1, plot diperoleh dengan
asumsi bahwa tingkat ketelitian semua data sama besar. Sedangkan pada gambar 2, diasumsikan bahwa masing-masing data memiliki tingkat ketelitian
yang berbeda. Data-data yang lebih teliti diberikan bobot yang lebih besar. Pemboboton ini membuat data-data tersebut lebih bernilai, sehingga
perhitungan akan lebih memperhatikan data-data dengan bobot lebih besar.
2. Penduga Kuadrat Terkecil Rekursif
Setiap diperoleh pengukuran yang baru, diperoleh juga matriks baru yang ukurannya bersesuaian dengan banyaknya pengukuran. Jika pengukuran
diperoleh secara berturut-turut, pendugaan dilakukan setiap kali didapat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
hasil pengukuran yang baru. Dengan demikian, pada setiap pengukuran akan diperoleh juga matriks
baru. Selanjutnya ketika pendugaan dilakukan kembali dengan matriks
yang baru, pendugaan berikutnya akan menmberikan hasil yang berbeda. Ketika banyaknya hasil pengukuran
meningkat, proses penghitungan akan menjadi lebih sulit. Contohnya pengukuran terhadap ketinggian satelit setiap 1 detik. Setelah satu jam, akan
terdapat 3600 data hasil pengukuran, dan bahkan pengukurannya masih berlanjut. Dengan menggunakan penduga kuadrat terkecil, setiap detik
pendugaan dilakukan dengan matriks baru yang ukurannya semakin
membesar. Di sini, masalah pertama yang muncul adalah pengukuran masih terus berlanjut, sedangkan yang diinginkan adalah menduga ketinggian satelit
setiap detik. Masalah berikutnya adalah apakah penghitungan bisa tetap dilanjutkan setiap detik. Untuk meminimumkan masalah-masalah tersebut,
muncul penduga kuadrat terkecil rekursif yang menghitung hasil pendugaan setiap kali pengukuran dilakukan tanpa mengabaikan hasil pendugaan
sebelumnya. Penjelasan mengenai proses pendugaan kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut.
Misalkan setelah pengukuran ke , diperoleh
, kemudian pengukuran selanjutnya menghasilkan suatu nilai hasil pengukuran baru
. Penduga rekursif linearnya adalah
Hal ini menunjukkan bahwa diperoleh berdasarkan
dan hasil pengukuran baru
. merupakan matriks perolehan matriks gain yang
nantinya akan ditentukan. Suku disebut suku koreksi. Jika
suku ini bernilai nol, atau adalah matriks nol, maka pendugaan tidak
mengalami perubahan dari langkah ke langkah .
Rata-rata dari pendugaan dapat dihitung sebagai berikut
Selanjutnya kriteria optimal untuk menentukan adalah meminimalkan
jumlah variansi dari error pendugaan pada saat , yaitu
Dengan . Untuk memperoleh perhitungan rekursif
, dapat digunakan proses yang mirip dengan proses rekursif sebelumnya, yaitu
tidak bergantung pada , maka bisa ditulis
karena nilai harapan keduanya sama dengan nol, sehingga diperoleh
dengan adalah kovariansi
. Rumus ini merupakan bentuk rekursif untuk kovariansi dari error pendugaan kuadrat terkecil. Hal ini sesuai dengan intuisi
bahwa pada saat derau pengukuran meningkat, ketidak-pastian dalam pendugaan juga meningkat. Perhatikan bahwa
harus berupa matriks definit positif, dan rumus di atas menjamin bahwa
definit positif dengan asumsi bahwa
dan adalah matriks definit positif.
Selanjutnya akan dicari nilai sehingga fungsi objektif
menjadi seminimal mungkin. Rata-rata error pendugaan adalah 0 untuk setiap nilai
dari . Sehingga jika kita memilih
untuk membuat fungsi objektifnya lebih kecil, maka error pendugaan tidak akan hanya mempunyai rata-rata 0,
tetapi juga akan semakin mendekati nol. Untuk mencari nilai terbaik untuk ,
ingat kembali bahwa PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
jika simetri. Selanjutnya dengan menerapkan aturan rantai pada dan ,
diperoleh
Agar diperoleh nilai yang meminimumkan , maka haruslah
sehingga
, , dan
membentuk penduga kuadrat terkecil rekursif. Secara ringkas, langkah-langkah pendugaan kuadrat terkecil rekursif dapat dituliskan
sebagai berikut 1.
Tetapkan penduga yaitu
Jika tidak diketahui sebelum dilakukan pengukuran, maka
ditentukan dengan sebuah matriks identitas dimana komponennya berupa sebarang bilangan yang nilainya besar pada diagonalnya. Jika keadaan
awalnya telah diketahui sebelum pengukuran, maka .
2. Untuk
, langkah-langkah yang dilakukan adalah a.
Catat hasil pengukuran , dengan asumsi bahwa
ditentukan dengan
, dimana adalah vektor random yang
mempunyai rata-rata 0 dengan kovariansi . Selanjutnya,
asumsikan bahwa derau pengukuran setiap langkah ke- saling
bebas, yaitu ketika
dan ketika
. akibatnya, derau pengukuran merupakan derau putih white noise.
b. Perbaharui nilai pendugaan dan kovariansi error pendugaan
sebagai berikut:
Contoh 2.4
Dari data pengukuran pada Contoh 2.3, bisa juga diperoleh melalui pendugaan kuadrat terkecil rekursif, yakni dengan
sesuai dengan langkah-langkah yang baru saja diperoleh. Pendugaan ini menghasilkan plot seperti pada gambar 2.3.
Dibandingkan dengan pendugaan sebelumnya, pendugaan secara rekursif ini memperhitungkan hasil dugaan sebelumnya, sehingga diperoleh yang
bergantung pada sebelumnya. Hasilnya, untuk setiap hasil pengukuran berbeda-beda.
Gambar 2.3 a Pendugaan kuadrat terkecil rekursif b pendugaan
Dari segi komputasi, bentuk alternatif terkadang lebih menguntungkan. Dengan mempertimbangkan hal ini, maka penting juga untuk mencari bentuk
alternatif dari penduga. Untuk memperoleh bentuk alternatif dari penduga yang telah diperoleh sebelumya, langkah pertama adalah mencari bentuk lain
dari kovariansi error pendugaan. Sebelumnya telah diperoleh
Substitusi diperoleh
Dimisalkan suatu variabel bantu . Persamaan di
atas menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dalam persamaan tersebut, muncul secara implisit, sehingga dengan
menuliskan kembali, diperoleh
Persamaan ini lebih sederhana dari bentuk sebelumnya, namun masalah komputasi numeris dapat menyebabkan
tidak definit positif meskipun dan
definit positif. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan menerapkan lemma invers matriks, bisa dicari bentuk yang lain dari
yaitu
Dari persamaan ini, gunakan lemma invers matriks dengan
Menurut lemma invers matriks, maka
diperoleh
Sehingga diperoleh
Persamaan ini dapat digunakan untuk mencari bentuk ekuivalen dari persamaan
sebagai berikut
Mengalikan ruas kanan dengan matriks identitas di sebelah kiri,
diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Substitusi , diperoleh
Secara umum, algoritma kuadrat terkecil rekursif dapat dirangkum dengan persamaan-persamaan di bawah ini.
Hasil pengukuran dituliskan:
dengan
Dugaan awal dari vektor konstan yaitu
Algoritma kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk
Pada contoh-contoh berikut, akan ditunjukkan bagaimana menerapkan algoritma pendugaan kuadrat terkecil. Contoh 2.5 akan menunjukkan bahwa
yang diperoleh tidak akan pernah negatif.
Contoh 2.5
Misalkan terdapat parameter observasi skalar dengan pengukuran yang sempurna, yaitu
dan . Pemisalan selanjutnya yaitu kovariansi
pendugaan awal , dan komputer yang digunakan memberikan skala
ketepatan 3 digit desimal untuk setiap perhitungan yang dilakukan. Perhitungan penduga
yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Selanjutnya untuk mencari , digunakan persamaan yang telah
diperbaharui, yaitu
Perhatikan bahwa dihitung
sebagai 0 karena komputer yang digunakan memiliki ketelitian tiga angka desimal. Bentuk yang diperoleh dari
ini menjamin bahwa tidak pernah
negatif, meskipun terdapat perhitungan numeris pada ,
, dan .
Contoh 2.6
Penduga kuadrat terkecil rekursif juga bisa diterapkan pada masalah curve fitting. Misalkan akan dicari suatu garis lurus yang cocok dengan
himpunan data. Masalah pencocokkan data linear dapat ditulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dimana adalah variabel bebas contohnya variabel waktu, data dengan
derau, dan akan dicari relasi linear antara dan . Dengan kata lain, akan
dicari nilai dan
yang konstan. Matriks pengukurannya yaitu
Penduga rekursifnya diawali dengan
Dugaan rekursif dari vektor dengan dua anggota kemudian diperoleh sebagai berikut
Untuk ,
45
BAB III FILTER KALMAN
A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret
Pada sub-bab ini, akan dicari persamaan-persamaan untuk filter Kalman dengan waktu diskret.
Misalkan terdapat sistem linear dengan waktu diskret sebagai berikut
Proses derau dan
merupakan derau putih, dengan rata-rata nol, tidak berkorelasi, dan matriks kovariansinya berturut turut
dan , yaitu
Karena dan
tidak berkorelasi, maka untuk semua .
Tujuan menurunkan model filter Kalman yaitu untuk menduga keadaan ,
berdasarkan pengetahuan mengenai system dinamis dan ketersediaan pengukuran dengan derau
. Ketika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga
tersedia sampai pada saat , dapat dibentuk suatu
pendugaan posteriori, yang dilambangkan dengan . Salah satu cara
membentuk pendugaan keadaan posteriori adalah dengan menghitung nilai PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
