Perhatikan bahwa pada waktu
dan merupakan dua variabel
acak yang berbeda, yaitu dan
. Jika kedua variabel acak dan
saling bebas, untuk semua , maka
disebut derau putih white noise. Jika tidak, maka
disebut derau berwarna.
C. Penduga Kuadrat Terkecil
Penduga kuadrat terkecil adalah dasar dari penurunan algoritma filter Kalman. Sub-bab ini akan membahas mengenai penduga kuadrat terkecil
berbobot dan penduga kuadrat terkecil rekursif.
1. Penduga Kuadrat Terkecil Berbobot
Misalkan adalah vektor konstan dengan -elemen yang tidak diketahui, dan adalah vektor hasil pengukuran yang mengandung komponen derau
dengan elemen. Untuk mencari penduga terbaik dari , dimisalkan setiap elemen pengukuran pada vektor sebagai kombinasi linear dari elemen-
elemen dalam vektor dengan ditambah derau pengukuran, yaitu
Dalam bentuk matriks, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan adalah vektor dengan elemen, vektor pengukuran dengan
elemen, ,
matriks observasi berukuran , dan vektor derau
yang memiliki elemen. Selisih antara dan didefinisikan dengan
, yaitu
dan disebut sebagai sisa pengukuran. Menurut Karl Gauss, nilai yang paling mungkin untuk vektor
adalah vektor yang meminimumkan jumlah
kuadrat dari selisih antara nilai yang diamati dengan vektor . Jadi akan
dicari yang meminimumkan fungsi objektif , dimana
Substitusi , diperoleh
mencapai minimum saat turunan parsial pertamanya terhadap sama dengan nol, yaitu
Vektor kemudian diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut, yaitu
Dengan , pseudo invers kiri dari matriks ada jika
dan matriks dengan rank penuh. Dalam setiap pengukuran, terdapat derau yang variansinya bisa berbeda.
Dengan variansi yang berbeda-beda, dimisalkan
Penduga kuadrat terkecil berbobot bisa diperoleh dengan menurunkan fungsi objektif yang sisa pengukurannya berdistribusi normal. Dengan asumsi
bahwa derau dari setiap pengukuran mempunyai rata-rata 0 dan saling bebas, matriks kovariansinya adalah
Pendugaan yang melibatkan variansi derau pengukuran inilah disebut pendugaan kuadrat terkecil berbobot. Dalam pendugaan ini, fungsi objektif
yang akan diminimumkan adalah
Fungsi objektif tersebut dapat juga ditulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
mencapai minimum ketika
sehingga diperoleh
Perhatikan bahwa adalah matriks Hessian yang definit positif
ketika mempunyai rank
, sehingga bisa dipastikan bahwa meminimumkan fungsi objektif .
Berikut diberikan contoh pendugaan kuadrat terkecil sebelum dan sesudah diboboti.
Contoh 2.3
Misalkan diperoleh data hasil pengukuran berturut-turut 0.98, 0.37, 0.88, 0.91, 0.79, 0.67, 0.72, 0.65, 0.49, dan 0.77. Akan dicari garis
yang bisa mewakili hasil pengukuran tersebut. Dalam bentuk matriks bisa ditulis
Dengan metode kuadrat terkecil, diduga dengan ,
diperoleh persamaan hasil pendugaan yaitu , dengan
jumlah kuadrat nya Plot hasil perhitungan dan perhitungannya
adalah sebagai berikut.
Gambar 2.1 a Pendugaan kuadrat terkecil b error pendugaan
Setelah diboboti, diduga dengan
, sehingga diperoleh persamaan hasil pendugaan
, dengan . Plot hasil pendugaan dan pendugaan setelah diberi bobot
adalah sebagai berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.2 a Pendugaan kuadrat terkecil berbobot b error pendugaan
Meskipun dengan hasil pengukuran yang sama, kedua gambar menampilkan plot yang berbeda. Pada gambar 1, plot diperoleh dengan
asumsi bahwa tingkat ketelitian semua data sama besar. Sedangkan pada gambar 2, diasumsikan bahwa masing-masing data memiliki tingkat ketelitian
yang berbeda. Data-data yang lebih teliti diberikan bobot yang lebih besar. Pemboboton ini membuat data-data tersebut lebih bernilai, sehingga
perhitungan akan lebih memperhatikan data-data dengan bobot lebih besar.
2. Penduga Kuadrat Terkecil Rekursif
