Selanjutnya Gambar 3.4 menunjukkan eror pengukuran posisi dengan standar deviasi dan hasil pendugaannya. Simulasi ini menunjukkan bahwa
filter Kalman efektif untuk menduga keadaan.
C. Derau Proses Pendugaan
Perhatikan sistem waktu diskret di bawah ini dengan matriks identitas keadaan transisi dan sampel waktu :
dengan adalah proses derau putih dengan waktu diskret.
meyatakan bahwa merupakan variabel acak Gaussian dengan rata-rata 0
dan variansi . Akan dilihat bagaimana pengaruh derau putih terhadap
kovariansi dari keadaan tersebut. Sistem waktu diskret dapat diselesaikan sebagai berikut:
Kovariansi dari keadaan tersebut menjadi:
Nilai dari parameter waktu kontinu sama dengan banyaknya langkah waktu diskret kali sampel waktu , yaitu
. Bisa dilihat bahwa PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kovariansi dari keadaan meningkat secara linear sebanding dengan waktu untuk sampel waktu yang diberikan. Selanjutnya perhatikan sistem
waktu kontinu dengan matriks identitas keadaan transisi:
dimana adalah derau putih dengan waktu kontinu. Definisi untuk
derau putih dengan waktu kontinu yaitu
dimana dan memiliki arti yang sama dengan dan pada sistem waktu diskret.
merupakan fungsi impuls-respon waktu diskret, yaitu fungsi dengan nilai
saat , dan 0 selainnya, dengan luas 1. Kovariansi dari
adalah
Substitusi ke persamaan di atas diperoleh
Karena , maka persamaan di atas bisa ditulis
Dibandingkan dengan kovariansi keadaan untuk waktu diskret, kovariansi keadaan untuk waktu kontinu juga meningkat secara linear dengan
perbandingan yang sama. Dengan kata lain, derau putih waktu diskret dengan kovariansi pada sistem dengan sampel waktu ekuivalen dengan derau
putih waktu kontinu dengan kovariansi , dengan
. Derau putih waktu kontinu dengan rata-rata nol ditulis
yang sama artinya dengan
D. Derau Pengukuran
Misalkan terdapat pengukuran dengan waktu diskret untuk konstan setiap detik. Waktu pengukuran adalah
,
Dari persamaan filter Kalman, diperoleh kovariansi error pendugaan posteriori yaitu
Kovariansi pada waktu independen terhadap sampel waktu jika
dengan suatu konstan. Hal ini mengimplikasikan
dimana adalah fungsi impuls waktu kontinu. Hal ini memperlihatkan
ekuivalensi antara derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret dan waktu kontinu. Pengaruh derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret
akan sama dengan pengaruhnya pada sistem waktu kontinu jika
Menulis sama artinya dengan mengatakan bahwa
E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu
