Vektor.

VEKTOR

Definisi Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar
dan arah
Besar vektor artinya panjang vektor
Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengan
sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk ruas garis
berarah
2

Gambar Vektor
B

u
45

A

X

ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung

Notasi Penulisan Vektor
 Bentuk vektor kolom:
 3
u   
 4

atau

 1 


PQ    2 
 0 



 Bentuk vektor baris:

AB  3, 4 atau v   2, 3, 0

 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k

VEKTOR DI

2
R

Vektor di R2 adalah
vektor yang terletak di satu Bidang
Atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2
Y

A(x,y)

yQ
j

a
x

O
i
P
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y

X

OP  PA  OA
OP  OQ  OA

OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj

Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3

adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
Z
S
zk
O
xi
P
X

T(x,y,z)
yj
Q

Y

OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT

Z
S
zk

t
O
xi

X P

T(x,y,z)

Jadi
yj
OT = xi + yj + zk
Y
Q
R(x,y) atau t = xi + yj + zk

Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’

a1 

Di R2, panjang vektor: a   
a2 
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras

a  a1  a 2
2

2

 x



Di R3 , panjang vektor: v   y 
z
 

atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras

v  x y z
2

2

2

Contoh:
 3
1. Panjang vektor: a   4 
 
2

2
a

3

4
adalah
= 25 = 5
2. Panjang vektor: v  2i  j - 2k
adalah v  2  1  (2)
2

= 9 = 3

2

2

Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang

panjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
 0
 0
 
 
 
i   0 , j   1  dan k   0 
 0
 0
1
 
 
 

ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real

Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
a1 = b1
Jika: a = b , maka
a2 = b2
dan
a3 = b3

Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d

18

a

b

Dua vektor sama,
a=b

a

b

a

b

Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda

a
b

Dua vektor arah
sama, besaran
beda

Dua Vektor besar
dan arah berbeda

19

Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k

Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a=b
1=x-y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor
Misalkan:

 a1 
 b1 
 
 
a   a 2  dan b   b 2 
b 
a 
 3
 3

Jika: a + b = c , maka vektor
 a1  b1 


c   a 2  b2 
a b 
3 
 3

Contoh

 3 
 
a   - 2p  Diketahui:
 -1 
 

dan
Jika a + b = c , maka p – q =....

p
 
b  6
 3


5
 
 
c   4q 
2
 

jawab:

a+b=c
 3   p    5
     
 - 2p    6    4q 
 -1   3  2 
     
 3  p    5

  
   2 p  6   4 q 
 (1)  3   2 

  

 3  p    5
  

  2 p  6   4 q 
 (1)  3   2 
  


3 + p = -5 p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½

Pengurangan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k
dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a - b = c , maka

c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 b3)k

Perhatikan gambar:
Y

B(2,4)

b

A(4,1) vektor posisi:

a
O

vektor AB =

- 2
 
3

X

titik A(4,1) adalah:

 2
titik B(2,4) adalah: b   
 4

 4
a   
1

vektor AB =
 4
a   
1

- 2
 
3

 2
b   
 4

2 4
b  a       
4  1

- 2
 
3

 AB

Jadi secara umum: AB  b  a

Contoh 1
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB

Jawab: AB  b  a

1  3   2
     
 2 -  5    3 
 4  2  2 
     

  2
 
Jadi AB    3 
 2 
 

Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)

1
 
Jawab: P(1,2,-2)  p   2 
  2
 
  1
 
Q(-1,3,0)  q   3 
0
 
 - 1  1    2 
     
PQ = q – p =
 3  -  2   1 
 0  - 2  2 
     

2 
 
PQ    1 
  2
 

PQ  2  (1)  (2)
2

Jadi PQ  9  3

2

2

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
 a1 
 
Misalkan: a   a 2 
a 
 3

dan
m = bilangan real

Jika: c = m.a, maka
 a1   m.a1 
  

c  m a 2    m.a 2 
 a   m.a 
3
 3 

Contoh

2
2
 
 
Diketahui: a   - 1 dan b   - 1
6
4
 
 

Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:  x1 
 2   x1   2 








misal x   x  
  1  2 x   3  1
2

x 
 3

6
 

2

x 
 3

4
 

 2   x1   2 
     
  1  2 x 2   3  1 
 6  x   4 
   3  

 2   2 x1   6 
     
  1   2 x2     3 
 6   2 x   12 
   3  

2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2
-1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1
6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3
Jadi
  2
 
vektor x   1 
  3
 

Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u+0=0+u=u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –
u adalah invers aditif u yang didefinisikan
sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi
arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
36

Sifat-Sifat Operasi Vektor
•
•
•
•
•
•
•
•

Komutatif  a + b = b + a
Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
37

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
•
•
•
•
•
•

(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0

38

Dot Product (Inner Product)
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a
dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut
antara keduanya.

a  b | a || b | cos 


Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :

a  b  a1a 2 b1b2  c1c2




a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
39

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product
• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

a b
a b
cos  

| a || b |
a a bb

40

Contoh Perkalian Dot Product
• a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
• Hitung sudut antara dua vektor tsb

41