A, B, g terletak pada bidang gA. Berhubung A, B, X tidak pada g sehingga dapat menggunakan Aksioma Pash. Jadi
� memotong g. Ini berarti bahwa B gX dan A gX. Jadi menurut ketentuan, titik A dan titik B terletak pada
sisi g yang sama.
2.2.3 Urutan sinar dan sudut
a. Kedudukan antar Sinar
Gambar 2.5. Kedudukan antar sinar
Definisi 2.5 Rawuh, 2009
Misalkan ,
, dan tiga sinar yang berpangkalan sama di titik O.
Misalkan pula dan
berlainan dan tidak berlawanan. Jika ada titik A
1
, B
1
, C
1
sehingga A
1
, B
1
, C
1
dan A
1
, B
1
, C
1
maka dikatakan bahwa sinar
terletak antara dan
, ditulis .
Persyaratan bahwa dan
harus berlainan dan tidak berlawanan arah, adalah untuk menjamin sinar-sinar dalam suatu relasi antara supaya sinar-sinar
itu berlainan. Pernyataan tersebut dapat pula dinyatakan dalam bentuk yang setara, yaitu:
A
1
A
B
1
B O
C
1
C
1. O, A, C berlainan dan tak kolinear
2. O AC
3. dan
tak kolinear.
Teorema 2.6 Rawuh, 2009
Jika Maka
.
Teorema 2.7 Rawuh, 2009
Jika , maka tiap pasang sinar dalam ganda
, ,
berlainan dan tidak berlawanan.
Bukti:
Karena , maka ada titik A
1
, B
1
, C
1
sehingga A
1
, B
1
, C
1
. Jadi ₁ =
, ₁ =
, ₁ =
. Karena dan
berlainan dan tidak berlawanan arah, maka
₁ dan ₁ berlainan dan tidak berlawanan
arah. Sehingga O A
1
C
1
. A
1
, B
1
, C
1
mengakibatkan A
1
B
1
= A
1
C
1
. Jadi O A
1
B
1
ini berarti ₁ dan
₁ berlainan dan tidak berlawanan arah. Begitu pula dan
. Karena dan
sama halnya dengan dan
, sehingga dan
juga berlainan dan tidak berlawanan arah.
Teorema 2.8 Rawuh, 2009
Jika , maka berlaku
1. A, B terletak pada sisi OC yang sama.
2. B, C terletak pada sisi OA yang sama.
3. A, C terletak pada sisi OB yang berhadapan.
Bukti:
1. Karena
maka ada A
1
, B
1
, C
1
sehingga A
1
, B
1
, C
1
. Karena dan
berlainan dan tidak berlawanan arah, sehingga O, A
1
, C tidak segaris dan A OC. Oleh karena A
1
, berarti bahwa A
1
dan A terletak pada sisi OC yang sama. Begitu pula, B
1
dan B terletak pada sisi OC yang sama. Oleh karena B
1
₁ ₁ maka A
1
dan B
1
terletak pasa sisi OC yang sama. Jadi A dan B terletak pasa sisi OC yang sama.
2. Karena
maka ada A
1
, B
1
, C
1
sehingga A
1
, B
1
, C
1
. Karena dan
berlainan dan tidak berlawanan arah, sehingga O, B
1
, A tidak segaris dan B OA. Oleh karena B
1
, berarti bahwa B
1
dan B terletak pada sisi OA yang sama. Begitu pula, C
1
dan C terletak pada sisi OA yang sama. Oleh karena C
1
₁ ₁ maka B
1
dan C
1
terletak pasa sisi OA yang sama. Jadi B dan C terletak pasa sisi OA yang sama.
3. Karena
maka ada A
1
, B
1
, C
1
sehingga A
1
, B
1
, C
1
. Karena A
1
ini berarti bahwa A
1
dan A terletak pada sisi OB yang sama. Begitu pula, karena C
1
ini berarti bahwa C
1
dan C terletak pada sisi OB yang sama. Oleh karena A
1
, C
1
memotong OB di B
1
, maka A
1
dan C
1
terletak pada sisi OB yang berhadapan. Sehingga menyebabkan A dan C terletak pada sisi OB yang berhadapan.
Teorema 2.9 Rawuh, 2009
Jika maka berlaku ~
.
Bukti:
Karena maka ada A
1
, B
1
, C
1
sehingga A
1
, B
1
, C
1
. Misalkan dan B
1
, A
1
, maka ₁ ₁ memotong
di sebuah titik, yaitu C
1
. Jadi C
1
₁ ₁ sehingga B
1
, C
1
, A
1
. Akan tetapi A
1
, B
1
, C
1
mengakibatkan ~ B
1
, C
1
, A
1
. Jadi pengandaian bahwa berlaku tidak benar, sehingga berlakulah hubungan ~
.
b. Sudut Schaum’s, 2005
