BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Konsep Dasar Graph
Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan
representasinya dalam memodelkan masalah lintasan terpendek.
Definisi 2.1. Sebuah graph G adalah pasangan V,E dimana V adalah himpunan tak
kosong yang anggotanya disebut verteks dan E adalah himpunan yang anggotanya adalah pasangan tak berurut dari verteks V yang disebut edge.
Secara umum graph dapat digambarkan dengan suatu diagram dimana verteks ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan v
i
, i = 1, 2, …,P dan edge digambarkan dengan sebuah garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua
verteks v
i
, v
j
dan dinotasikan dengan e
k
. Sebagai ilustrasi dapat dilihat gambar 2.1. yaitu suatu graph yang mempunyai lima verteks dan enam edge.
Gambar 2.1. Graph Dengan 5 Verteks dan 6 Edge
V
1
V
2
e
4
V
4
V
5
V
3
e
2
e
5
e
3
e
6
e
1
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.2. Suatu digraph G terdiri dari himpunan verteks-verteks VG:{v
1
, v
2,
…}, himpunan edge-edge EG:{e
1,
e
2
, …}, dan suatu fungsi Ψ yang mengawankan setiap
edge dalam EG ke suatu pasangan berurutan verteks v
i
, v
j
. Jika e
k
= v
i
, v
j
adalah suatu edge dalam G, maka v
i
disebut verteks awal e
k
dan v
j
disebut verteks akhir e
k .
Arah edge adalah dari v
i
ke v
j
. Perhatikan digraph G pada gambar 2.2. dibawah ini.
Gambar 2.2. Digraph
Jika G adalah graph berarah atau tidak dengan verteks V dan edge E, maka dapat ditulis G=V,E.
2.2. Graph Berlabel
Hubungan antar verteks-verteks dalam graph perlu diperjelas. Hubungan tidak cukup hanya menunjukkan verteks-verteks mana yang berhubungan langsung, tetapi juga
seberapa kuat hubungan itu. Sebagai contoh, andaikata suatu graph menyatakan “peta” suatu daerah. Verteks-verteks graph menyatakan kota-kota yang ada di daerah
tersebut. Edge-edge dalam graph menyatakan jalan yang menghubungkan kota-kota
tersebut.
Informasi tentang peta daerah perlu diperjelas dengan mencantumkan jarak antara 2 kota yang berhubungan. Informasi tentang jarak dibutuhkan karena dalam
graph, letak verteks dan panjang edgenya tidak menyatakan jarak 2 kota yang v
2
v
6
v
3
v
5
v
4
v
1
e
1
e
4
e
3
e
2
e
7
e
6
e
8
e
9
Universitas Sumatera Utara
sebenarnya seperti halnya dengan peta yang sebenarnya. Jadi setiap garis dalam graph berhubungan dengan suatu label yang menyatakan bobot garis tersebut.
Definisi 2.3. Graph Berlabel weighted graph adalah suatu graph tanpa edge paralel
dimana setiap edgenya berhubungan dengan suatu bilangan riil tak negatif yang menyatakan bobot edge we tersebut. Jumlah bobot semua edge disebut Total
Bobot. Matriks yang bersesuaian dengan graph berlabel G adalah matriks hubung A =
a
ij
dengan a
ij
= bobot edge yang menghubungkan verteks v
i
dengan verteks v
j
. Jika verteks v
i
tidak berhubungan langsung dengan verteks v
j
maka a
ij
= ∞, dan a
ij
= 0 jika i = j.
Contoh 2.1.
Dalam suatu propinsi, ada 8 kota v
1
, v
2
, …, v
8
Edge yang akan dihubungkan dengan
jaringan listrik. Biaya pemasangan jaringan listrik yang mungkin dibuat antar 2 kota adalah sebagai berikut :
Kota yang dihubungkan Biaya per satuan
e
4
e
7
e
2
e
8
e
9
e
1
e
3
e
10
e
5
e
11
e v
6 2
– v
3
v
4
– v
6
v
1
– v
7
v
3
– v
4
v
3
– v
5
v
1
– v
2
v
1
– v
4
v
6
– v
8
v
7
– v
8
v
5
– v
6
v
6
– v 3
4 5
5 5
15 15
15 15
15 18
7
a. Graph berlabel untuk menyatakan jaringan listrik di 8 kota dapat digambarkan
pada gambar 2.3. dibawah ini. Angka dalam kurung menyatakan bobot edge yang bersangkutan. Bobot tersebut menyatakan biaya pengadaan jaringan listrik.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3. Graph Jaringan listrik di 8 kota
b. Matriks hubung untuk menyatakan graph berlabel pada gambar 2.3. adalah matriks
A = a
ij
dengan a
ij
Jarak verteks v =
i
dengan v
j
jika ada edge yang menghubungkan verteks v
i
dengan v
j
∞ Jika tidak ada edge yang menghubungkan
verteks v
i
dengan v jika i = j
j
1
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
8
v
1
15 ∞
15 ∞
∞ ∞
∞ v
2
15 3
∞ ∞
∞ ∞
∞ v
3
∞ 3
5 5
∞ ∞
∞ A =
v
4
15 ∞
5 ∞
4 ∞
∞ v
5
∞ ∞
5 ∞
15 ∞
∞ v
6
∞ ∞
∞ 4
15 18
15 v
7
5 ∞
∞ ∞
∞ 18
15 v
8
∞ ∞
∞ ∞
∞ 15
15 v
1
v
4
v
6
v
8
v
7
v
2
v
3
v
5
e
2
5 e
3
15
e
5
15 e
6
18 e
7
4 e
8
5 e
9
5 e
4
3 e
1
15
e
10
15
e
11
15
Universitas Sumatera Utara
2.3. Path Minimum
Kategori