2.3. Path Minimum
Salah satu aplikasi graph berarah berlabel yang sering dipakai adalah mencari path terpendek diantara 2 verteks. Apabila masalahnya adalah mencari jalur tercepat, path
terpendek tetap dapat digunakan dengan cara mengganti nilai edge.
Definisi 2.4. Misalkan G adalah suatu graph. Dimana v dan w adalah 2 verteks dalam
G. Suatu Walk dari v ke w adalah barisan verteks-verteks berhubungan dan edge secara berselang-seling, diawali dari verteks v dan diakhiri pada verteks w. Walk
dengan panjang n dari v ke w ditulis : v e
1
v
1
e
2
v
2
… v
n-1
e
n
v
n
dengan v = v; v
n
= w; v
i-1
dan v
i
adalah verteks-verteks ujung edge e
i.
Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang semua edgenya berbeda. Path dari v ke w dituliskan sebagai v = v
e
1
v
1
e
2
v
2
… v
n-1
e
n
v
n
= w dengan e
i
≠ e
j
k
i i
i
e e
e .,
,......... ,
2 1
untuk i ≠ j.
Definisi 2.5. Lintasan adalah suatu barisan edge sedemikian rupa
sehingga verteks terminal
j
i
e
berimpit dengan verteks awal
1 +
j
i
e
untuk 1 ≤ j ≤ k – 1.
Contoh 2.2.
Gambar 2.4. Graph Dengan 6 Verteks dan 10 Edge
Pada gambar 2.4. diatas terdapat : a.
Semua edge berbeda e
1
, e
3
, e
4
, dan e
5
masing-masing muncul sekali. Ada verteks yang berulang v
3
muncul 2 kali. Verteks awal dan verteks akhir tidak v
1
v
2
v
3
v
6
v
5
v
4
e
10
e
9
e
6
e
5
e
4
e
7
e
8
e
3
e
1
e
2
Universitas Sumatera Utara
sama verteks awal = v
1
dan verteks akhir = v
4
. Barisan ini merupakan Path dari v
1
ke v
4
b. Ada edge yang muncul lebih dari sekali, yaitu e
dengan panjang 4.
5
muncul 2 kali berarti barisan tersebut merupakan walk dari v
1
ke v
5
dengan panjang 5.
2.4. Representasi Graph Dalam Matriks
Matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graph. Dengan menyatakan graph sebagai suatu matriks, maka perhitungan-perhitungan yang diperlukan dapat dilakukan
dengan mudah.
Kesulitan utama merepresentasikan graph dalam suatu matriks adalah keterbatasan matriks untuk mencakup semua informasi yang ada dalam graph.
Akibatnya ada bermacam-macam matriks untuk menyatakan suatu graph tertentu. Tiap-tiap matriks tersebut mempunyai keuntungan yang berbeda-beda dalam
menyaring informasi yang dibutuhkan pada graph.
Misalkan G adalah sebuah graph dengan verteks-verteks v
1
, v
2,
…, v
m
dan edge-edge e
1,
e
2,
…, e
n
.
Definisi 2.6. Matriks adjacency
Misalkan A = a
ij
1 jika {u, v
} adalah edge, yaitu v adalah matriks m x m yang didefinisikan oleh
i
adjacent terhadap v lainnya
j
Maka A disebut matriks adjacency dari G. Perhatikan a
ij
= a
ji
, sehingga A adalah sebuah matriks simetris. Didefinisikan sebuah matriks adjacency untuk sebuah
multigraph dengan pemisalan a
ij
menyatakan jumlah edge {v
i,
v
j
}.
Definisi 2.7. Matriks Insiden
Misalkan M = m
ij
1 verteks v adalah matriks m x n yang didefinisikan oleh
i
adalah incident pada edge e
j.
0 lainnya Maka M disebut matriks incidence dari G.
a
ij
=
m =
Universitas Sumatera Utara
Perhatikan gambar 2.6 berikut ini.
Gambar 2.5. Graph Dengan 5 Verteks dan 8 Edge
Pada gambar 2.5. Matriks adjacency A = a
ij
dari graph G. Karena G mempunyai 5 verteks maka A akan menjadimatriks 5 x 5.
Dimana a
ij
= 1 jika ada sebuah edge antara v
i
dan v
j
, dan a
ij
v = 0 jika lainnya. Ini akan
menghasilkan matriks berikut :
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
1
1 1
1 1
A = v
2
1 1
v
3
1 1
1 1
v
4
1 1
1 v
5
1 1
1
Pada gambar 2.5. Matriks Incidence M = m
ij
dari graph G. Karena G mempunyai 5 verteks dan 8 edge maka M akan menjadi matris 5 x 8.
Dimana m
ij
=1 jika verteks v
i
anggota dari edge e
j
dan m
ij
= 0 untuk lainnya. Ini akan menghasilkan matriks berikut.
v
4
v
3
v
5
v
2
v
1
e
5
e
8
e
6
e
7
e
4
e
3
e
2
e
1
Universitas Sumatera Utara
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
v
1
1 1
1 1
A = v
2
1 1
v
3
1 1
1 1
v
4
1 1
1 v
5
2.5. Graph Multi Tahap
Kategori