3.7 Tekuk Torsi dan Tekuk Lentur
Jika sebuah komponen struktur tekan dibebani beban aksial tekan sehingga terjadi tekuk terhadap keseluruhan elemen tersebut bukan tekuk lokal,
maka ada tiga macam potensi tekuk yang mungkin terjadi di antaranya:
a. Tekuk lentur
Pada umumnya kekuatan komponen struktur dengan beban aksial trkan murni ditentukan oleh tekuk lentur. Hingga kini komponen struktur tekan
yang dibahas adalah komponen struktur tekan yang mengalami tekuk lentur. Tekuk lentur mengakibatkan defleksi terhadap sumbu lemah
sumbu dengan rasio kelangsingan terbesar. Setiap komponen struktur tekan dapat mengalami kegagalan akibat tekuk lentur.
b. Tekuk torsi
Model tekuk ini terjadi akibat adanya puntiran dalam sumbu memanjang komponen struktur tekan. Tekuk torsi hanya terjadi pada elemen-elemen
yang langsing dengan sumbu simetri ganda. Bentuk profil standar hasil gilas panas umumnya tidak mempunyai resiko terhadap tekuk torsi, namun
profil yang tersusun dari pelat-pelat yang tipis harus diperhitungkan terhadap tekuk torsi. Sebagai contoh, penampang yang riskan terhadap
tekuk torsi adalah penampang berbentuk silang. Penampang ini dapat disusun dari empat buah profil siku yang diletakkan saling membelakangi.
c. Tekuk lentur torsi
Tekuk ini terjadi akibat kombinasi tekuk lentur dan tekuk torsi. Batang akan terlentur dan terpuntir secara bersamaan.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.4 Macam model tekuk komponen struktur tekan
Gambar 3.5 menunjukkan komponen struktur tekan dengan penampang melintang berbentuk silang, sedangkan gambar 3.5b adalah sebuah potongan
sepanjang dz dari komponen struktur tersebut. Pada suatu potongan eleme dA bekerja gaya tekan f.dA. pada awalnya tegangan yang terjadi adalah seragam pada
seluruh panjang elemen sebab beban tekan yang bekerja adalah konsentris. Akibat beban yang bekerja akhirnya suatu titik yang terletak sejajar z dari ujung elemen
akan tertekuk seperti pada gambar 3.5c. perpindahan pada titik tersebut dari posisi awalnya adalah sebesar u + du. Dari gambar 3.5a diperoleh hubungan:
U = r. ɸ
Universitas Sumatera Utara
Dengan f adalah sudut punter dan r adalah jarak dari pusat geser ke dA.
Jumlahkan momen-momen terhadap sumbu z dalam 3.5c:
dTv = r. dQ. dr = 0
………………3.10
Gambar 3.5 Tekuk Torsi pada penampang bentuk silang
Jumlahkan pula momen-momen dalam gambar 3.5d :
dM.dr + Q.dr.dz + f.dA.du = 0 ………………3.11
Dari persamaan 4.34, selesaikan untuk Q dan kemudian differensiasikan terhadap z:
Universitas Sumatera Utara
Q.dr = −
dM dz
. dr − f. dA.
du dz
………………3.12
dQ dz
. dr = −
d²M dz ²
. dr − f. dA.
du dz ²
………………3.13
Bagilah persamaan 3.10 dengan dz, dan subsitusikan hasilnya ke persamaan 3.13 :
dTv dz
+ r
dQ dz
dr = 0 ………………3.14
dTv dz
+ −
d
2
M dz
2
. dr − f. dA.
d
2
u dz
2
= 0 ………………3.15
-
dTv dz
+ r
d
2
M dz
2
. dr − f
d
2
u dz
2
. r. dA = 0 ………………3.16
Karena M adalah komponen per satuan r , maka momen pada elemen dA =t.dr adalah M.dr , sehingga :
M.dr = EI.
D
2
u dz
2
= E.
t
3
.dr 12
.
d
2
u dz
2
………………3.17
Dengan I =
t
3
12
.dr adalah momen inersia dari elemen dA. Diffrensiasikan persamaan 3.17 dua kali terhadap z dan subsitusikan
d
2
M dz
2
ke dalam persamaan 3.16, sehingga diperoleh hubungan:
dTv dz
+ −
d
2
M dz
2
. dr − f. dA.
d
2
u dz
2
r = 0 ……………….3.18
−
dTv dz
+ − r.
d
2
M dz
2
. dr − f.
d
2
u dz
2
r. dA = 0 .………………..3.19
Universitas Sumatera Utara
Karena Tv = G.J.
d ɸ
dz
, maka
dTv dz
= G. J. .
d
2
ɸ dz
2
. Dengan mensubsitusikan
dTv dz
ke dalam persamaan 3.19 didapatkan :
-G.J. ɸ
n
+
E.t³ 12
. ɸ
iv
r². dr + f. ɸ
n
r
2
. dA = 0 …………….3.20
Dengan mengingat bahwa :
r². dr = 4 x 13. r
3
|b =
4xb
3
3
…………………..3.21
Dan r
2
. dA = Ip Ip adalah momen inersia polar …………..3.22
Maka persamaan 3.20 dapat disederhanakan menjadi :
-G.J. ɸ
n
+
E.t³ 12
. ɸ
iv
.
4.b³ 3
+ f. ɸn. Ip = 0 …………………..3.33
E.t³ 12
. ɸ
iv
.
4.b³ 3
+ f. Ip − G. J.ɸ
n
= 0 …………………..3.34
atau
E.t³.b³ 9
. ɸ
iv
+ f.Ip - G.J ɸ
n
= 0 …………………..3.35
Faktor b³.t³9 disebut sebagai konstanta torsi warping, Cw untuk penampang berbentuk silang. Persamaan 3.35 dapat disederhanakan menjadi :
ɸ
iv
+ f. Ip − G. J E.Cw ɸ
n
= 0 …………………..3.36
atau ɸ
iv
+ K². ɸ
n
= 0 …………………..3.37
dengan K² =
f.Ip –G.J
E.Cw
………………….3.38
Universitas Sumatera Utara
Persamaan 3.37 merupakan suatu persamaan differensial linier homogeny orde keempat, yang mempunyai solusi :
ɸ = A.sin Kz + B cos Kz + C.z +D …………………..3.39
Konstanta A, B, C, dan D dapat ditentukan dengan menggunakan kondisi batas yang ada. Kian tumpuan pada ujung-ujung kolom adalah jeput, maka dapat
digunakan empat buah kondisi batas sebagai berikut : ɸz = 0 = 0 0 = B + D
ɸz = L = 0 0 = A. sin KL + B. cos KL + CL + D
du dz
z=0
= 0 0 = A.K + C
du dz
z=L
= 0 0 = A.K.cos KL - B.K.sin KL + C
Eliminasikan C dan D dari keempat persamaan tersebut sehingga diperoleh dua buah persamaan linier:
Asin KL - KL + Bcos KL - 1 = 0 ……………..3.40a
Acos KL – 1 - B.sin KL = 0 ..…………...3.40b
Solusi dari system persamaan linier tersebut eksis jikadeterminan dari persamaan tersebut sama dengan nol, jika evaluasi terhadapa determinan
dilakukan dan disamakan dengan nol, maka akan diperoleh persamaan :
sin
KL 2
.2.sin
KL 2
- KL. cos
KL 2
= 0 …………………….3.41
Universitas Sumatera Utara
Persamaan 3.41 dipenuhi, jika
KL 2
= π atau
KL 2
= 4,49. subsitusikan nilai akar terkecil ke dalam persamaan3.38 , sehingga didapatkan tegangan kritis
minimum :
fcr =
G.J Ip
+
π² E.Cw
1 2
x L
2
.Ip
….………………….3.42
Jika ujung –ujung kolom merupakan tumpuan sendi, maka kondisi batas
yang ada adalah
d
2
u dz
2
= 0 pada z = 0 dan z = L, serta ɸ = 0 pada kedua ujung
kolom, maka diperoleh besar tegangan kritis :
Fcr =
G.J Ip
+
π² E.Cw L².Ip
……………………..3.43
Secara umum dituliskan menjadi :
Fcr =
G.J Ip
+
π² E.Cw kL ².Ip
……………………..3.44
Dengan k adalah faktor panjang efektif yang tergantung pada tumpuan ujung kolom, l = ½ untuk jepit dan k = 1 untuk sendi. Persamaan 3.44 berlaku
untuk profil-profil dengan dua sumbu simetri sebagai contoh adalah profil silang dan WF. Selanjutnya dapat ditentukan jari-jari girasi profil yang dapat
menimbulkan tekuk lentur torsi, yaitu dengan cara menyamakan fcr dari persamaan 3.36 dan fcr dari persamaan 3.44 :
π²E k.
L rt
²
=
G.J Ip
+
π² E.Cw kL ².Ip
………………….3.45
rt² =
Cw +0,04J k.L² Ip
…………………..3.46
Universitas Sumatera Utara
Jika rt dari persamaan 3.46 lebih kecil dari rx atay ry profil, maka keruntuhan profil akan ditentukan oleh tekuk lentur torsi. Ip dalam persamaan
3.45 adalah momen inersia polar terhadap pusat geser.
3.8 Menghitung kekuatan penampang langsing
Kategori